2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, плодящихся в заданном соответствии:

1. {(в₁,4),(в₃,20)};

2. {(F₁,4),( F₂,10),(F₃,10)};

3. {(y₁, 4), (у₂, 11),(y₃,4)}.

Рис. 67

Полученные множества показывают, что любое соответствие меж­ду двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упоря­доченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами X и Y назы­вается всякое подмножество декартова произведения этих мно­жеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, К и др. ЕслиS-соответствие между элементами множествX иYто, согласно опреде­лению,S с Х х У.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множест­вами. Поскольку соответствие - это подмножество, то его можно за­давать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либоуказав характеристиче­ское свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие меж­ду множествамиX - {1, 2, 4, 6} иУ = {3, 5} можно задать:

1. при помощи предложения с двумя переменными: а < Ь при условии, чтоа €X, b €Y;

2. перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х х У: {(1,3), (1,5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому спосо­бу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 68) и графика (рис. 69).

Нередко, изучая соответствие между множествами X иY, приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Пусть, например, S -соответствие «больше на 2» между множествами X = {4, 5, 8, 10} и Y = {2, 3,6}. Тогда S = {(4,2), (5, 3), (8,6)} и его граф будет таким, как на рисунке 70,а.

Соответствие, обратное данному, - это соответствие «меньше на 2», Оно рассматривается между множествами R и Х, и чтобы его предста­вить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (рис. 70,6). Если соответствие меньше на 2» обозначить S^-1, то S^-1 = {(2,4), (3,5), (6,8)}.

Рис.70

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рас­сматривать как обобщение записей конкретных соответствий: x= 2у; х > 3у+1 и др.

3. Взаимно-однозначные соответствия

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соот­ветствия, обратного данному.

Определение. Пусть S - соответствие между множествами Х и У. Соответствие S^-1; между множествами Y и X называется обрат­ным данному, если уS^-1 тогда и только тогда, когда хSу.

Соответствия S и S^-1 называют взаимно обратными. Выясним осо­бенности их графиков.

Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (рис. 71, а). При построении графика соответствия S^-1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = {2, 3, 6}, а вторую - из множества Х= {4, 5, 8, 10}. В результате график соответст­вия S^-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S^-1, условились первую компоненту пары соответ­ствия S^-1 считать абсциссой, а вторую - ординатой. Например, если (5, 3) € S, то (3, 5) € S^-1. Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в об­щем случае (х,у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S^-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Рис.71

Чтобы построить график соответствия S^-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графикаSотносительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.