12.2. Единичная импульсная функция
Единичная
импульсная функция - чётная функция,
равная нулю при всех значениях
,
кроме точки
,
в которой она имеет бесконечное значение
(рис. 3.1 б); площадь
равна единице. Так как
везде,
кроме
,
то
В
бесконечно малой окрестности точки
непрерывная функция
постоянна и равна
;
вынося
за
знак интеграла и используя формулу
(3.3), получим формулу . Можно также
записать, что
где
-
единичная импульсная функция, смещённая
на время
(рис. 3.1 в).
Выражения (3.4) и (3.5) описывают фильтрующее (стробирующее) свойство функции . Единичная ступенчатая и единичная импульсная функции относятся к семейству разрывных или особых функций и используются для идеализированного представления сигналов. Эти сигналы, часто называемые в теории цепей единичный скачок напряжения и единичный импульс, обычно выбираются в качестве типового внешнего воздействия (возмущения), приложенного ко входу цепи (системы), при котором переходный процесс носит наиболее неблагоприятный характер. Кроме того, при помощи интеграла Дюамеля и интеграла свёртки они позволяют вычислить реакцию цепи на любое внешнее возмущение.
Переходные функции цепи. Импульсная переходная функция
Переходной
функцией называют реакцию цепи на
воздействие единичного скачка напряжения
(или тока). Под реакцией понимают
изменение во времени напряжения на
любом участке цепи или тока в любой её
ветви. Переходную функцию цепи определяют
при нулевых начальных условиях. При
воздействии на входе цепи скачка
напряжения
ток
в
любой ветви можно представить в виде
произведения напряжения
на проводимость
а
напряжение на каком-либо участке цепи
.
Для единичного скачка напряжения, т.е.
при
где
-
так называемая переходная проводимость;
- переходная функция
по напряжению - это безразмерная
величина, численно равная напряжению
на каком-либо участке цепи, если на вход
цепи подать постоянное напряжение в
1В. Переходные функции цепи
и
,
называемые также переходными
характеристиками, можно найти классическим
или операторным методом.
Пример 3.1
При
включении последовательной RL-цепи на
постоянное напряжение
(рис.
1.5) ток и напряжение на резисторе и
индуктивной катушке равны (1.16), (1.17),
(1.18):
Полагая в этих формулах , получим переходную проводимость и переходные функции для напряжений
Пример 3.2
Найдём переходные функции последовательной RC-цепи (рис. 1.13), в которой (1.29), (1.30), (1.31):
При найдём
Импульсной
переходной функцией
* называется реакция цепи на воздействие
единичной импульсной функции
.
Поскольку
внешние воздействия
и
связаны
формулой (3.2)
,
то аналогичной зависимостью связаны
и их реакции
и
(так как цепь линейная):
при
Если
то
Расчёт переходных процессов с использованием импульсной переходной функции
П
усть
к входу пассивного двухполюсника (рис.
3.2 а) приложено внешнее воздействие в
виде непрерывной функции
(рис. 3.7). Найдём реакцию на выходе цепи
(напряжение, к примеру, на одном из
элементов), если известна импульсная
переходная функция цепи
Представим
кривую
в виде последовательности примыкающих
друг к другу прямоугольных импульсов
с длительностью
и амплитудой
для моментов времени
.
Для единичного импульса
составляющая реакций в момент времени
равна импульсной переходной функции
Но
площадь рассматриваемого импульса не
равна единице, а равна
,
поэтому реакция на него в момент времени
будет
.
Суммируя
составляющие реакции от действия всех
импульсов, каждый из которых имеет
бесконечно малую длительность (
)
от
до
,
получим полную реакцию на выходе цепи
Формула
(3.16) называется с в ё р т к о й двух
функций
и
.
Заменив переменную в подынтегральном выражении (3.16) , получим вторую форму интеграла свёртки
(3.17)
С помощью формул свёртки (3.16) и (3.17) можно определить реакцию цепи на внешнее воздействие и в том случае, если оно имеет вид кусочно-непрерывной функции (например, рис. 3.4). Формулы свёртки (3.16) и (3.17) являются разновидностью интегралов Дюамеля (3.10) – (3.13). Интегралы Дюамеля и свёртки называют также интегралами н а л о ж е н и я, что отражает возможность их использования для расчёта переходных процессов только в линейных электрических цепях.