43. Основные выводы § 8

Изучая материал этого параграфа, мы установили, что любое соответствие Sмежду двумя множествамиXиYесть подмножество декартова произведения этих множеств, т.е.SсXхY. Выяснили, что соответствия задают также, как и множества вообще. Познакомились сновыми понятиями:

- соответствие, обратное данному;

- взаимно однозначное соответствие;

- равномощные множества;

- счетное множество.

Установили, что графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Лекция 18. Числовые функции

План:

1. Определение числовой функции как частного случая соответствия.. Способы задания функции. Область определения и область значения функции.

2. График функции. Свойство монотонности функции

§ 9. Числовые функции

Функция - одно из важнейших понятий математики, исходное по­нятие ведущей ее области - математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции слу­жат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависи­мости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требу­ет от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.

44. Понятие функции. Способы задания функций

Выполним два задания для младших школьников.

1. Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

2. Заполни таблицу.

Уменьшаемое	5	5	5	5	5	5
Вычитаемое	0	1	2	3	4	5
Разность

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?

Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, меж­ду которыми устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3,5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором - это множество значений вычи­таемого {0, 1, 2, 3, 4,5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1, 0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответ­ствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В матема­тике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:

Определение. Числовой функцией называется такое соответст­вие между числовым множеством X и множеством R действи­тельных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, hи др. Еслиf- функция, заданная на множествеX, то действительное числоу, соответствующее числуxиз множестваX, часто обозначаютf(х) и пишуту=f(х). Переменнуюхпри этом называютаргументом(или независимой переменной) функцииf.Множество чисел видаf(х) для всехх из множестваXназываютобластью значений функции f.

В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X= {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2, 6, 10, 14}.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множестваXсоответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, формулы у= 2х- 3,у =х²,у= 3х, гдех- действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значениюхможно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение .у.

Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения. Например, функция у= 2х- 3, гдеx € R, отлична от функцииу= 2х- 3, гдех€N. Действительно, прих= -5 значение первой функции равно -13, а значение второй прих= -5 не определено.

Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения f(х). Например, если функция задана формулойу= 2х- 3, то ее областью определения считают множествоRдействительных чисел. Если функция задана формулойу= 6/(x-2), то ее область определения - есть множествоRдействительных чисел, исключая число 2 (еслих= 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).