§2. Неопределенный интеграл.
Объектом
внимания в этом разделе является функция
,
заданная на интервале
2.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
Функция
называется первообразной
для
функции
,
если
т.
е. в каждой точке интервала
значение функции
совпадает
с производной функции
в
той же точке.
Теорема.
Любые
две первообразные
и
для функции
отличаются на некоторую постоянную
величину, т. е.
,
где C = const.
◄Рассмотрим
функцию
.
Тогда из определения понятия первообразной
получаем
.
Зафиксируем
точку
.
Учитывая свойство производной функции
G
и
используя формулу Лагранжа с замечанием
к ней, имеем для каждой точки
этого
интервала:
где
c
– некоторая точка интервала
,
расположенная между точками a
и x.
Это означает, что
►
В дальнейшем для простоты изложения опускается область определения функций и их первообразных.
Определение.
Совокупность всех первообразных для
заданной функции
называется неопределенным
интегралом от
Эта совокупность обозначается
символом
(читается:
интеграл
).
Поскольку,
согласно теореме, все функции этой
совокупности отличаются на постоянную
величину, то для нахождения
достаточно
знать одну первообразную
где
C
– произвольное число. При этом,
называют подынтегральной
функцией,
а
- подынтегральным
выражением (дифференциальной
формой).
Фактор
называют
переменной
интегрирования.
Процесс отыскания неопределенного
интеграла называют интегрированием
функции.
Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)
1)
2)
3)
4)
где
- постоянная.
5)
6)
Если функция
является произведением сложной функции
и производной
внутренней функции
,
а
– первообразная внешней функции
,
то
Таблица основных интегралов
IX)
II)
X)
III)
XI)
IV)
XII)
V)
XIII)
VI)
XIV)
VII)
XV)
VIII)
Здесь
,
,
Используя свойства 4) и 5), получаем
К первым трем интегралам в правой части применим формулу II), а к четвертому интегралу – формулу I):
Используя формулу VII), получаем
2.2. Замена переменной
Один из способов вычисления интегралов связан с заменой переменной в подынтегральном выражении.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
1)
где
– монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной
.
Формула замены переменной в этом случае
имеет вид
2)
где
- новая переменная, а функция
представима в виде
т.
е. подынтегральная функция – это
произведение сложной функции, где
внешняя функция,
внутренняя функция,
– ее производная. Формула замены
переменной при такой подстановке имеет
вид (см. свойство 6) интегралов):
Выражение
можно записать как
,
поэтому из свойства 6) интегралов и
формулы II)
находим
Заданный интеграл можно представить как:
Учитывая,
что
,
имеем из свойства 4)
т.
е. новой переменной интегрирования
является
.
Следовательно, интеграл вычисляется с
помощью свойства 6), в котором
F(u)
=
и формулы VI):
Воспользуемся
подстановкой
Эта подстановка приведет к тому, что
под знаком синуса окажется новая
переменная интегрирования
.
Найдем дифференциал
Отсюда имеем (см. формулу VIII))
Ответ
нужно выразить через старую переменную
.
Подставляя в результат интегрирования
,
получим
Полагая
,
имеем
Отсюда получим
Так
как производная выражения
равна
,
а второй множитель 1/x
отличается от этой производной только
постоянным коэффициентом 2, то нужно
применить подстановку
.
Тогда
Следовательно,
Преобразуя
знаменатель дроби, получим
Воспользуемся подстановкой
тогда
.
Отсюда
учитывая что,
Таким образом,
Положим
,
тогда
.
Используя формулу (4), находим
