86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р≥2. Система счисления с основанием р называется р -ичной. Так, если р = 2, то - двоичной, если р = 8 - восьмеричной, если р = 10- десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1, 2, ..., р - 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятиричной - при помощи символов 0,1,2,3, 4.

Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде:

x= a _n p ⁿ + a _{n-1 p} ^n-1 +…+ a ₁ p+ a₀ (1) , где коэффициенты a _n, a _{n-1 ,…,} a _1, a₀ принимают значения 0, 1, 2, …, p-1 и a _n, ≠ 0.

Теорема. Пусть р ≥ 2 - заданное натуральное число. Тогда натуральное число х представимо, и притом един­ственным образом в виде (1).

Доказательство этой теоремы, аналогично доказательству теоремы о существовании и единственности записи числа в десятичной системе счисления.

Вместо представления в виде (1) число х записывают кратко:

_{_________________}

х ₌ a_n a_n-1…a₁ a_0. Например, если р=3, то число x = 2·3³ + 0·3² +1·3 +2 можно записать в виде 2012₃, причем читать следует так: «два, ноль, один, два в троичной системе счисления».

Задача. Сосчитать число клеток в фигуре, изображенной на рисунке 124, в троичной и пятиричной системах счисления.

Решение. В троичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1 и 2, а любое число представляется в виде

а_п · 3ⁿ+ а_п-1 · 3^n-1, + ... + а₁ ·3 + а₀ , где а_п, а_п-1,..., а₁ а₀ принимают значения 0, 1, 2 и а_{п } 0.Однозначные числа в этой системе - 0, 1, 2, а число 3 - основание системы счисления - записывается как 10.

При счете клеток в данной фигуре мы получим числа, запись и название которых в троичной системе счисления таковы: 1 (один); 2 (два); 10 (один, ноль); 11 (один, один); 12(один, два); 20 (два, ноль); 21 (два, один); 22 (два, два); 100 (один, ноль, ноль). Таким образом,число клеток в фигуре на рисунке 124 в троичной системе счисления запишется как 1003.

В пятеричной системе счисления для записи чисел исполь­зуются цифры 0,1,2,3,4, а любое число представляется в виде a_n ·5ⁿ + а_n-1·5^{n -1} + ... +а₁-5 + а₀, где a_n, а_n-1 ,…, а_1, а₀ прини­мают значения 0,1, 2,3,4 и a_n 0.

Однозначные числа в этой системе – 0, 1, 2, 3,4, а число 5 - основание системы счисления - записывается как 10 .

При счете в пятеричной системе клеток фигуры на рисун­ке 124 мы получим числа: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Таким образом, число этих клеток в пятеричной системе счисления запишется как 14₅.

Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р 10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 2101з<2102з, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в пер­вом числе меньше числа единиц во втором.

Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р (р  10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы с основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Составим, например, таблицу сложения однозначных чи­сел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней – это 0,1, 2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 11₃, так как 4= 1·3+ 1 = 11₃.

Полностью таблицу сложения однозначных чисел в троич­ной системе счисления можно представить в таком виде:

	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления, причем многозначные числа можно складывать столбиком по правилам, аналогичным правилам сложения чисел в десятичной системе счисления.

Например, 1221₃ + 122₃ = 2120₃, так как

1221

⁺ 122

2120

Таблицей сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно пользоваться, выполняя вычитание:

2110₃ - 212₃ = 1121₃.

Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе счисления имеет вид:

	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	11

На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел по правилам, аналогичным правилам умножения чисел в десятичной системе счисления. Найдем, например, произведение 122₃ ·22₃:

122

× 22

₊ 1021

1021

12001

Таким образом, 122₃ · 22₃ = 12001 _3.

Таблицей умножения можно пользоваться, выполняя деление чисел в троичной системе счисления, в частности, деление уголком.

Разделим, например, число 10011₃ на 12₃:

_10011|12

12 122

_ 111

101

_ 101

101

0

Значит, 10011₃ : 12₃ = 122₃.

Лекция 43. Системы счисления, отличные от десятичной

План:

4. Переход от записи в одной системе счисления к записи в другой.

3. Основные выводы

Одно и то же натуральное число может быть записано в любой системе счисления с основанием р ≥ 2. Так, число кле­ток в фигуре на рисунке 124 в десятичной системе счисления записывается знаком 9, в троичной - 100, в пятеричной -14.

Чтобы из одной записи получить другую, достаточно нау­читься переходить от записи в заданной системе к записи в десятичной, и наоборот.

Пусть дана запись числа х в системе счисления с основани­ем р, т.е.

х = а_прⁿ + а_п-1 ·р^n-1+… + a_t ·p + а₀. Найдем запись этого числа в десятичной системе счисления. Так как в записи числа х числа а_п, а_{п-1 ,…,} a_t , а₀ и р представлены в десятичной системе счисления, то выполнив над ними действия по прави­лам, принятым в ней, получим десятичную запись числа х. Найдем, например, десятичную запись числа 457₈. Для этого представим данное число в виде суммы вида: 4·8² + 5·8 + 7. Значение этого выражения в десятичной системе счисления равно 303. Следовательно, 457₈ = 303₁₀.

Пусть теперь число х записано в десятичной системе. Най­дем его запись в системе счисления с основанием р.

Число х = а_n·рⁿ + а_п-1·р^n-1 +... + а₁р + а₀ можно записать в виде

X = р(a_n ·p^n-1 + a _n-1 p ^n-2 +…+ a₁₎ + a_0.

Так как 0≤ а < р, то из последней записи числа х видно, что а₀ - остаток, полу­чаемый при делении числа х на р, а а_n·р^n-1 + а_п-1 ·р ^n-2 +... + а₁ -неполное частное. Точно также можно найти, что а₁- оста­ток, получаемый при делении этого неполного частного на р. Таким образом, запись числа х в р-ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, получен­ный при делении, даст последнюю цифру а₀ в р-ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р -ичной записи числа х; продол­жая деление, найдем все цифры р -ичной записи числа х.

Запишем число 2436 в восьмеричной системе счисления. Раз­делим 2436 на 8: 2436 = 304·8 + 4. При делении числа 304 на 8 получим: 304 = 38· 8 + 0 и тогда 2436 = (38· 8 + 0) · 8 + 4или 2436 = 38· 8² + 0 · 8 + 4. Делим на 8 число 38: 38 = 4· 8 + 6 и тогда 2436 = (4·8 + 6)·8² + 0·8 + 4 или 2436 = 4·8³ + 6· 8² + 0·8 + 4, т.е. 2436 = 4604 ₈. Описанный процесс можно "представить и в таком виде:

_2436|8

24 _ 304|8

_36 24 _38|8

32 _64 32 4

4 64 6

0

Упражнения

1. Запишите число в виде суммы степеней основания

с соответствующими коэффициентами:

а) 3024₅; б) 7610₈; в) 11101_2.

2. Сосчитайте число треугольников на рисунке 125 в пятеричной и восьмеричной системе счисления.

Рис. 125

3. Назовите наибольшее и наименьшее двузначные числа в системе счисления с основанием: 10,8,7, 5, 2.

4. Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления: 347; 8025;

52; 1110; 223?

5. Для числа х назовите предшествующее и непосредственно следующее за ним число, если:

а) х = 34₅; б) х = 50₇; в) х =12₃.

6. Выполните действия над числами, записанными в восьмеричной системе счисления.

а) 4312+ 2767; в) 72·27;

б)6714-3505; г) 5250:76. 7. Запишите в десятичной системе числа: 12₃, 144₅, 201₉, 1011₂. 8. Запишите в порядке возрастания числа.

a) 11₇,11₅,11₂,11₉;

б) 327₈, 1101₂,513₆,83₉ , 20 1 2₃.

9. Запишите в двоичной системе числа, запись которых дана в десятичной системе: 27, 125, 306.

10. Что меньше: 26543₈ - 325₇ или 26543₇ - 325₈?