- •Введение.
- •Логическая структура современной физики.
- •Границы применимости физической теории.
- •Глава 1. Основные понятия и законы классической механики.
- •§2. Классические представления о пространстве и времени и их арифметизация.
- •§3. Кинематические и динамические характеристики механического движения.
- •§4. Законы динамики Ньютона.
- •§5. Принцип относительности Галилея.
- •§ 6. Основная задача динамики и роль начальных условий. Принцип причинности классической механики.
- •§ 7. Потенциальная энергия и классификация свободных механических систем.
- •Глава. 2. Законы сохранения и принцип симметрии.
- •§ 8. Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.
- •§ 9. Закон сохранения энергии и его связь с однородностью времени.
- •§ 10. Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства.
- •§ 11. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства.
- •Глава 3. Основы аналитической механики.
- •§ 12. Постановка задачи о движении несвободной механической системы. Классификация связей.
- •13. Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа.
- •С учетом (13.12) перепишем уравнения (13.11) в окончательном виде
- •§ 14. Функция Лагранжа и законы сохранения.
- •§ 15. Основная задача вариационного исчисления. Уравнения Эйлера.
- •Простейшим функционалом является криволинейный интеграл
- •Интегрируя второй интеграл в правой части (15.6) по частям с учетом предельных условий (15.4) получаем:
- •Обобщим полученные результаты для функционала
- •§ 16. Принципы наименьшего действия Гамильтона-Остроградського.
- •§ 17. Канонические уравнения движения.
- •Подставляя (17.8) в (17.7), получаем
- •§ 18. Скобоки Пуассона.
- •§ 19. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Подставляя (17.8) в (17.7), получаем
, (17.9)
откуда в силу независимости (и, следовательно, произвольности) вариаций и следуют уравнения Гамильтона (17.4).
Замечание 1. Сравнивая метод Гамильтона с методом Лагранжа, необходимо отметить следующее. В рамках классической механики трудно указать такую динамическую задачу, которую нельзя было бы решить, пользуясь уравнениями Лагранжа, и для решения которой следовало бы обратиться к уравнениям Гамильтона (17.4). Действительное преимущество метода Гамильтона в рамках самой классической механики состоит в том, что он позволяет существенно упростить рассмотрение некоторых общих проблем механики (например, проблемы отыскания интегралов движения – см. § 18). Но главное преимущество метода Гамильтона состоит все-таки в том, что он дает необходимую математическую основу для построения квантовой механики (см. часть IV) и статистической физики (т.е. его главное преимущество проявляется вне рамок самой классической механики).
Замечание 2. Уравнение (17.5) в методе Гамильтона важной роли не играет; оно указывает только на то, что функция Гамильтона механической системы зависит или не зависит явно от времени одновременно с ее функцией Лагранжа. Поэтому связь с законом сохранения энергии точно такая же, как и (см. § 14): если явно не зависит от времени (т.е. ), то полная энергия системы сохраняется. Действительно, записывая полную производную за временем от
,
и подставляя сюда вместо и их выражения из (17.4), получаем
. (17.10)
Отсюда видно, что при функция Гамильтона совпадает с полной энергией системы:
. (17.11)
Замечание 3. Закон сохранения обобщенного импульса в методе Гамильтона формулируется аналогично закона (14,…) в методе Лагранжа. Действительно, сравнивая уравнения Лагранжа (14.5) с уравнениями Гамильтона , имеем
. (17.12)
Из (17.12) видно, что какая-либо координата является циклической (см. § 14) одновременно и по отношению к , и по отношению к , т.е. мы имеем
, если (17.13)
в полной аналогии с (14.6).
§ 18. Скобоки Пуассона.
В конце § 17 было показано, как по виду функции Гамильтона можно судить о сохранении полной энергии и обобщенных импульсов механической системы. Рассмотрим теперь более общую проблему отыскания любых первых интегралов (а не только законов сохранения – см. § 8) уравнений Гамильтона (17.4), а именно: найдем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых какая-нибудь функция обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени F(q,p,t) является первым интегралом уравнений движения.
С этой целью запишем полную производную от F по временем:
Подставляя вместо и их выражения из канонических уравнений движения (17.), получаем
, (18.1)
где введено обозначение
. (18.2)
Выражение (18.2) называется скобками Пуассона для величин H и F.
Т.о., необходимое и достаточное условие того, чтобы величина F(q,p,t) была первым интегралом движения, согласно (18.1) записывается в виде требования
. (18.3)
Если же величина F явно от времени не зависит, т.е. и, следовательно , то условием, при котором эта величина является сохраняющейся, является требование (следствие (18.3))
, (18.4)
т.е. скобки Пуассона F с функцией Гамильтона H должны обращаться в нуль. Условиями (18.3) ли (18.4) можно пользоваться для отыскания первых интегралов движения, в том числе и законов сохранения. Таким образом, метод Гамильтона позволяет предложить систематический способ решения проблемы отыскания интегралов движения.
Введение скобок Пуассона дает возможность представить уравнения Гамильтона (17. ) в абсолютно симметричном виде по отношению к переменным и . Для этого в выражении (18.2) положим и ( ). Пользуясь в вычислениях символом Кронекера
, (18.5)
имеем:
, (18.6)
. (18.7)
С учетом результатов (18.6) и (18.7) уравнения Гамильтона (17. ) можно переписать в симметричном виде
(18.8)
Учитывая важность понятия скобок Пуассона для развития математического аппарата современной теоретической физики (особенно квантовой механики), изложим здесь основные математические сведения о скобках Пуассона для любой пары функций и . В этом случае скобки Пуассона определяются выражением, аналогичным (18.2),
, (18.9)
где, как и в (18.2) мы используем сокращенные обозначения и . Скобки Пуассона (18.9) удовлетворяют целому ряду тождеств, вытекающих непосредственно из их определения:
; (18.10)
; (18.11)
, если ; (18.12)
; (18.13)
; (18.14)
, (18.15)
где под следует понимать любую обобщенную координату , импульс или время . Если одна из функций или совпадает с или , то скобки (18.9) принимают вид (см. вычисления (18.6) и (18.7)):
. (18.16)
Пологая в (18.16) функцию равной и , получаем
(18.17)
где дается формулой (18.5).
Скобки (18.17) называются фундаментальными (или основными) скобками Пуассона. Их важное значение состоит в том, что они являются классическими аналогами квантово-механических перестановочных соотношений для операторов координаты и импульса микрочастицы (см. часть IV).
То обстоятельство, что для пары величин и скобки Пуассона согласно (18.17) равны единице можно рассматривать как определение канонической сопряженности этих величин: любые две величины и будем называть канонически сопряженными, если они удовлетворяют условиям
. (18.18)
Используя тождества (18.13) – (18.15) легко проверить справедливость тождества для трех функций и
, (18.19)
которое называется тождеством Якоби. Из него вытекает важная теорема Пуассона: если функции и являются первыми интегралами уравнений движения, то скобки также являются сохраняющейся величиной.
Доказательство. По условию теоремы с учетом (18.3)
и необходимо доказать, что такому же условию удовлетворяет и величина , т.е. что справедливо требование
.
Действительно, пологая в (18.19) , имеем, пользуясь (18.10):
.
Поэтому, используя (18.15) и (18.13) получаем:
,
т.е. , что и было, требовалось доказать. Теорему Пуассона таким образом, можно использовать для нахождения новых интегралов движения по известным сохраняющимся величинам, именно: в том случае если не сводится к постоянной или к функции от исходных интегралов и , то дает новый интеграл движения.
Пример. Пусть известно, что у свободной материальной точки сохраняются величины и . Тогда из теоремы Пуассона следует, что сохраняется и величина . Но согласно (18.16)
,
т.е. при этом обязательно сохраняется и проекция импульса .
Замечание. Алгебра скобок Пуассона (см. (18.10) – (18.15) и (18.19)) аналогична так названной алгебре Ли, поэтому математический аппарат скобок Пуассона имеет глубокие связи с такими разделами математики как с теорией алгебр Ли и, следовательно, с теорией групп Ли. Это обстоятельство дает возможность применять эти мощные современные математические методы для исследования общих проблем как классической механики, так и других разделов физики, где применим метод Гамильтона.