2.5. Интегрирование иррациональных функций
Способы вычисления интегралов от иррациональных выражений проил-люстрируем на примерах.
Преобразуя
квадратный трехчлен к виду
,
используя формулу
и
делая замену
,
получаем:
Выделим
в числителе производную подкоренного
выражения (см. 1.3.):
Здесь использовалась формула (12).
Положим
тогда
и, следовательно, (см. (5))
Подынтегральная
функция содержит
и
Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей
у показателей 1/2 и 1/3 равно 6. Сделаем
замену переменных
Тогда
Найдем разложение на дроби подынтегральной функции
или
Поэтому
где
(см.
формулу (11)).
2.6. Интегрирование тригонометрических функций
Способы интегрирования тригонометрических функций проиллюстрируем на примерах.
Подынтегральная
функция является рациональной относительно
и
.
Воспользуемся подстановкой
. Тогда
.
Учитывая,
что
,
находим:
Возвращаясь к старой переменной, получим
Если
в интеграле вида
,
– нечетное положительное число, то
применяют подстановку
,
если же
- нечетное положительно число –
подстановку
.
Полагая
,
,
получим
При
нахождении таких интегралов применяют
формулу
с помощью которой последовательно
понижают степень тангенса или котангенса
Имеем
Для вычисления нижеследующего интеграла потребуются
Тригонометрические формулы
Они дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.
Используя
первую тригонометрическую формулу,
получим
§3. Определенный интеграл
3.1. Основные сведения об определенном интеграле
Излагаемое ниже понятие называется интегралом Римана.
Пусть
функция
задана на отрезке
.
Разобьем его на части произвольным
образом, вставив между a
и
b
точки
деления
Наибольшую
из разностей
назовем
диаметром разбиения
и обозначим через d.
Возьмем
в каждом из промежутков любую фиксированную
точку
Говорят, что функция интегрируема на отрезке , если существует конечный предел
не
зависящий от выбора точек
и выбора последовательности разбиений.
Число
называют
определенным
интегралом от
функции
на
и обозначают символом
,
а стоящую под знаком предела сумму –
интегральной
суммой.
Число a
называют
нижним,
а
число b
– верхним пределами интегрирования.
Интегральная сумма состоит из “бесконечно малых” слагаемых. Поэтому процесс вычисления определенного интеграла называют иногда суммированием бесконечно малых величин. Примером интегрируемых функций на отрезке являются все непрерывные функции, заданные на . В этом разделе рассматриваются интегралы Римана только от непрерывных функций.
Основные свойства определенного интеграла
Оценка
определенного интеграла. Если
то
