1. Электрическая цепь. Эл ток, напряжение, эдс. Идеализированные и реальные элементы цепей. Управляемые источники тока и напряжения.

Элементы:

1. Пассивный линейный элемент – резистор, имеющий сопротивление R[Ом] R=U/I

Электрическая проводимость G=1/R [См]

2. Активные эл элементы – источники электрической энергии

А) идеальный источник ЭДС. Напряжение на зажимах ист ЭДС не зависит от ист тока. Внутреннее сопротивление ид источника ЭДС равно 0.

Б) идеальный источник тока. Ток I не зависит от ист ЭДС. Внутренняя проводимость равна 0. То есть внетренее сопротивление-бессконечность.

В) реальный генератор ЭДС. Он может быть представлен в виде 2х (послед и параллел) схем (эквивалентных). Схема 1: последов источник ЭДС и сопротивление. Схема 2: источник тока и параллельно ему проводимость.

I=E/R G=1/R.

1.2Пассивные дифференцирующие цепи

Линейные пассивные четырёхполюсники при определённых условиях могут использоваться для получения сигналов требуемой формы.

Наиболее широкое применение получили четырёхполюсники, называемые д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и м и и и н т е г р и р у ю щ и м и ц е п я м и. У первых напряжение на выходе приблизительно пропорционально производной, у вторых - интегралу от входного напряжения. Простейшие дифференцирующие цепи изображены на рис. 4.1, а и 4.1 б.

где Для цепи на рис. 4.1 б где

Изображение напряжения на выходе обеих схем

(4.3)

Четырёхполюсник с передаточной функцией (4.1) и (4.2) не является дифференцирующим звеном, однако при выполнении условия

,

и в соответствии с теоремой дифференцирования (2.11),

т.е. цепи на рис. 4.1 и 4.2 будут практически дифференцирующими.

Точность дифференцирования зависит от степени выполнения неравенства (4.4) или при неравенства Она тем выше, чем меньше постоянная времени цепи ( или ) и чем ниже - верхняя частота спектра входного сигнала. Выходное напряжение , как следует из выражения (4.6), снижается пропорционально уменьшению

В другом предельном случае при напряжение на выходе цепей рис. (4.1) и (4.2) мало отличается от входного. Такие цепи называют р а з д е л и т е л ь н ы м и .

При исследовании переходных процессов в цепях при воздействии импульсных сигналов удобно верхнюю граничную частоту спектра выразить через длительность входного импульса

Теоретически спектр импульса любой формы является бесконечным, однако на практике его ограничивают диапазоном частот, в пределах которого сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Так, спектр прямоугольного импульса ограничивают частотой при этом в полосе частот от 0 до заключено 90,2% его энергии [7]. Примерно такую же ширину спектра имеет другой импульс со скачком – экспоненциальный. У импульсов плавной формы (синусоидальной, треугольной) спектр несколько меньшей протяжённости, однако для ориентировочных оценок граничную частоту спектров импульсов любой формы обычно принимают равной (с запасом)

(4.8)

или (4.9)

Таким образом, с учётом формулы (4.8) условие точного дифференцирования примет вид

или (4.10)

Формула (4.10) применима для периодической последовательности прямоугольных импульсов, а также для сигналов амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), так как ширина их спектра определяется только длительностью импульсов

Теоретически постоянная времени цепи может быть выбрана сколь угодно малой, однако в реальных схемах величина ограничена снизу внутренним сопротивлением источника входного сигнала и паразитной ёмкостью нагрузки , шунтирующий выход цепи; и необходимо учитывать при выборе параметров дифференцирующей -цепи (рис. 4.1 а, б) [5].

Пример 4.1

На вход цепи (рис. 4.1 а) подаётся сигнал в виде одиночного прямоугольного импульса (рис. 4.2 а). Построить временные диаграммы выходного напряжения для различных отношений к длительности входного импульса.

В примере 3.5 рассчитан ток в цепи. Выражения для выходного напряжения в схеме (рис. 4.1 а) имеют вид

при . (4.11)

При . (4.12)

На рис. 4.2 а-е по формулам (4.11) и (4.12) построены кривые для значений равных: а) ; б)10; в)1,0; г)0,3; д)0,05; е)0.

Формулы ( 4.11) и (4.12) и графики справедливы также для

RL-цепи (рис. 4.1 б) при

Временные диаграммы (рис. 4.2) наглядно показывают преобразование формы сигнала на выходе цепи во всем диапазоне изменения отношения от

П ри (рис. 4.2 б) цепь является разделительной; её назначение– пропускать сигнал без существенных переходных искажений.

При (рис. 4.2 д) - цепь приближается к дифференцирующей. Чем меньше отношение , тем короче экспоненциальные импульсы на выходе цепи в моменты скачков входного напряжения. Результат идеального дифференцирования прямоугольного импульса в виде двух дельта-функций показан на рис. 4.2 е.

Пример 4.2

На входе цепи (рис. 4.1 а, б) действует экспоненциальный импульс напряжения Построить кривую напряжения на выходе при соблюдении условия дифференцирования.

В примере 3.6 получено выражение (3.18) для RL-контура (рис. 4.1 б); для RC-цепи (рис. 4.1 а) будет идентичным формуле (3.18).

(4.13)

где – коэффициент затухания цепи; (рис. 4.1 а); (рис. 4.1 б).

Производная входного напряжения

Для того чтобы из формулы (4.13) получить её приближённое выражение (4.14) необходимо выполнить условие .

Для построения графика переходного процесса положим тогда

Рис. 4.3

Из графика рис. 4.3 видно, что через время в цепи устанавливается принуждённый режим и достаточно точно воспроизводит производную входного сигнала. Сокращение участка ошибок может быть достигнуто за счёт уменьшения постоянной времени . При этом, как следует из выражения (4.13), уменьшается уровень выходного сигнала.

Обратимся к области применения четырехполюсников, приведенных на рис. 4.1 и 4.4.

Дифференцирующие цепи, отвечающие условию ( 4.7) , обычно используют для получения коротких импульсов с крутыми фронтами, а не для аналогового дифференцирования в установившемся режиме. Они работают в режиме наибольших переходных искажений, поэтому более точное название таких цепей укорачивающие (о б о с т р я ю - щ и е), а в импульсной технике – у с к о р я ю щ и е (ф о р с и р у ю щ и е) цепи.

Длительность выходного импульса , обычно отсчитываемая на уровне 0,5 , называется а к т и в н о й ( на рис. 4.2 д).

Для экспоненциального импульса откуда

Разделительные цепи, удовлетворяющие неравенству , где - нижняя частота спектра входного сигнала, предназначены для передачи сигналов через четырёхполюсник с допустимыми переходными искажениями.

Цепь на рис. 4.1 а используется для разделения переменной и постоянной составляющих сигнала, например в цепях межкаскадной связи в усилителях переменного тока. Импульсный трансформатор на рис. 4.4 применяется в качестве согласующего; для изменения полярности импульсов; обеспечивает гальваническую развязку входной и выходной цепей и т. д.

Переходные искажения разделительных четырёхполюсников характеризуются относительным спадом вершины импульса ( ):

(4.16)

Разложив в степенной ряд (1.23) и ограничившись двумя членами этого ряда, что справедливо для малых ( ), получим приближённую формулу для при В примере 4.1 на рис. 4.2 б показан спад вершины импульса для случая При этом и погрешность формулы (4.16) составляет 5%. Для сигнала на рис. 4.2 в формула (4.17) не пригодна:

.

Сравнивая RC-цепь с RL-цепью (рис. 4.1 а, б), отметим, что конструкция и настройка первой схемы при её реализации проще, чем схемы с индуктивной катушкой, и RC-цепь имеет преимущественное применение. Тем не менее можно привести ряд примеров использования дифференцирующей RL-цепи. Так, в импульсных усилителях применяется простая и эффективная ВЧ индуктивная коррекция, расширяющая полосу пропускания усилительного каскада в области верхних частот и уменьшающая искажения фронта импульса [8]. В импульсной технике находят применение дифференцирующие трансформаторы (пример 4.3).

Применение операционных усилителей для повышения точности дифференцирования и интегрирования

Операционным усилителем (ОУ) называют усилитель постоянного тока прямого усиления, выполненный в виде интегральной микросхемы, который по своим характеристикам приближается к идеальному усилителю.

Современные ОУ имеют высокий коэффициент усиления , широкую полосу частот ( * до 500 МГц), высокое входное сопротивление , малое выходное сопротивление ( десятки омов) [5]. - частота единичного усиления, на которой модуль коэффициента усиления ОУ равен единице (0 дБ).

Такие параметры ОУ ( ) дают основание считать его идеальным с достаточной точностью при анализе многих схем.

У словное обозначение ОУ показано на рис. 4.8 а.

Знаком “ ”обозначен и н в е р т и р у ю щ и й вход ОУ. Сигнал, поданный на этот вход ( ), и сигнал на выходе ОУ ( ) находятся в противофазе. Сигнал на неинвертирующем входе и совпадают по фазе. На рис. 4.8 б приведена схема ОУ, в которой с помощью сопротивления введена отрицательная обратная связь(ОС) по напряжению. Найдём передаточную функцию четырёхполюсника при условии, что ОУ - идеальный ( ).

Из схемы на рис. 4.8 б следует

При .

Полагая ,

Таким образом, передаточная функция ОУ, охваченного отрицательной ОС, при большом значении определяется только сопротивлениями внешней цепи и . Знак “ минус” показывает инверсию фазы выходного сигнала относительно входного.

Если в схеме (рис. 4.8 б) а , то получим дифференцирующий усилитель (рис. 4.9 а) с передаточной функцией

которой отвечает следующая связь между и :

При и .

В этом случае получим интегратор входного сигнала, для которого

Таким образом, если ОУ близок к идеальному, то схемы на рис. 4.9 а, б обеспечивают точное дифференцирование и интегрирование входного сигнала.

На практике качество дифференцирования и интегрирования зависит от неидеальности характеристик ОУ.

Передаточная функция идеального дифференцирующего усилителя не может быть реализована из-за ограниченной полосы пропускания и конечного коэффициента усиления реального ОУ. Кроме того, схема на рис. 4.9 а может самовозбудиться из-за спада коэффициента усиления ОУ на высоких частотах и дополнительных фазовых сдвигов, вносимых цепью ОС [5]. Уменьшение с увеличением частоты приводит к тому, что схема дифференцирующего усилителя имеет высокий коэффициент усиления на верхних частотах, даже за пределами полосы частот полезного сигнала. Поэтому, наряду с ВЧ составляющими спектра входного сигнала, схема усиливает собственные шумы и внешние помехи, которые накладываются на полезный сигнал и искажают его.

В схеме интегратора на рис. 4.9 б смещение нуля выходного напряжения из-за разбаланса ОУ, а также наличие входных токов смещения, обусловленных конечным значением входного сопротивления, ограничивают максимальную длительность интегрирования, так как с течением времени напряжение ошибки будет нарастать. Из-за конечного значения коэффициента усиления ОУ напряжение на выходе интегратора изменяется по экспоненциальному закону, а не строго линейно (при интегрировании перепада напряжения), однако при этом постоянная времени экспоненты и выходное напряжение приблизительно в раз больше, а погрешность интегрирования в раз меньше, чем у пассивной интегрирующей цепи при тех же номиналах R и C.

На практике применяют модифицированные схемы дифференцирующего устройства и интегратора (рис. 4.10 а, б).

Чтобы избежать проявления нежелательных свойств четырёхполюсника на рис. 4.9 а, используют скорректированную схему (рис. 4.10 а), которая дифференцирует сигналы до частоты , является усилителем с в полосе частот от до и интегратором на частотах выше .

Такой четырёхполюсник, представляющий собой интегродифференцирующее звено, можно использовать в качестве полосового фильтра.

Улучшенная схема интегратора показана на рис. 4.10 б. Резисторы и позволяют уменьшить ошибку интегрирования, вызванную разностью входных токов и напряжением смещения нуля ОУ. Для сброса интегратора на нуль (при отсутствии ) перед началом интегрирования конденсатор С кратковременно закорачивают с помощью электронного ключа , выполненного на микросхеме или МОП - транзисторе.

Интеграторы широко применяют при создании генераторов линейно изменяющегося и синусоидального напряжений, точных фазосдвигающих устройств, в качестве ARC - фильтров нижних частот и др.

Важнейшей характеристикой четырёхполюсника является передаточная функция* – отношение изображения по Лапласу выходного напряжения ко входному при нулевых начальных условиях (рис. 2.5 а). . (2.28)

не зависит от и определяется только схемой цепи. Она удобна для составления уравнений и исследования линейных систем.

* Кроме принятого здесь обозначения передаточной функции [1,3,5], используются другие обозначения: [2, 4], [10], .

Передаточная функция системы выражается через передаточные функции отдельных её звеньев. Например, если четырёхполюсники (звенья) соединены последовательно (рис. 2.5 б), то передаточная функция системы из звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев

. (2.29)

Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме их передаточных функций . (2.30)

Передаточные функции широко применяются не только для решения задач анализа, но и для обоснования методов синтеза линейных электрических цепей [3, 4].

2.1Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС: Устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. U_ab=IR

З акон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС. Обобщенный закон Ома: Закон (правило) Ома для участка цепи содержащего источник ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов концах участка цепи и имеющейся на этом участке ЭДС. Так

Законы Кирхгофа:

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю:

2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утека­ющих от узла токов.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулиро­вать двояко:

1. алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:

2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

т.е.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряже­ний.

Закон Ома для цепи синусо­идального тока:

, где Z-комплексное сопротивление.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX:

Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. На

в мс. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая R,L,С и источник ЭДС е(t). Замыкание ключа К. в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i=i(0_) и напряжение на конденсаторе Uс=Uc(0_). Запишем падение напряжения на участке цепи: Заменим на , на =>

Перейдём к изображениям:

Тогда падение примет вид: после преобр

-закон Ома в операторной форме

• - комплексный корень характеристического уравнения

Данная запись закона справедлива для присутствия ЭДС в цепи и для ненулевых начальных условий.

- внутр ЭДС (запас энергии в магнитном поле катушки)

- внутр ЭДС (запас энергии в электрич поле кондёра)

- закон Ома в оперной форме для отсутствия ЭДС и для нулевых начальных условий.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:

1) алгебраическая сумма мгновенных значений токовсходящихся в любом узле схемы , равна нулю:

, т.е. , а в операторной форме .

Второй закон Кирхгофа в операторной форме:

П редварительно выбираем направление обхода контура и направления токов в ветвях: Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура рис. 8.28. Контур обходим по часовой стрелке. Катушки включены согласно, но из-за того что токи в ветвях направлены в разные стороны появляется знак минус. Падение напряжения на равно ,на по аналогии.

На кондёре есть начальное напряжение примем его согласно току .

тогда получаем следующее уравнение:

Все слагаемые заменим операторными изображениями:

После преобразований запишем в свёрнутом виде:

где: В общем виде второй закон Кирхгофа в операторной форме следующий: