Глава. 2. Законы сохранения и принцип симметрии.

§ 8. Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.

Состояние движения свободной механической системы, состоящей из n материальных точек, как было показано в § 6, полностью определяется в каждый момент времени t набором величин

(8.1)

Хотя в процессе движения системы величины (8.1) изменяются, тем не менее можно указать такие функции этих переменных и, в общем случае, времени t, которые при движении системы сохраняют постоянные значения , определяемые начальными условиями:

. (8.2)

Функции (8.2) называют первыми интегралами дифференциальных уравнений движения (или, короче, интегралами движения). То, что такие функции существуют, видно из общего хода решения основной задачи динамики (см. § 6): в качестве функций можно взять постоянные интегрирования С_к, рассматриваемые как решения системы уравнений (6.3) и (6.4); в качестве берутся значения С_к0 этих постоянных С_к в начальный момент времени t₀:

, , (8.3)

где

. (8.4)

Это простое схематическое обсуждение не должно «затемнить» тот факт, что проблема отыскания всех интегралов движения – это сложнейшая (в общем случае) математическая задача, которая далеко не всегда решается в явном виде. Действительно, как показывается в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, знание совокупности 6n независимых первых интегралов (8.2) эквивалентно нахождению общего решения системы (6.1') в явном виде, а знание каких-нибудь r<6n первых интегралов дает возможность понизить порядок r уравнений движения и тем самым существенно упростить решение динамической задачи. Получить же законы движения (6.3) – (6.4) и их решения (8.3) в явном виде можно только для такой системы уравнений (6.1'), для которой возможно полное распределение переменных. Поэтому при решении нетривиальных задач механики обычно довольствуются уже тем и тогда, когда удается сравнительно просто получить хотя бы несколько первых интегралов движения общего типа (8.2) и облегчить тем самым задачу интегрирования уравнений движения.

Важно отметить, что далеко не все первые интегралы имеют одинаковую «ценность» в механике (и в других разделах физики). Среди них есть несколько таких интегралов движения, постоянство которых существенно связано с постулатами о пространстве и времени, особенно с симметриями пространства и времени (их однородностью и изотропностью). Эти интегралы движения, имеющие общий вид

, (8.5)

выделяют в особую группу и называют законами сохранения.

Существование указанных интегралов движения, их количество, явный вид и связь с симметриями пространства и времени устанавливается так называемой теоремой Нетер.

Помимо связи со свойствами пространства и времени, сохраняющиеся величины типа (8.5) обладают следующими замечательными свойствами:

1. аддитивности: значение этих физических величин для системы, состоящей из невзаимодействующих между собой материальных точек, равно сумме значений тех же величин для каждой точки в отдельности, т.е.

; (8.6)

2. о выполнении для любой механической системы законов сохранения (8.5) можно судить по наиболее общим признакам этой системы, не прибегая к анализу ее уравнений движения – достаточно только выяснить, к какому из перечисленных в конце § 7 классу свободных механических систем относится рассматриваемая система. Этим свойством интегралы движения общего вида (8.2) не обладают – информацию о них можно получить только путем предварительного анализа дифференциальных уравнений движения.

Отмеченные особенности интегралов движения (8.5) возводят их в ранг наиболее фундаментальных законов природы – законов сохранения. Всего существует семь таких сохраняющихся физических величин: энергии, три компонента импульса и три компонента момента импульса.

Замечание. Глубокая связь между перечисленными законами сохранения и симметриями пространства и времени была осознана физиками только в ХХ-м веке. Роль законов сохранения и симметрий (как упомянутых, так и других) в развитии современной физики настолько велика, что они в настоящее время возведены в ранг методологических принципов физики – принципа сохранения и принципа симметрии. В особенности велика роль этих принципов при исследовании таких физических объектов, законы движения которых еще не открыты.