§ 17. Канонические уравнения движения.

Все ранее рассмотренные типы уравнений движения (уравнения Ньютона для свободных механических систем и уравнения Лагранжа для несвободных голономных систем с идеальными связями) являются дифференциальными уравнениями второго порядка (число таких уравнений в лучшем случае равно числу степеней свободы системы S). Из математики известно, что любую систему S дифференциальных уравнений второго порядка можно заменит системой 2S уравнений первого порядка. Этот математический результат использовал Гамильтон с целью записи уравнений движения механической системы в форме дифференциальных уравнений первого порядка (их называют каноническими уравнениями движения). Полученный Гамильтоном результат (очевидный с математической точки зрения) оказался новым нетривиальным физическим методом описания движения механической системы, который существенно отличается от метода Лагранжа (поэтому канонические уравнения движения часто называют уравнениями Гамильтона).

Приступая к изложению метода Гамильтона, предварительно напомним, что хотя и функция Лагранжа , и уравнения Лагранжа явно содержат как обобщенные координаты , так и обобщенные скорости , однако независимыми переменными считаются только обобщенные координаты и время (переменные считаются зависимыми). Это обстоятельство в методе Лагранжа отражено в существенном использовании конфигурационного пространства, задание любой точки которого, дает только знание S координат ; скорости же при этом остаются неопределенными (другими словами, задание точки конфигурационного пространства дает только S начальных условий типа , и следовательно, для полного определения движения системы нужно задать дополнительно еще S начальных условий типа ). Это означает, что через любую точку конфигурационного пространства проходит бесчисленное множество траекторий системы. Так как состояние (связанной) системы в любой момент времени определяется заданием 2S переменных и ( ), то естественно было бы считать независимыми переменными не только обобщенные координаты, но и обобщенные скорости (или обобщенные импульсы). Именно так и поступают в методе, предложенном Гамильтоном.

Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются S обобщенных координат системы и S ее обобщенных импульсов , определяемых равенствами (14.3) Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится фазовое пространство – 2S-мерное абстрактное пространство, по осям координат которого откладываются значения S обобщенных координат и S обобщенных импульсов . Каждой точке фазового пространства (которую называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве некоторую кривую, которую называют фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы.

Уравнения движения механической системы, которые соответствуют указанному способу описания ее состояний, можно получить различными методами. Ниже мы приведем два таких метода. Получим сначала искомые уравнения движения с помощью так называемого преобразования Лежандра, которые широко используется в теоретической физике (например, в термодинамике при преобразовании термодинамических функций от одних термодинамических параметров к другим). В интересующем нас случае преобразование Лежандра от переменных и (используемых в методе Лагранжа) к новым переменным и (используемых в методе Гамильтона) сводится к следующему.

Записываем полный дифференциал функции Лагранжа системы (мы ограничиваемся системами с обобщенно-потенциальными или просто потенциальными активными силами)

.

Производя здесь согласно (14.3) и (14.5) замены и имеем

. (17.1)

Используя очевидное равенство

,

выражение (17.1) переписываем в виде

. (17.2)

Наличие в первой части (17.2) дифференциалов и указывает на то, что величина, стоящая под знаком дифференциала в левой части (17.2), представляет собой некоторую функцию и которая определяется формулой

(17.3)

и называется функцией Гамильтона механической системы.

Символ в (17.3) означает, что для составления явного вида по формуле (17.3) необходимо обобщенные скорости выразить через обобщенные импульсы с помощью определения обобщенных импульсов согласно (14.3); заметим, что такая процедура всегда выполнима (см., например, (14. …)). Напомним, (см. § 14), что если не зависит явно от времени, то величина (17.3) является сохраняющейся, и ее называют полной энергией системы, т.е. .

Сравнивая теперь (17.2) с формальным выражением для полного дифференциала

,

получаем уравнения

, (17.4)

и

. (17.5)

Уравнения (17.4) и есть искомые уравнения движения системы в переменных и , которые называют уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями движения. Они представляют собой систему 2S дифференциальных уравнений первого порядка относительно 2S неизвестных функций и . Обращает на себя внимание симметрия уравнений (17.4) относительно переменных и .

Получим теперь уравнения Гамильтона из принципа наименьшего действия (16.2). Используя определение (17.3) имеем

,

поэтому (16.2) можно записать в виде

. (17.6)

Меняя в левой части (17.6) порядок интегрирования и варьирования, получаем:

. (17.7)

Преобразуем последнее слагаемое в левой части (17.7), интегрируя по частям:

,

откуда с учетом предельных условий имеем

. (17.8)