- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
3. Дистрибутивности:
Правый и левый дистрибутивные законы умножения относительно сложения: (а + в)с = ас + вс; с(а + в) = са + св;
Правый и левый дистрибутивные законы умножения относительно вычитания: (а - в)с = ас - вс; с(а - в) = са - св.
Доказательство. 1. Докажем коммутативный закон сложения. Построим такие конечные множества А и В, что п(А) = а, п(В) = в и АВ = . Для любых множеств справедлив коммутативный закон объединения АВ = ВА (доказано ранее). Равные конечные множества имеют равные численности, т.е. п(АВ) = п(ВА). По определению суммы целых неотрицательных чисел п(АВ) = п(А) + п(В) = а + в, п(ВА) = п(В) + п(А) = в + а. Следовательно, а + в = в + а верно для любых целых неотрицательных чисел.
2. Доказательство ассоциативного закона сложения опирается на ассоциативность объединения множеств А, В и С проводится аналогично доказательству предыдущего закона.
3. Доказательства остальных законов проводятся аналогично. Теорема доказана.
Заметим, что коммутативный и ассоциативный законы сложения распространяются на любое конечное число слагаемых, а коммутативный и ассоциативный законы умножения справедливы для любого конечного числа множителей.
Дадим теоретико-множественное обоснование правила вычитания суммы из числа. С этой целью рассмотрим три конечных множества А, В и С таких, что п(А) = а, п(В) = в, п(С) = с, ВС= и ВС А. Тогда а - (в + с) = п(А\( ВС), а (а- в) - с = п((А\В)\С). На диаграммах Эйлера-Венна множество А\(ВС) представлено заштрихованной частью на рис.а, а множество (А\В)\С - двояко заштрихованной частью на рис.б. Сравнивая указанные области, убеждаемся в том, что они одинаковы. Значит, для вышеуказанных множеств А, В и С выполняется равенство А\(ВС) = (А\В)\С. Следовательно, п(А\(ВС)} = п{(А\В)\С), т.е. а - (в + с) = (а - в) - с. Аналогично рассуждая, можно дать теоретико-множественное обоснование остальным правилам.
Правила деления суммы, разности и произведения на число также имеют теоретико-множественное обоснование. Пусть а = п(А), в = п(В) и АВ = . Если каждое из множеств А и В можно разбить на с подмножеств, то очевидно, что их объединение АВ также разбивается на с подмножеств. При этом, если каждое подмножество в разбиении множества А содержит а: с элементов, каждое подмножество в разбиении В - в:с элементов, то каждое подмножество в разбиении объединения содержит а:с + в:с элементов. Это означает, что (а + в):с = а:с + в:с. Аналогично рассуждая, можно дать теоретико-множественное обоснование остальным правилам.
МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Z. Практическая деятельность и потребности самой математики приводят к необходимости расширения множества неотрицательных чисел. Так, температура воздуха 1° не определяет нагретость воздуха без указания - 1° холода или тепла, информация "АЗС находится в 2 км от перекрестка" не определяет ее местонахождения, т.к. не указано, в какую сторону от перекрестка надо двигаться к АЗС: влево или вправо, и т.п. В математике также имеется ряд задач, неразрешимых во множестве целых неотрицательных чисел. Например, никакое целое неотрицательное число х не может быть решением уравнения в + х = а, если а < в и а, в ₀. Неразрешимость таких задач приводит к необходимости расширить множество ₀.
Числа вида -п, где п₀, называются отрицательными целыми числами. Множество всех отрицательных целых чисел обозначают символом Z_. Числа п и -п называются противоположными, причем считают, что -(-п) = п. Число 0 не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Противоположные числа на числовой оси изображаются точками, симметричными относительно начала координат.
Объединение множеств ₀, Z_ и {0} называют множеством целых чисел и обозначают символом Z.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ Z .
Модуль (абсолютная величина) числа п - само это число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число -п, если оно отрицательно (обозначается |п|), т.е.
п, если п ₀
IпI
-п если п Z_.
Теорема 8.34. Для п Z выполняются следующие равенства:
1) -пg = (-1 )-п; 5) (-п)*т = -п*т;
2) (-1)*(-1 ) = 1; 6) п - т = п + (-т) = -(т - п);
3) -(-л) = п; 7) (-п) + (-т) = - (п + т);
4) (-п)*(-т) = п*т; 8) -0 = 0.
Доказательство этой теоремы опускается.
Данные свойства позволяют сформулировать правила сложения и умножения целых чисел, которые можно считать определениями данных операций.
Правило 1. (Правило сложения).При сложении двух целых чисел с одинаковыми знаками получается число того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. При сложении чисел с разными знаками получается число, знак которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль равен разности модулей слагаемых. Сумма противоположных чисел равна нулю, а сумма данного числа и нуля равна данному числу.
Правило 2. (Правило умножения).При умножении двух целых чисел получается число, модуль которого равен произведению модулей множителей, а знак положителен, если знаки множителей одинаковы, и отрицателен, если множители имеют разные знаки. Если хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Операция вычитания в силу свойства 6 теоремы 8.34 сводится к операции сложения.
Разность двух целых чисел п и т- целое число r, вычисляемое по правилу:
r = п + (-т), т.е. разность двух целых чисел п и m есть сумма целого числа п и числа (-т), противоположному числу т. Разность чисел п и т записывают в виде п- т, число и называют уменьшаемым, а число т - вычитаемым.
Множество Z замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания.
Частное отделения целого числа п на целое число т — такое целое число р (если оно существует), которое удовлетворяет равенству п = т р. Частное чисел п и т записывают в виде п : т или п/т, число п называют делимым, а число т - делителем. В множестве Z , как и в множестве N операция деления не всегда выполнима - не для любой пары целых чисел п и т существует их частное. Поэтому множество Z (как и N ) не замкнуто относительно операции деления. Однако между операциями деления в множестве N и в множестве Z есть одно существенное различие. В множестве N если частное двух натуральных чисел существует, то оно единственно (см. теорему 8.14). В множестве Z это не так. Если п - произвольное отличное от нуля целое число, а т = 0, то такого числа р, чтобы выполнялось равенство п = т*р не существует; если п = 0 и т = 0, то таких чисел р, для которых выполняется равенство п = т*р существует бесконечно много. Таким образом, частное от деления целого числа на нуль либо не существует, либо определяется не единственным образом. Поэтому говорят, что делить на нуль нельзя, а выражение 0:0 не определено.
ЗАКОНЫ И СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ Z практически полностью совпадают с аналогичными законами и свойствами арифметических операций на множестве Z₀.
СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Теорема 8.22. (Теорема Архимеда). Для любых целых чисел а и в существует натуральное число п, что пв> а.
Доказательство. Рассмотрим число п = а', т.е. п = а + 1. В силу теоремы 8.9 и следствия 2 имеем неравенства в > 1 и п > а. Почленно перемножая эти неравенства, получим пв > а. Теорема доказана.
Теорема 8.23. (Принцип наименьшего числа).Любое непустое подмножество множества целых чисел содержит наименьшее число.
Доказательство. Пусть множество М таково, что М и
М . Рассмотрим два случая.
I. Множество М состоит из конечного числа элементов. В этом случае доказательно теоремы проводим методом математической индукции по числу элементов. Если М состоит из одного элемента (М = {а}), то этот элемент и будет наименьшим из чисел, входящих в М. Предположим, что теорема справедлива для множества М, содержащего некоторое конечное число элементов п. Другими словами, считаем, что всякое множество М , состоящее из п элементов, содержит наименьшее число. Пользуясь предположением, докажем, что множество М , состоящее из п + 1 элементов, также содержит наименьшее число. Выберем произвольный элемент аМ и рассмотрим множество М₁ = М\{а}. Множество М₁ состоит из п элементов, а значит по предположению в нем найдется наименьшее число, которое обозначим через в. Так как а М₁, а в М₁, то а в, но тогда по теореме 8.10 из двух чисел а и в одно меньше другого. Наименьшее из двух чисел а и в означим через с. Очевидно, что с является наименьшим числом в множестве М.
Итак, все условия метода математической индукции выполнены и справедливость теоремы для любого конечного подмножества доказана.
II. Пусть теперь множество М состоит из бесконечного числа элементов. Выберем любой элемент n из множества М. Число n разбивает множество М на два подмножества:
М₁ = {х/хМ , х п} и М₂ = {х| хМ х > п }. Множество М₁ состоит из конечного числа элементов (их не более чем п + 1), а значит по первой части теоремы, в нем содержится наименьшее число, которое обозначим через т. Итак, для любого хМ₁ , имеем т х. В частности, т п. Но тогда, учитывая определение множества М₂, приходим к выводу, что наименьшее число во всем множестве т . Теорема доказана.
Теорема 8.24. {Принцип наибольшего числа). Если М - непустое подмножество множества целых чисел и существует такое число в, что для любого числа х М выполняется неравенство х <в, то в множестве М есть наибольшее число.
Доказательствотеоремы аналогично доказательству теоремы 8.23.
Теорема 8.25. {Свойство дискретности множества Z). Для любого
а Z не существует целого числа п такого, что а < п < а'.
Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует такое п, что выполняются оба неравенства: а < п и п < а'. По определению отношения "меньше" существуют такие целые числа с₁ и с₂, такие, что а + с₁ = п и п + с₂= а'. Тогда а + (с₁ + с₂) = а ' т.е. с₁ + с₂ = 1. С другой стороны,
с₁ ≥ 1 и с₂ ≥ 1, поэтому с₁ + с₂ ≥ 2. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное. Теорема доказана.
Теорема 8.26. Множество целых чисел Z: а) бесконечное; б) дискретное; в) линейно упорядоченное; г) счетное, д) в нем имеется наименьшее число и нет наибольшего числа; е) в нем выполняются принципы наименьшего и наибольшего числа и свойство Архимеда.
Доказательство, а) В множестве Z есть собственные подмножества, которые ему эквиваленты. Например, множество четных целых чисел является подмножеством Z и ему эквивалентно, поэтому множество Z бесконечное; б) Свойство доказано в теореме 8.25; в) Свойство доказано в теореме 8.10; г) Свойство следует из определения счетного множества: д) Свойство доказано в теореме 8.9 и следствиях нему; е) Свойство доказано в теоремах 8.23 и 8.24.
Теорема 8.35. Множество целых чисел Z: а) бесконечное; б) дискретное; в) линейно упорядоченное; г) счетное, д) в нем нет наибольшего и наименьшего чисел.
Доказательство практически всех свойств аналогично доказательству свойств множества натуральных чисел N и Z₀.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. Каждому целому числу х ставится в соответствие точка М прямой, отстоящая от фиксированной точки 0 на IхI единиц и расположенная на правом луче, если х - положительное число, и на левом, - если х - отрицательное число. Число х, соответствующее точке М, называется координатой этой точки. Тот факт, что точка М имеет координату х, записывается М(х). Изображение целых чисел с помощью точек прямой позволяет задавать не только длины отрезков, но и указывать их направление. Следовательно, геометрически целое число – это направленный отрезок, лежащий на прямой и выходящий из фиксированной точки 0.
Геометрически сложение чисел х и у означает перенос точки М(х) на IуI единиц вправо, если у > 0, и влево, если у < 0. Очевидно, что при у > 0 х + у > х, а при у < 0 х + у < х.