4. Вычисление площади плоской фигуры

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции где прямыми , и отрезком оси , вычисляется по формуле

Дадим доказательство формулы (17). Оно служит иллюстрацией метода решения прикладных задач на суммирование бесконечно малых величин.

◄ Пусть где – площадь "переменной" криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции вертикальными прямыми и и отрезком оси . Значение S = S(b) функции S(x) в точке b – искомая площадь заданной криволинейной трапеции.

Покажем, что функция – первообразная для Приращение функции при фиксированном и достаточно малом геометрической точки зрения представляет собой “элементарную площадь криволинейной трапеции” (см. рисунок 1). В данных на этом рисунке обозначениях имеем:

Здесь соответственно минимум, максимум функции f на отрезке [x, x + ], причем для некоторых t, u [x, x + ] (см. свойство 4 непрерывных функций). Поэтому

Последнее неравенство верно и при Далее поступаем по аналогии с рассуждениями в пункте 2 доказательства формулы Ньютона-Лейбница. Если , то Поэтому, учитывая непрерывность функции и переходя к пределу в найденном неравенстве при приходим к выводу

(*)

где соответственно правая и левая производные функции

Без ограничения общности можно считать, что функция задана на интервале Например, это выполняется, если вне отрезка определить так:

x x

Для определения функции вне отрезка полагаем:

S(x) = (x - a) f (a), x S(x) = (x - b) f (b) + S(b), x

Отсюда и из соотношения (*) заключаем, что в точках a и b правая и левая производные функции Поэтому справедливо равенство

Итак, функция – одна из первообразных для на По формуле Ньютона-Лейбница получаем:

Но , а – искомая площадь. Формула (17) доказана. ►

2. Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций , , где , и прямыми

определяется по формуле

◄ Из свойства 4 непрерывных функций, следует, что функции. Поэтому найдется постоянная С такая, что

f (x) := := C > 0 для всех

разность площадей двух криволинейных трапеций, определяемых графиками функций Поэтому оно равно площади фигуры, отличающейся от рассматриваемой лишь параллельным переносом. Т.е. формула (18) верна. ►

3. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где – монотонная непрерывная функция, имеющая непрерывную производную и такая что , а – непрерывная функция со свойством Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и отрезком оси , выражается формулой

◄ У монотонной непрерывной функции существует непрерывная обратная функция (см. свойство 5 непрерывных функций). Из свойства 2 этих функций заключаем, что непрерывной является и функция Искомая площадь определяется формулой (17). Делая в этом интеграле замену переменой = y(t), приходим к формуле (19). ►

4. Площадь S криволинейной фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах уравнением где – непрерывная функция, и двумя полярными радиусами , , находится по формуле

Доказательство этого равенства предоставляется читателю в качестве упражнения, опираясь на метод доказательства формулы (17).

Пример 1. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой и осью .

Парабола пересекает ось в точках и Следовательно, по формуле (17) имеем:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и гиперболой .

Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для этого решим систему уравнений:

или

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители: , откуда . Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках и . Отсюда, используя формулу

получаем (см. (18))

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью , .

Здесь , а . Поэтому по формуле (17) находим:

Здесь использовалась формула .

Рис.4. Арка циклоиды

Пример 4. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой

Четвертая часть искомой площади фигуры расположена между полярными радиусами и . Из (20) имеем: