3.2. Правила вычисления определенных интегралов
Формула Ньютона – Лейбница. Для любой непрерывной функции , заданной на [a, b], существует первообразная F(x) такая, что
Поэтому
определенный интеграл
функции
на
приращение ее первообразной
на отрезке
.
◄ 1.
Без ограничения общности можно считать,
что функция
задана на интервале
(см. свойство 3 непрерывных функций).
Рассмотрим интеграл Римана от функции
с переменным верхним пределом:
Полагаем
Покажем, что
При
равенство выполняется, поскольку
(см.
свойство 2). Если
,
то из свойств 3, 1 имеем:
Отсюда вытекает справедливость равенства (∗) и в этом случае. По аналогичным причинам оно верно и в остальных случаях (см. свойство 1).
2.
Докажем, что функция Φ
– первообразная для
.
Пусть
Согласно
свойству 4 непрерывных функций (см. §1),
функция
достигает максимального значения M
и минимального значения m
в некоторых точках
отрезка
при
,
или отрезка
при
,
т. е.
Теперь
из свойства 6 заключаем:
Отсюда и из тождества (∗) вытекает неравенство:
Используя
свойство 1, аналогичными действиями
убеждаемся в справедливости этого
неравенства и при
.
Если
,
то
.
Поэтому, учитывая непрерывность функции
и переходя к пределу в найденном
неравенстве при
,
приходим к выводу
3.
Пусть
– любая другая первообразная для функции
,
отличная от
Тогда (см. раздел 2.1)
где
–
некоторое число. Отсюда, учитывая, что
,
находим
.
Поэтому
Формула интегрирования по частям.
где
– непрерывно дифференцируемые функции
на отрезке
Замена переменной. Справедлива формула
где
– монотонная функция, непрерывная
вместе со своей производной
на отрезке
,
причем
4.
Если
- нечетная функция, т. е.
то
Если
- четная функция, т. е.
то
По формуле Ньютона – Лейбница имеем.
Воспользуемся
методом интегрирования по частям.
Положим
,
откуда
Тогда получим
Положим
тогда
если
то
если
,
то
Следовательно,
Интегрируем по частям, полагая
Теперь находим
Следовательно,
3.3. Несобственные интегралы
Несобственными интегралами называют:
1) интегралы с бесконечными пределами;
2) интегралы от неограниченных функций.
Несобственный
интеграл от функции
в пределах от
определяется равенством
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, то он называется расходящимся. Аналогично
Если
функция
не ограничена в точке
отрезка
(например,
)
и непрерывна при
и
то по определению полагают
называют сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства (16), и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.
Имеем
Этот предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.
т. е. несобственный интеграл сходится.
Подынтегральная
функция
неограниченна, а потому имеем
Итак, несобственный интеграл расходится.
Имеем
т. е. несобственный интеграл сходится.
Признаки сравнения. При исследовании сходимости интегралов пользуются одним из признаков сравнения.
1.
(a)
Если при
является бесконечно малой порядка
по
сравнению с
,
то
интеграл
сходится
при
и расходится при
.
(б)
Если функция
определена
и непрерывна в промежутке
и
является бесконечно большой порядка
по
сравнению с
при
,
то интеграл
сходится
при
и
расходится при
.
Это
свойство удобно применять в тех случаях,
когда есть трудности в вычислении
несобственных интегралов.
2. Если
функции
определены для всех
и
интегрируемы на отрезке
то
из cходимости
интеграла
*),**)
Это означает, что, соответственно
де
- ограниченная функция.
Подынтегральная
функция является бесконечно большой
при
.
Пред-
ставим ее в следующем виде:
т.
е. порядок этой бесконечно большой
функции при
по сравнению с
равен
.
Поэтому интеграл сходится в силу признака
1(б).