16.1.Классический метод расчёта переходных процессов

Определение переходного процесса

Переходным процессом называется изменение во времени токов и напряжений в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.

Установившийся (стационарный) режим создаётся в цепи источником постоянной ЭДС, источником периодически изменяющейся ЭДС произвольной формы (в том числе синусоидальной). К этому режиму относится также случай отсутствия токов в ветвях цепи.

В отличие от установившегося, переходной режим – неустановившийся, нестационарный процесс, характеризующийся быстрыми изменениями токов и напряжений.

Переходной процесс начинается с мгновенного изменения состояния цепи, называемого к о м м у т а ц и е й: замыкания, размыкания, переключения выключателей, контактов реле и других коммутационных устройств, объединённых общим названием – «ключи» (рис. 1.1). Под это понятие попадают также электронные схемы, работающие в ключевом режиме.

В дальнейшем будем считать, что коммутация происходит при . Момент времени, предшествующий коммутации, будем обозначать , а момент времени сразу после коммутации – . В момент коммутации в электрической цепи скачком изменяется приложенное к ней напряжение или её параметры, причём переходный процесс возможен только в такой цепи, в состав которой входят реактивные элементы – индуктивность и (или) ёмкость, способные запасать энергию магнитного и электрического полей. Переходной процесс отсутствует в цепях, содержащих лишь активные сопротивления. При коммутации в таких цепях токи и напряжения устанавливаются мгновенно.

В радиотехнике и связи переходные процессы имеют первостепенное значение, так как длительность сигналов соизмерима со временем переходных процессов. Они влияют на форму сигналов. В некоторых схемах они нежелательны, поскольку являются причиной переходных искажений; в других – используются для получения сигналов заданной формы.

В автоматическом регулировании параметры переходного процесса определяют показатели качества системы (перерегулирование, время регулирования, декремент затухания и др.).

Во время переходных процессов на отдельных участках цепи могут возникать напряжения и токи, во много раз превышающие установившиеся значения. Это обстоятельство необходимо учитывать при разработке электрических и электронных схем.

Законы коммутации

Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут изменяться скачком, а являются непрерывными функциями времени, т.е.

Равенства (1.1) и (1.2) выражают аналитически соответственно первый и второй законы коммутации.

В схеме на рис. 1.2 а происходит коммутация в цепи постоянного тока, содержащей индуктивность. Ток в цепи до коммутации ; ток в установившемся режиме после окончания переходного процесса .

Н а основании первого закона коммутации,

Н а рис. 1.2 б показан постепенный, непрерывный процесс установления тока в цепи после замыкания ключа S.

На рис. 1.3 поясняется второй закон коммутации.

В схеме на рис. 1.3 а за время переходного процесса напряжение на ёмкости непрерывно изменяется от значения до (рис. 1.3 б).

В момент переключения в цепи при t=0 должен выполняться второй закон коммутации

.

С физической точки зрения законы коммутации являются частными проявлениями общего закона природы – закона непрерывности энергии. Энергия магнитного поля, запасённая в индуктивности , и энергия электрического поля, запасённая в ёмкости , не могут изменяться скачком. Действительно, скачкообразное изменение или влечёт за собой скачкообразное изменение или . В этом случае мгновенные мощности в индуктивности в ёмкости равны бесконечности, что лишено физического смысла, так как реальные источники энергии не могут развивать бесконечно большую мощность. С другой стороны, если допустить, что в момент коммутации ток (или напряжение ) изменяется скачком, то напряжение на индуктивности (ток в ёмкости ) примет бесконечно большое значение, и в цепи не будет выполняться второй (или соответственно первый) закон Кирхгофа.

Заметим, что ток в ёмкости и напряжение на индуктивности не являются носителями энергии, поэтому законам коммутации не подчиняются и могут изменяться скачком.

Переходный, принуждённый и свободный процессы

Изучение переходных процессов сводится к исследованию и решению уравнений равновесия токов в узлах и напряжений в контурах, составленных применительно к их мгновенным значениям, т.е. в интегро-дифференциальной форме.

Рассмотрим пример подключения последовательного RLC-контура

(рис. 1.4) к источнику непрерывно изменяющейся ЭДС, заданной аналитически.

П олагая , для произвольного составим уравнение равновесия напряжений в контуре

.

Ток в уравнении (1.3) называется током переходного процесса или переходным током. После окончания переходного процесса наступает принуждённый (вынужденный) режим, который создается в цепи источником ЭДС.

В случае постоянной, синусоидальной или любой периодически изменяющейся ЭДС принуждённый режим называют также установившимся.

С установлением принуждённого режима уравнение (1.3) примет вид

, где – принуждённый ток.

Вычитая из уравнения (1.3) уравнение (1.4) и вводя обозначение

, получим .

Ток называется свободным током или током свободного процесса.

Уравнение (1.5) показывает, что переходный процесс в цепи можно рассматривать как суперпозицию (наложение) двух процессов - принуждённого, наступающего сразу после коммутации, и свободного, существующего только во время переходного процесса, т.е.

. Физически существует только один ток – переходный, и представление его в виде двух составляющих упрощает расчёт переходного процесса, сводящийся к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Ч астное решение такого уравнения дает принуждённый ток, общее решение однородного – свободный ток. Тогда переходный ток есть общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

В нахождении принуждённой и свободной составляющих тока или напряжения (интегрировании дифференциальных уравнений) и заключается расчёт переходных процессов классическим методом.

Порядок расчёта переходного процесса

Анализ переходного процесса в разветвлённой цепи начинают с составления системы уравнений для мгновенных значений токов и напряжений, используя любой подходящий для расчётов метод (контурных токов, узловых потенциалов, законов Кирхгофа и др.). Если требуется найти какой-либо один ток (или напряжение), то систему исходных дифференциальных уравнений путём исключения остальных переменных приводят к одному уравнению n-го порядка:

Принуждённая составляющая зависит от вида приложенного напряжения – это либо постоянное, либо синусоидальное напряжение; составляющую находят обычными методами расчёта установившегося режима после коммутации.

Физическая причина свободного процесса – несоответствие запаса электромагнитной энергии в реактивных элементах цепи в момент коммутации тому значению, которое должно быть в них после коммутации.

Свободный ток представляет общее решение однородного уравнения

.Решение уравнения (1.9) находят в виде

. Подставив экспоненту и её производные в уравнение (1.9), после сокращения получают алгебраическое уравнение степени , которое называют х а р а к т е р и с т и ч е с к и м у р а в н е н и е м:

Каждый из n корней уравнения (1.11) даёт линейно независимое решение ; общее решение уравнения (1.9) представляет линейную комбинацию этих решений. Вид корней определяет характер свободного процесса, его функциональную зависимость от времени.

В частном случае, если корни характеристического уравнения вещественные и различные, выражение свободного тока имеет вид

,где – постоянные интегрирования.

Другие варианты возможных решений для рассмотрены ниже в § 1.13.

Постоянные интегрирования в выражении (1.12) определяют из начальных условий – значений токов и напряжений в цепи при .

Прежде всего из законов коммутации (1.1) и (1.2) находят н е з а в и с и м ы е н а ч а л ь н ы е у с л о в и я (значения), которые справедливы только для тока через индуктивность и для напряжения на ёмкости. Значения остальных токов и напряжений при (з а в и с и м ы е н а ч а л ь н ы е у с л о в и я) определяют по независимым начальным условиям, используя законы Кирхгофа.

Отметим, что порядок дифференциального уравнения (1.8) (порядок цепи) равен общему числу индуктивностей и ёмкостей, для которых можно задать независимые начальные условия. Ввиду того, что решения для свободного тока (или напряжения) в любой ветви цепи имеют стандартную форму (1.10), а корни уравнения (1.11) зависят только от параметров цепи R, L, C, нет необходимости всякий раз составлять и обрабатывать дифференциальные уравнения. Расчёт переходного процесса рекомендуется вести в следующем порядке. Выбрать условно положительные направления токов в ветвях цепи. Записать для искомого тока общее решение в виде .

Найти в установившемся режиме после коммутации. Составить характеристическое уравнение и найти его корни. Его можно записать по виду дифференциального уравнения (1.9), если последнее известно. Другой, более простой способ его получения состоит в том, что для цепи находят комплексное входное сопротивление , в котором заменяют на , а затем приравнивают к нулю. можно составить относительно любой ветви цепи, причём источник ЭДС следует условно закоротить, так как его внутреннее сопротивление равно нулю. По виду корней характеристического уравнения записать решение для свободного тока (см. § 1.13). Определить независимые начальные условия (1.1) и (1.2) и и, используя их, найти зависимые значения искомых токов (или напряжений) для по законам Кирхгофа.

Найти постоянные интегрирования. Записать окончательные выражения переходных токов и напряжений. Определить необходимые параметры переходного режима (постоянные времени, время переходного процесса, величину выбросов и др.).

Б илет № 16.2. Нелинейные магнитные цепи на постоянном токе. Законы Ома и Кирхгофа для магнитной цепи. Расчет магнитной цепи с последовательным соединением участков (прямая и обратная задачи).

Нелинейными называются цепи, параметры которых зависят от тока или напряжения.

Процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными, алгебраическими и дифференциальными уравнениями, которые составляются на основе законов Кирхгофа. Для аналитического решения уравнений необходимо выразить аналитически характеристики всех нелинейных элементов цепи; от удачного выбора приближённых аналитических выражений характеристик зависит возможность аналитического решения задач.

Для анализа в нелинейных цепях часто используются графические и графоаналитические методы, они могут дать более точный результат, т.к. в них используются реальные характеристики нелинейных элементов, заданные в виде кривых, однако эти методы не позволяют устанавливать общие связи и проанализировать изменение характера процесса при изменении параметров цепи.

Рисунок.

Прямая задача: найти намагниченный ток I, при котором магнитный поток Ф в воздушном зазоре будет иметь заданное значение.

П ренебрегаем магнитными потоками рассеивания.

Обратная задача: требуется определить магнитный поток по заданному МДС. Эта задача не имеет прямого решения из-за нелинейной связи между магнитным потоком и намагничивающим током.

В практических расчетах нет необходимости строить всю кривую от 0 до заданной Hl, достаточно приравнять МДС к магнитному напряжению на участке с большим магнитным напряжением.