- •Элементы интегрального исчисления функций одной переменной л.С. Маергойз
- •§1. Предварительные сведения из курса дифференциального исчисления
- •§2. Неопределенный интеграл.
- •2.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
- •2.2. Замена переменной
- •2.3. Интегрирование по частям
- •2.4. Интегрирование рациональных функций
- •2.5. Интегрирование иррациональных функций
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •§3. Определенный интеграл
- •3.1. Основные сведения об определенном интеграле
- •3.2. Правила вычисления определенных интегралов
- •Формула интегрирования по частям.
- •3.3. Несобственные интегралы
- •4. Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 5. Приложение определенных интегралов к решению физических задач.
- •§ 6. Варианты расчетных заданий Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Оглавление
2.3. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называют нахождение интеграла по формуле
где - непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему по-добен. При этом за целесообразно взять такую функцию, которая при диф-ференцировании упрощается, а за - ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Положим тогда По формуле, получаем
Пусть Согласно формуле, находим
Положим . Отсюда
.
Положим Применяем формулу интегрирования по частям:
.
Мы понизили степени на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям. Положим , откуда
В тех случаях, когда вычисление интеграла происходит в несколько этапов, целесообразно сделать проверку полученного результата, используя понятие первообразной или свойство 2) интегралов. Так, в примере 4 найдена первообразная подынтегральной функции Для проверки достаточно показать, что .
По формуле таблицу) находим:
,
т. е. .
2.4. Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией (или рациональной дробью) называют дробь вида где и многочлены. Рациональную функцию называют правильной, если степень m многочлена меньше степени n многочлена ; в противном случае эту функцию называют неправильной рациональной функцией (НРФ). Например,
Многочлен в числителе имеет степень m = 4, а в знаменателе степень n = 3 (m > n). Каждая НРФ разлагается на сумму
где - некоторый многочлен, степень которого меньше n, а многочлен степени m - n. Это разложение производится с помощью деления на . В частности, в примере
т. е. , а
Каждая правильная рациональная функция разлагается на сумму элементарных дробей.
Проиллюстрируем эту операцию на примере рациональной функции (см. (6)). Ее знаменатель разлагается на множители
Заметим, что у квадратного многочлена дискриминант < 0, поэтому он не имеет вещественных корней. Если же у многочлена есть корни , то он разлагается на множители
Покажем, что функция допускает представление
где A, B, C – неизвестные коэффициенты. Один из способов их нахождения заключается в следующем. Умножим обе части равенства (7) на . После сокращения общих множителей получаем
Подставим в обе части равенства (8) три значения переменной (по числу коэффициентов A, B, C). Одним из этих значений удобно выбрать значение , при котором второе слагаемое в (8) обращается в 0, т. е. . Тогда из (8) имеем: В качестве двух других значений возьмем 0 и 1. Подставляя их в (8), находим
Отсюда получаем:
Итак, коэффициенты в формуле (7) найдены:
Проверка показывает, что это разложение справедливо.
Простейшими (элементарными) дробями называют правильные дроби следующего вида:
Интегралы от первых двух дробей вычисляются с помощью таблицы интегралов.
Схему вычисления третьего интеграла рассмотрим сначала в случае и проиллюстрируем ее на примерах интегралов
Сначала в знаменателе выделяется полный квадрат с помощью формулы
В данном случае получаем
При вычислении интеграла делается теперь замена переменной . Имеем для первого интеграла:
Здесь использовалась формула (4), где .
Для второго интеграла в (10) находим
опираясь на формулу
где . Этот интеграл можно вычислить другим способом: найти корни знаменателя дроби и использовать формулу
Тогда
Применяя таблицу интегралов, придем к тому же результату. Здесь
Используя формулу (12) при , получаем:
Разберем теперь способ интегрирования дроби при на примере функции
1. Находим производную знаменателя дроби
2. Числитель дроби представляем в виде
где неизвестные числа. Для их нахождения определим значение , при котором Подставляя в обе части равенства (13), получаем Затем проделаем аналогичную операцию, полагая Находим уравнение Отсюда Итак,
3. Теперь приступаем к вычислению интеграла, используя равенство (11) и свойства интегралов:
Учитывая разложение на простейшие дроби рациональной функции в (5), получаем из (6) и (9):
где
Рассмотрим еще один способ вычисления интеграла вида . Сделаем в интеграле замену переменных и, представляя в виде суммы двух интегралов, воспользуемся формулой (4):
Разберем теперь пример на решение интеграла вида IV при A = 0, n = 2.
Преобразуем квадратный трехчлен в знаменателе дроби
и сделаем замену переменной
Полученный интеграл разобьем на 2 интеграла
где . Вычислим интеграл методом интегрирования по частям, полагая . Тогда
(постоянную С считаем равной 0). Поэтому
Отсюда и из (14), применяя формулу (4), находим:
Теперь, возвращаясь к переменной , получаем:
Рассмотрим интегралы вида , где – рациональная функция. С помощью подстановки данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.
Положим
Так как то разложение на простейшие дроби имеет вид
Освобождаясь от знаменателей, получим
Если , то , т.е ; если , то , т.е. B = 3/4; наконец, если , то , т. е. . Итак,
,
следовательно,