- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
2. Поиск и составление плана решения задачи
Назначение этого этапа: установить связь между данными и искомыми объектами, наметить последовательность действий.
План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.
Как искать план решения текстовой задачи? Односложного ответа на этот вопрос нет. Поиск плана решения задачи является трудным процессом, который точно не определен. Можно только указать некоторые приемы, которые позволят осуществлять этот этап. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели.
Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.
При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта. Проведем такой разбор по тексту задачи:
«На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал 6 ч. (осле этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»
Рассуждения ведем от данных к вопросу: известно, что 6 ч турист проехал на поезде, который шел со скоростью 56 км/ч; по этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6 ч, для этого достаточно скорость умножить на время. Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, ему оно равно. Для этого пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можем найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути. Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде; вторым действием расстояние, которое ему осталось проехать; третьим - весь путь.
При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.
Проведем такой разбор той же задачи о движении туриста, строя цепочку рассуждений от вопроса к данным: «В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось проехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче неизвестно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь».
Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи.
Покажем, как можно осуществить поиск плана решения задачи о массе шерсти, израсходованной на шарф, шапку и свитер, по схематическому чертежу (рис. 39).
По чертежу видно, на сколько больше израсходовали на свитер, чем, например, на шарф; если из всей массы шерсти вычесть 400 г, то мы узнаем, сколько бы всего израсходовали шерсти, если бы на свитер израсходовали столько же, сколько на шарф. Далее, если к этой массе шерсти прибавить 100 г, то мы узнаем, сколько бы всего израсходовали шерсти, если бы на шапку израсходовали столько же, сколько на шарф. Разделив полученное число на 3, найдем массу шерсти, израсходованную на шарф. Вычтя из полученного результата 100 г, а затем прибавив к нему 400 г, найдем массу шерсти, использованную на шапку и на свитер.
Заметим, что поиск плана решения данной задачи по схематическому чертежу может быть проведен иначе (сделайте это самостоятельно), - в результате мы получим различные арифметические способы ее решения.