- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
2. График функции. Свойство монотонности функции
Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости. Пусть у = f(х) - функция с областью определенияX. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссухи ординатуf(х) для всеххиз множестваX.
Так, графиком функции у= 2х- 3, заданной на множествеR, является прямая (рис. 82), а графиком функцииу=х2,заданной также на множествеR- парабола (рис. 83).
Рис. 83
Функции можно задавать при помощи графика. Например, графики, приведенные на рисунке 84, задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, 3], а вторая конечное множество {-2, -1,0, 1,2,3}.
Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции. Так как при каждом значении аргумента из области определения функция должна иметь лишь одно значение, то любая прямая, параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график функции, или пересекает его лишь в одной точке. Если же это условие не выполняется, то множество точек координатной плоскости график функции не задает. Например, кривая на рисунке 85 не является графиком функции - прямая АВ, параллельная оси ординат, пересекает ее в двух точках.
Функции можно задавать при помощи таблицы. Например, таблица, приведенная ниже, описывает зависимость температуры воздуха от времени суток. Эта зависимость - функция, так как каждому значению времени t соответствует единственное значение температуры воздуха р:
t (в часах) |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
p( в градусах Цельсия) |
-3 |
-7 |
-5 |
0 |
2 |
4 |
2 |
1 |
-3 |
Числовые функции обладают многими свойствами. Мы рассмотрим одно из них - свойство монотонности, так как понимание этого свойства учителем важно при обучении математике младших школьников.
Определение. Функция f(х) называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.
Определение. Функция f(х)называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х1, х2 из множества А выполняется условие:
х1< х2 ð f(х1)< f(х2)
График функции, возрастающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежуткуА ординаты точек графика увеличиваются (рис. 86).
Определение. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х1, х2 из множества А выполняется условие:
х1< х2 ð f(х1)> f(х2)
График функции, убывающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежуткуА ординаты точек графика уменьшаются (рис. 87).
Упражнения
Функции, приведенные в начале пункта, задайте при помощи формул и укажите для каждой область определения и множество значений.
Какие из следующих формул задают на множестве Rдействительных чисел функцию: а) у = 4х; б)y = 4/x; в)x2+ у2 = 4?
Рис.88
На рисунке 88 изображены графики функций f, g, h. Укажите область определения и область значений каждой. Установите, возрастают они или убывают на данной области определения. Найдите для каждой функции наибольшее и наименьшее значение на всей области определения.
Постройте график функции у = 5 - х, если ее область определения X такова:
а) X = {0,1,2,3,4,5};
б) X =[0;5];
в) X = R.
5. Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на множестве R действительных чисел:
а) y = х; 6) y= 3; в) х = 5; г) y = 0.
Функция f задана при помощи таблицы:
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
у |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
а) Укажите ее область определения и область значений.
б) Задайте функцию fпри помощи формулы.
в) Постройте график функции fна координатной плоскости.
д) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения.
Изучая математику в начальных классах, учащиеся выполняют задания:
а) 39 + a. Вычисли сумму, еслиа принимает значения 0,6,15,31,46,52.
б)¨ -9. Вычисли разность, поставив в окошко числа 10, 11,12.
в) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 12.
Покажите, что в каждом из этих заданий устанавливается соответствие между двумя числовыми множествами и это соответствие - функция. Назовите в каждом случае область ее определения и область значений.
Докажите, что соответствие между значениями переменных хиу, осматриваемое в задаче, является функцией; укажите область ее значений при условии, чтох< 5; постройте график данной функции:
а) Катя купила 3 тетради, а Лена на хтетрадей больше. Сколько тетрадей (у) купили Лена и Катя вместе?
б) Из пунктов АиВнавстречу друг другу вышли два туриста. При встрече оказалось, что один прошел 3 км, а второй нахкм больше. Каково расстояние (укм) между пунктамиАиВ?
9.Сравните функции, о которых идет речь в упражнении 8. Чем они похожи? В чем их различие? Какими будут графики данных функций?
10.У одного ученика было 2 тетради. В течение 6 дней он каждый день покупал по 3 новых тетради. Сколько тетрадей (у) у него будет черезхдней?
Выразите учерезхи покажите, что установленное соответствие - функция. Укажите ее область определения и область значений. Постройте график.
Лекция 19. Прямая и обратная пропорциональность
План:
1. Прямая и обратная пропорциональность, линейная и квадратичная функции, их свойства и графики.
2. Построение графиков функций.
3. Основные выводы