Глава 3. Основы аналитической механики.

§ 12. Постановка задачи о движении несвободной механической системы. Классификация связей.

До сих пор мы изучали главным образом движение свободных механических систем (см. § 6). В этой главе мы изложим аналитические методы решения динамических задач, пригодные как для свободных, так и несвободных (связанных) механических систем.

Под несвободной (или связанной) механической системой будем понимать систему материальных точек с наложенными на нее дополнительными условиями, которые ограничивают свободу перемещения системы и изменяют характер ее движения (по сравнению со случаем отсутствия этих дополнительных условий). Эти дополнительные условия называются связями, так как аналитически они выражаются уравнениями (или неравенствами), связывающими в общем случае радиусы-векторы и скорости точек системы :

, (12.1)

где k – число наложенных на систему связей. Конкретно связи реализуются в виде поверхностей разных тел, твердых стрежней, нерастяжимых нитей и т.д. Ясно, что к числу несвободных механических систем можно отнести такие системы, взаимодействие которых с внешними телами осуществляется путем непосредственного соприкосновения (для свободных систем взаимодействие с внешними телами осуществляется только на расстоянии посредством различных полей).

Эффект действия связей на механическую систему можно учесть тремя разными способами:

1). Учетом силового воздействия связей, когда эффект действия связей учитывают введением некоторых сил, называемых силами реакции связей (или короче, реакциями связей). Поэтому при составлении уравнений движения учитываются, что на каждую точку несвободной механической системы действуют два рода сил: заданные внешние и внутренние силы , что мы будем в дальнейшем называть активными, и реакции связей , каторые мы будем называть пассивными силами, поскольку эти силы исчезают, если связи устраняются. В отличие от активных сил, силы реакции связей заранее неизвестны (вместо них известны только уравнения связей типа (12.1)), поскольку они зависят как от характера активных сил , так и от характера движения самой системы. Поэтому в уравнения движения войдут дополнительные неизвестные в еличины , что существенно усложнит решение этих уравнений.

Рис. (12.1) Рис. (12.2) Рис. (12.3)

2). Эффект действия связей учитывается не заменой их неизвестными силами реакции связей, а рассмотрением тех бесконечно малых перемещений точек системы, которые возможны при наличии данных связей (их называют возможными перемещениями; отметим здесь, что действительными перемещениями точек называют только те из возможных перемещений , которые удовлетворяют не только уравнениям связей, но и дифференциальным уравнениям движения).

3). Наконец, эффект действия тех же связей можно учесть рассмотрением не бесконечно малых возможных перемещений , a - класса возможных конечных движений точек системы за конечный интервал времени между некоторыми двумя состояниями системы (такие движения называют кинематически возможными). Каждое кинематически возможное движение описывается таким набором функций времени (траекторий) , подстановка которых в уравнения связей обращает последние в тождества. То из кинематически возможных движений, для которого набор функций , удовлетворяет не только уравнениям связи, но и дифференциальным уравнениям движения, называется действительным движением системы.

Возможность учета эффекта действия одних и тех же связей тремя изложенными способами легко наглядно представить на примере материальной точки М, которая движется по гладкой (идеальной) поверхности, являющейся для нее связью. В этом случае связь можно учесть: 1) либо с помощью заранее не известной по величине реакцией , направленной в любой момент времени по нормали к поверхности (см. рис.(12.1)); 2) либо установив, что возможными перемещениями точки М в любом ее положении является только такие бесконечно малые перемещения , которые перпендикулярны к нормали , т.е. лежат в касательных плоскостях к поверхности связи (см. рис.(12.2)) ; 3) либо указав, что класс кинематически возможных движений точки М из некоторого положения А в положение В содержит только такие кривые АВ, которые принадлежат поверхности связи (одна из этих кривых изображает действительное движение точки – см. рис.(12.3)). На рисунках действительная траектория точки М изображенная сплошной кривой, а действительное перемещение на рис.(12.2) направлено по касательной к действительной траектории точки.

Замечание. Учет эффекта действия связей с помощью реакций связей используется при формулировке так называемых невариационных принципов механики (к ним относятся , например, 2-й закон Ньютона, принцип Д'Аламбера). Учет связей в терминах возможных перемещений используется при формулировке дифференциальных вариационных принципов механики (таких как принцип возможных перемещений, принцип Д'Аламбера-Лагранжа, принцип Гаусса, принцип Герца). Наконец, учет действия связей с помощью рассмотрения кинематически возможных движений системы позволяет сформулировать интегральные вариационные принципы механики (сюда относятся разные формы принципов наименьшего действия). Самые общие из этих принципов будут нами рассмотренные в этой главе.

Для более глубокого изучения структуры связей и механизма их силового воздействия на механическую систему необходимо эти связи классифицировать по различным признакам, отражающим те или иные их свойства. Особенно важной для развития механики оказалась классификация связей, связанная с конкретизацией ответов на следующие четыре вопроса: 1) какие ограничения накладывают связи на скорости материальных точек системы? (в связи с этим различают голономные и неголономные типы связей); 2) изменяются или не изменяются связи со временем? (в связи с этим различают стационарные и нестационарные связи); 3) приводит ли наложение связей к уменьшению числа степеней свободы системы? (в связи с ответом на этот вопрос связи разделяют на удерживающие и неудерживающие); 4) какой общий характер сил реакции? (в этой связи различают идеальные и реальные связи).

Голономными (или геометрическими) называются такие связи, уравнения которых можно привести к виду

, (12.2)

где - функции только координат точек и времени (k – число наложенных на систему связей). Хотя уравнения (12.2) не содержат скоростей точек в явном виде, однако легко видеть, что голономные связи накладывают определенные ограничения не только на положения, но и на скорости точек системы. Действительно, дифференцируя уравнения (12.2) по времени, получаем

. (12.3)

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями голономных связей (12.2). Из (12.3) видно, что голономные связи накладывают ограничения только на те составляющие скоростей, которые параллельны векторам , но нет никаких ограничений ни на другие составляющие скоростей, ни на абсолютные значения скоростей точек. Важной особенностью голономных связей является то, что их дифференциальные уравнения (12.3) всегда можно привести к виду

и проинтегрировать. Поэтому голономные связи называют также интегрируемыми.

Неголономними (неинтегрируемыми или кинематическими) называются такие связи, уравнения которых

содержат явно и не сводятся к виду (12.2). В физических приложениях неголономные связи встречаются редко и потому в дальнейшем мы будем рассматривать только голономные механические системы. Отметим, что движение неголономных систем изучаются с помощью специальных уравнений (например, уравнений Чаплыгина, уравнений Аппеля).

Стационарными (или недеформируемыми) называются такие связи, в уравнения которых явно не входит t, т.е. для который ; в противном случае связи называют нестационарными (или деформируемыми).

Удерживающими называются связи, задаваемые равенствами типа (12.2), а неудерживающие связи определяются неравенствами типа неравенств (12.1): (примером системы с неудерживающей связью может служить материальная точка, движущаяся внутри сферической пустоты радиуса а; связь здесь задается неравенством ). Наложение на механическую систему удерживающих связей обязательно приводит к уменьшению ее числа степеней свободы, т.е. числа независимых параметров, однозначно определяющих положение системы в пространстве (число степеней свободы S такой системы определяется формулой , где n-число материальных точек системы, k-число удерживающих связей). Неудерживающие связи не уменьшают число степеней свободы системы.

Начиная обсуждение вопроса об определении понятий идеальных и реальных связей, сформулируем сначала эти понятия для несвободной материальной точки (т.е. точки, движущейся по заданной поверхности или заданной кривой). Связь в этом случае называют идеальной, если сила реакции направлена по нормали (см. рис. (12.1)); в этом случае , т.е. реакция идеальной связи не совершает работу по перемещению точки. Если же направлена под углом к , то связь называется реальной, а поверхность или кривая  шероховатыми. Проекцию на касательную к траектории движущейся материальной точки, называют силой трения скольжения. Обобщение этих понятий на случай произвольной несвободной системы требует предварительного знакомства с понятиями виртуальных перемещений и виртуальной работы.

Рассмотрим два бесконечно близкие возможные перемещения и

произвольной i-ой точки системы, происходящие за один и тот же бесконечно малый промежуток времени : и . Разность этих перемещений называется виртуальным перемещением материальной точки:

. (12.4)

Будем теперь считать, что на механическую систему наложено k удерживающих голономных связей (12.2). Тогда скорости ее точек должны удовлетворять k условиям (12.3). Поэтому возможные перемещения , удовлетворяют соотношениям вида

, (12.5)

которые получаются умножением (12.3) на . Очевидно теперь, что виртуальные перемещения (12.4) удовлетворяют уравнениям

, (12.6)

Если бы связи были стационарными (т.е. ), то уравнения (12.5) для и уравнения (12.6) для совпадали бы между собой. Поэтому виртуальные перемещения часто определяют как такие , которые потенциально возможны для данного фиксированного момента времени t=const, в который связи как бы “застывают” и прекращают изменяться. Виртуальные перемещения не обусловлены действием каких-нибудь сил и поэтому не обладают длительностью. Т.о., понятие о виртуальных перемещениях системы является чисто геометрическим понятием, характеризующим только структуру наложенных на систему связей. Из изложенного ясно, что понятия о возможных и виртуальных перемещениях совпадают только для систем со стационарными связями, так как только в этом случае уравнения (12.5) и (12.6) для них совпадают.

Математическое замечание. В математике величины, подобные (12.4) называются вариациями функций, так что есть вариация радиуса вектора соответствующей точки системы, причем в декартовой системе координат

. (12.7)

Под вариацией функции x(t) понимают такое малое ее приращение , которое не связано с изменением аргумента t (так как t=const), а обусловлено варьированием (изменением) самой функции, т.е. переходом от функции x(t) к близкого к ней функции .

Рис. (12.4)

На рисунке (12.4) показано различие между дифференциалом и вариацией функции . В результате варьирования радиусов-векторов (t) точек системы получают приращения и любые функции вида . Поэтому левые части каждого из соотношений (12.6) следует рассматривать как правила вычитания вариаций функций , т.е. по определению

. (12.8)

Понятие о виртуальных перемещениях системы позволяет ввести понятие о виртуальной работе – еще одно чисто геометрическое понятие, характеризующее структуру наложенных на систему связей. Виртуальной работой называется работа активных сил и сил реакции связей , приложенных к i-ой точки, на ее виртуальном перемещении . Виртуальная работа над системой состоит из виртуальной работы активных сил и виртуальной работы сил реакций связей, обусловленных формулам

. (12.9)

Теперь мы можем дать строгое определение понятия идеальных связей для произвольной несвободной механической системы (выше это было сделано только для материальной точки). Идеальными и удерживающими связями называются такие связи, для которых виртуальная работа всех реакций связей равняется нулю на любом виртуальном перемещении системы, т.е.

. (12.10)

Реальные связи приводят к нарушению равенства (12.10). В дальнейшем мы будем изучать только голономные системы с идеальными удерживающими связями, так как для реальных (неидеальных) связей основная задача динамики в общем случае не является определенной. Покажем это, учитывая эффект действия связей с помощью заранее неизвестных реакций связей .

Основная динамическая задача о движении несвободной механической системы с голономнымии связями состоит в отыскании по заданным активным силам и заданным уравнениям связей (12.2) закона ее движения и сил реакции связей . Эта задача сводится к совместному решению системы дифференциальных уравнений движения (см. § 6) и уравнений связей

, (12.11)

(12.12)

с начальными условиями, удовлетворяющими уравнениям связей (12.2). Здесь n – число материальных точек системы, k – число наложенных связей (наиболее интересен случай, когда k<3n), а и равны (см. §6)

, (12.12)

где - сила реакции связи с номером  на i-ю точку. Система 3n+k скалярных уравнений (12.11) – (12.2) содержит 6n неизвестных величин: 3n координат точек и 3n проекций сил реакций связей. Т.о., в общем случае число неизвестных больше числа уравнений (6n>3n+k) и сформулированная задача является неопределенной.

Покажем, что основная задача динамики оказывается полностью определенной для голономных систем с идеальными связями. Для этого достаточно доказать, что условие идеальности связей (12.10) позволяет получить замкнутую систему уравнений типа (12.11) – (12.2). С этой целью умножим каждое из соотношений (12.6) на неопределенный множитель  и полученные равенства сложим с условием идеальности связей (12.10). В результате получаем равенство

. (12.13)

где k вариаций координат точек являются зависимыми, а остальные 3n-k вариаций – независимыми. Подберем теперь множители так, чтобы коэффициенты при k вариациях координат обратились в нуль (такая процедура всегда выполнима). После этого в (12.13) останется 3n-k слагаемых, содержащих вариации только независимых координат, и так как указанные вариации можно задавать произвольно, то коэффициенты при них также должны обращаться в нуль. Т.о., мы приходим к выводу, что силы реакции идеальных связей представляют собой линейные суперпозиции градиентов от функций , которые определяют связи, т.е.

. (12.14)

Подставляя выражения (12.14) в (12.11) , получаем вместо (12.11) – (12.2) систему уравнений

(12.15)

которые называются уравнениями Лагранжа первого рода. (12.15) есть замкнутая система 3n+k скалярных уравнений относительно 3n+k неизвестных: 3n координат точек и k неопределенных множителей Лагранжа .

Проиллюстрируем постановку основной задачи динамики для простейшей связанной голономной системы. Для примера рассмотрим материальную точку массы m, движущуюся в заданном силовом поле по поверхности сферы радиуса . Дифференциальные уравнения движения такой системы можно записать в виде (12.11)

. (12.16)

Вместо известно только уравнение связи (уравнение сферы)

. (12.17)

Очевидно, что для системы четырех уравнений (12.16) – (12.17) недостаточно для определения шести неизвестных величин: . Для отыскания решения необходимые некоторые дополнительные сведения о конкретной реализации связи (12.17) и характере ее силового воздействия на точку m. Конкретизируем задачу: допустим что точка m подвешена на нерастяжимой жесткой нити длиной a и совершает малые колебания в поле притяжения Земли, т.е. (сферический математический маятник). В этом случае (натяжение нити подвеса) в любой момент времени направленная вдоль нити, а связь является идеальной, так как и условие идеальности (12.10) удовлетворяется. Поэтому согласно (12.14) и (12.17) имеем

Переобозначая неизвестную постоянную , получаем привычную запись для натяжения нити подвеса с началом координат в точке подвеса. Таким образом, конкретизированная задача сводится к решению системы четырех скалярных уравнений Лагранжа первого рода

(12.18)

для четырех неизвестных функций и . Отметим, что начальные условия в этой задаче не могут быть произвольными, а должны быть заданы так, чтобы и в начальный момент удовлетворялось уравнение связи (12.17), т.е. точка находилась на сфере, а вектор ее скорости лежал в плоскости, касательной к сфере, так как дифференциальное уравнение связи согласно (12.3) и (12.17) имеет вид . (12.19)

Замечание. Способ решения основной задачи динамики для несвободных механических систем с голономными и идеальными связями, приводящий к уравнениям Лагранжа первого рода (12.15), имеет следующие существенные недостатки: 1) система 3n+k скалярных уравнений (12.15) в общем случае очень сложнá, т.к. «претендует» на одновременное определение и координат точек системы и сил реакции связей (отметим, что с увеличением числа связей число степеней свободы системы S=3n-k уменьшается, а число уравнений 3n+k растет, т.е. при этом возрастают сложности математического анализа системы (12.15)); 2) изложенный способ решения существенно использует чисто механическое понятие силы, поэтому его применение ограничено только реакциями механики и не допускает обобщения на другие разделы физики, где понятие силы неприменимо (например, в классической и квантовой теории физических полей).