- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
50. Основные выводы § 10
Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со следующими понятиями:
бинарное отношение на множестве;
отношение эквивалентности;
отношение порядка.
Выяснили, что отношения на множестве задают так же, как и соответствия. Узнали, что отношения на множестве могут обладать свойствами:
- рефлексивности;
симметричности;
антисимметричности;
транзитивности;
связанности.
В зависимости от свойств отношения делят на отношения эквивалентности, отношения порядка и отношения, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Узнали, что существует тесная взаимосвязь между отношением эквивалентности на множестве X и разбиением этого множества на классы.
Лекция 23. Алгебраические операции на множестве
План:
1. Понятие алгебраической операции на множестве
2. Свойства алгебраических операций
3. Основные выводы
§ 11. Алгебраические операции на множестве
В математике изучают не только отношения, но и различные операции. Например, сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение из корня - это операции над числами; пересечение, объединение, вычитание, декартово умножение - это операции над множествами; конъюнкция, дизъюнкция, отрицание - это операции над высказываниями и высказывательными формами. Операции над высказываниями и множествами появились в математике в XIX веке. Операции над высказываниями ввел английский математик Дж. Буль, а операции над множествами немецкий математик Г. Кантор. Оказалось, что операции над высказываниями и множествами обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые их свойства отличаются от свойств операций над числами.
Вообще в XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, высказываний, множеств и другие. Каждая из них имела свои правила, но для некоторых видов алгебр эти правила были похожими. Стремление выяснить, что представляет собой любая операция, способствовало появлению общего понятия алгебраической операции.
Изучение свойств алгебраических операций привело математиков к выводу о том, что основная задача алгебры - изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. И если первоначально алгебра была учением о решении уравнений, то в XX веке она превратилась в науку об операциях и их свойствах.
Учитель начальных классов первым знакомит детей с различными операциями над числами и их свойствами. Иногда в начальном курсе математики начинается изучение операций над множествами и предложениями. И естественно, чтобы грамотно обучать детей, видеть перспективу развития алгебраических понятий в дальнейшем обучении школьников математике, учителю необходимо знать, что такое алгебраическая операция, какими свойствами она может обладать.
51. Понятие алгебраической операции
Рассмотрим, например, хорошо известное нам сложение натуральных чисел. Выполняя эту операцию, мы, имея два числа, находим третье - сумму первых двух чисел. Так, складывая числа 5 и 9, получаем число 14, которое так же, как и данные числа 5 и 9, является натуральным числом.
Выполняя пересечение множеств, мы по двум данным множествам находим новое, состоящее из общих элементов данных множеств.
Если рассмотреть вычитание натуральных чисел, то можно сказать, что при его выполнении по двум заданным натуральным числам находят третье - разность, но не всегда эта разность является натуральным числом. Но если рассмотреть вычитание целых чисел, то разность двух целых чисел всегда будет целым числом. И в этом вычитание целых чисел похоже на сложение натуральных чисел и пересечение двух множеств.
Обобщая, можно сказать, что, выполняя ту или иную операцию, мы должны знать, на каком множестве она рассматривается. Далее, выполняя операцию, мы по двум элементам х и у из выбранного множества находим третий элемент z того же множества. Он единственный, и при этом ответ, вообще говоря, зависит от порядка этих элементов (как, например, при вычитании чисел). Другими словами, при выполнении операции упорядоченной паре элементов из множества X ставится в соответствие единственный элемент того же множества. И если такая ситуация складывается для всех пар элементов множества X, то операция называется алгебраической.
Определение. Алгебраической операцией на множестве X называется соответствие, при котором каждой паре элементов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.
Примерами алгебраических операции могут служить:
сложение на множестве натуральных чисел, поскольку сумма любых натуральных чисел является натуральным числом. Иначе говоря, при сложении каждой паре (х, у) натуральных чисел ставится в соответствие единственное натуральное число, обозначаемое х + у;
вычитание на множестве целых чисел, так как разность любых целых чисел является целым числом или, говоря иначе, при вычитании каждой паре (х, у) целых чисел ставится в соответствие единственное целое число, обозначаемое х - у;
деление на множестве рациональных чисел при условии, что исключается деление на нуль. Тогда частное любых рациональных чисел есть рациональное число, т.е. каждой паре (х, у) рациональных чисел ставится в соответствие единственное рациональное число.
С алгебраической операцией связано понятие замкнутого множества: если на множестве X задана алгебраическая операция, то говорят, что множество X замкнуто относительно этой операции.
Например, о множестве N натуральных чисел можно сказать, что оно замкнуто относительно сложения и умножения.
Существуют операции, которые не являются алгебраическими. Примером такой операции является вычитание на множестве натуральных чисел: х - у будет натуральным числом лишь при условии, что х > у, т.е. в множестве натуральных чисел есть пары, которым нельзя поставить в соответствие натуральное число.
Вычитание на множестве натуральных чисел не является алгебраической операцией, но мы знаем, что если разность натуральных чисел существует, то это число единственное. Аналогичной особенностью обладает и деление натуральных чисел. Говорят, что вычитание и деление есть частичные алгебраические операции на множестве натуральных чисел.
Определение. Частичной алгебраической операцией на множестве X называется соответствие, при котором некоторым парам элементов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.
Задача. На множестве X натуральных чисел, кратных 3, заданы операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Какие из них являются на этом множестве:
а) алгебраическими;
б) частичными алгебраическими?
Решение. Любое натуральное число, кратное 3, имеет вид 3n, где п € N.
Пусть 3n и 3m - два натуральных числа из множества X, n € N, m € N. Тогда 3n + 3m = 3 (n+m), причем п + т - сумма двух натуральных чисел и, значит, число натуральное и единственное. Следовательно, складывая два любых натуральных числа, кратных 3, мы всегда получаем число, кратное 3, и это число единственное. Таким образом, сложение на данном множестве X есть алгебраическая операция.
Рассмотрим произведение двух чисел из множества X: 3n · 3m = 9n·m, причем п·т - произведение двух натуральных чисел и, значит, число натуральное и единственное. Но 9:3, следовательно, умножая два любых натуральных числа, кратных 3, мы всегда получаем число, кратное 3, и это число единственное. Таким образом, умножение на данном множестве X есть алгебраическая операция.
Рассмотрим теперь разность двух чисел из множества X: 3n - 3m = 3 (n-m), но разность n - т существует на множестве натуральных чисел лишь при условии, что п > т. И если эта разность существует, то она единственна. Поэтому, если п > т, то разность 3n - 3m существует и является числом, кратным 3. Таким образом, вычитание на множестве X есть частичная алгебраическая операция.
Выполним деление чисел на множестве X: 3n : 3m = n:m. Так как частное натуральных чисел лит существует не всегда и, кроме того, если оно существует, то оно может быть не кратно 3. Значит, деление на множестве чисел, кратных 3, не является алгебраической операцией. Но поскольку для некоторых n и m их частное может быть кратно 3 (например, если п = 24, m = 2), то деление на множестве X является частичной алгебраической операцией.
Понятие алгебраической операции проходит через весь школьный курс математики. Начинается этот процесс в начальных классах, где происходит знакомство детей со сложением, которое сначала рассматривается на отрезке натурального ряда от 1 до 9 включительно, затем на отрезке от 1 до 100 и т.д. Алгебраической эта операция становится тогда, когда ее начинают рассматривать на всем множестве натуральных чисел. С умножением ситуация аналогичная.
Операции вычитания и деления в начальном обучении рассматриваются как частичные алгебраические операции на множестве натуральных чисел.