6. Системы счисления.

При записи числа в позиционной системе счисления с основанием N используется N цифр, а каждая позиция в числе обознает N в соответствующей степени. Используя такую запись можно перевести число из любой системы в десятичную.

10-ая система –>0,1,…,9 число 5202 –> 5 2 0 2 = 5000+200+0+1

10³ 10² 10¹ 10⁰

2-ая система. –> 0,1 число 1102₂ –> 1 1 0 2 = 8+4+0+2 = 14₁₀

2³ 2² 2¹ 2⁰

8-ая система. –> 0,1,…,7 число 502₈ –> 5 0 2 = 5*64+0+2 = 322₁₀

8² 8¹ 8⁰

16-ная система. –>0,1,…,9,A,B,C,D,E,F число E1₁₆ –> 14 1 = 14*16+2 =226₁₀

16¹ 16⁰

При представлении чисел в компьютере основной системой счисления является двоичная. Числа в двоичной системе или в двоично–десятичном виде (10-ные цифры записываются их двоичным кодом). При работе в языках программирования или вычислительных пакетах используются десятичные числа в естественной или нормализованной форме. Числа в естественной форме (с фиксированной точкой): -30.57, 0.0245. Используется для записи целых чисел. Недостаток – ограниченный диапазон значений, много «лишних» знаков в числах 20000000000, 0.00004. Числа в нормализованной (экспоненциальной) форме (с плавающей точкой):

–0.3057*10^+02,	0.245*10^–01		В 10-й системе A=M*10^p, 0.1<=M<1 В позиционной системе с основанием Q A=M*Q^p, 1/Q<=M<1
Мантисса
Порядок

Под число может быть отведено: 1 байт(8 бит), полуслово(2 байта=16 бит), слово(4байта=32 бита), двойное слово.

П

Рисунок 1 – Запись числа в ЭВМ

еревод десятичного числа D из десятичной системы в двоичную производится так:

1. Делим D на 2. Остаток - B0.

2. Частное снова делим на 2. Остаток - B1.

3. Повторяем, пока не получим 1/2=0 с остатком 1. Этот последний остаток и есть старшая единица.

Таблица 1- Пример перевода числа 154 из десятичной системы в двоичную.

Действие		остаток	Действие		остаток	Действие		остаток
1	154/2=77,	B0=0	2	77/2=38,	B1=1	3	38/2=19,	B2=0
4	19/2=9,	B3=1	5	9/2=4,	B4=1	6	4/2=2	B5=0
7	2/2=1,	B6=0	8	1/2=0	B7=1	Итак, 154=10011010

Перевод из двоичной системы исчисления в шестнадцатеричную состоит из двух этапов сначала двоичное число разбивается на комбинации по четыре двоичных цифры а затем каждая комбинация заменяется шестнадцатеричным числом (Таблица 2).

Таблица 2 – Соответствие двоичных и шестнадцатеричных чисел

Двоичное	16- тиричное	Двоичное	16- тиричное	Двоичное	16- тиричное	Двоичное	16- тиричное
0000	0	0001	1	0010	2	0011	3
0100	4	0101	5	0110	6	0111	7
1000	8	1001	9	1010	A	1011	B
1100	C	1101	D	1110	E	1111	F

Например: число 111010110 = 0001'1101'0110 = 1D6

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую производится на основании следующих соображений. Пусть X - правильная дробь, заданная в 10-чной системе счисления и требуется перевести ее в систему счисления с основаниемQ, т.е. найти цифрыb_i для записиX=b_-1*Q^-1+b_-2*Q^-2+ ... +b_-m*Q^-m. Для определения biумножим левую и правую части равенства наQ, причем в левой части умножение выполняется по правилам 10-чной арифметики. Имеем:X*Q=b_-1+b_-2Q^-1+...+b_-mQ^-m+1. Представим левую часть равенства как сумму целой и дробной частей X*Q=[X*Q]+{X*Q}и приравняем их с целой и дробной частями правой части равенства: [X*Q]=b_-1и {X*Q}=b_-2Q^-1+...+b_-mQ^-m+1. Таким образом, цифраb_-1 является целой частью от умноженияXнаQ. Далее положимX₁=X*Q и повторим аналогичные действия для определения цифры b_-2и других цифр ()

Таблица 3 - Алгоритм перевода правильной десятичной дроби Xв другую систему счисления

рекуррентные формулы	Пояснения
	Для перевода X в систему счисления с основанием Q . Необходимо:
b-i-1=[Xi*Q]	1) X умножить на Q, записанное в 10-чной системе счисления
Xi+1={Xi*Q}	2) дробную часть полученного произведения снова умножить на Q
Процесс продолжать до тех пор, пока последнее полученное произведение не станет равным нулю Xi+1=0, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа. (требуемое количество цифр после запятой) .
Представлением числа X будет последовательность целых частей полученных произведений, изображенных одной Q-чной цифрой и записанных в порядке их получения

Примеры: Перевести число 0,36₁₀в 2-чную систему счисленияc5 знаками после запятой. 0,36*2=0+0,72; 0,72*2=1+0,44; 0,44*2=0+0,88; 0,88*2=1+0,76; 0,76*2=1+0,52.

 Таким образом, 0,36₁₀=0,01011₂.

Перевести число 0,36₁₀в 16-чную систему счисленияc2 знаками после запятой. 0,36*16=5+0,76; 0,76*16=12+0,16.  Таким образом, 0,36₁₀=0,5С₁₆.