- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка.
Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1, х2 ,…, хn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.
В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х1, х2 ,…, хn и пишут х = х1 х2 хя. Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.
Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины X данного отрезка при единице длины Е.
Пишут: X = а Е или а = тЕ(Х).
Например, отрезок х (рис: 120) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е. Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х буквой Х, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = тЕ(Х).
Из данного определения получаем, что что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.
В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:
При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е₁, (рис. 120), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: X = 3 ∙ Е ₁ или mE (X) = 3.
Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у - из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.
Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру,
Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.
Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y)=a, m(Z)=b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, т(X) = a + b = m(Y) + m(Z).
Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел aub можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа a u b.
a + b= mE(Y)+mE(Z) = mE(Y + Z). Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.
Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и З кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»
В задаче две величины - масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи,
Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и г и длины Отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей.
Из этой теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z , что z у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b.
a - b=mE(X )- mE(Y) = mE(X-Y).
Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.
Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько кило-, граммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?»
В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы капусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7-3. (Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.
При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?»
В задаче речь идет о двух величинах - массе моркови и массе картофеля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.
Если построить вспомогательную модель задачи, то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (З кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс слагаемых. Получаем выражение 3 + 2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.