DKR-LA-E-1_-_varianty

Стр. 71 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

−34					2	6
10. Разложите вектор v =		по базисуe1 =			, e2 =	.
	5			−1		−1
	3			4
11. Является ли базис e1 =		, e2 =		, ортогональным? Если да, то
−4			−1

6

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 068

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

2x +5y = 9,

x+20y+z = 24,

4x−z = 6.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

x+3y+3z −t = 7,

−3y− 2z +t = 1,

	x−4z = −7,

−x+2y−t = −10.

3.Определите, при каких значениях параметра ψ система уравнений имеет бесконечное число решений

4x1 −3x2 +2x3 = 1,

7x1 +ψx2 +5x3 = 10,

3x1 +6x2 + x3 = −2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 +2x2 −26x3 = −19,

−x1 +2x2 −10x3 = −17.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (0;12; −18),

e2 = (−6;11; −15), e3 = (−4;2;0) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−6; −6;15),e2 = (−10; −10;25).

7. Найдите арифметический вектор v = −2a+b +2c, если a = (1; −5;2),

b = (1;4; −1), c = (−2; −3;4).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = (5; −1;3;3; −2) и

w = ( −5; − 3; −4; −4; −1). Координаты векторов даны в ортонормированном

Стр. 72 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

базисе.

9. Даны вектора a = (−2;1; −1), b = (−1;1; −1), c = (4; −1; −3).
2	2
Вычислите Φ = − b	+ c	−(b,c) (a,c). Координаты векторов даны в
ортонормированном базисе.
10. Разложите вектор v =		−74	−2	−10
		по базисуe1 =	, e2 =	.
		−68	−8	−2

11. Является ли базис e1 = (4;3), e2 = (3;4), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (2;5) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 069

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

	−2	6	−5	x		−18
	0	2	−3	y		= −14 .
	1	0		z		−20
			−4

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x3 −3x4 = 11,

	3x1 −2x2 −3x3 +2x4 = 11,
	−x1 +2x2 +3x3 = −3,

−3x1 +4x2 +3x4 = −26.

3.Определите, при каких значениях параметра γ система уравнений несовместна

12x1 −8x2 +24x3 = −1,

−9x1 +6x2 −18x3 = 1,

5x1 +14x2 +6x3 = γ.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

2x1 −2x2 +26x3 = 10,

x1 −2x2 +18x3 = 8,

x1 + x2 +3x3 = −1.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (0; −4; −8),

e2 = (−4;0;6), e3 = (6;9;0) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−3; −3;1),e2 = (−9;0; −3), e3 = (0; −6;4).

	−1;5; −2),
7. Найдите арифметический вектор v = −2a+b, если a = (4;

Стр. 73 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

b = (2; −3;1;5).

8.Найдите косинус угла междувекторами v = −e1 +e2 +e3 −3e4 −5e5 иw = −e1 −3e2 +2e3 +e4 + e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

9.Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (−1;3;3),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−2; −1;1).

8		−1		1
10. Разложите вектор v =	по базису e1 =	, e2 =			.
−1		−1	−8

11. Является ли базис e1 = (3; −3), e2 = (2;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (2;1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 070

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

9x1 −7x2 = −59,

−9x1 +4x2 = 53.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x1 +7x2 +9x3 = −7,

3x1 +2x2 +4x3 = −12,

−4x1 +9x2 +4x3 = 44.

3.Определите, при каких значениях параметра β система уравнений имеет единственное решение

2x1 +12x2 −8x3 = −2,

−5x1 +4x2 +7x3 = β,

3x1 +18x2 −12x3 = −3.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−10x1 +2x2 +2x3 = 20,

−20x1 +2x2 +3x3 = 24,

−25x1 − x2 +2x3 = 2.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (6; −7; −15),

e2 = (−8; −4;0), e3 = (0; −2; −3) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (5;0; −5),e2 = (0;9; −6), e3 = (1; −6;3).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

2a +3x = 3a +3b+4x,	если a = (−5;2; −5;3), b = (3; −1;6;6).

8. Найдите косинус угла междувекторами v = (1; −2;3; −2;2) и

Стр. 74 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

w = ( −3;1;3;5;4). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = ( −3;5;2),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (4;5;3).

−28					1	−4
10. Разложите вектор v =		по базисуe1 =			, e2 =	.
	4			−4		−2
−2				3
11. Является ли базис e1 =		, e2 =		, ортогональным? Если да, то
	1		−2

3

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 071

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

5x1 +7x2 = −7,

9x1 − x2 = 69.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−2y−z +t = −8,

−2x+3y+2z−2t = 22,

5x+3y = −14,

−x+4z+4t = 12.

3.Определите, при каких значениях параметра ρ система уравнений имеет бесконечное число решений

−4x1 − x2 + x3 = 1,

−6x1 + ρx2 +7x3 = 1,

3x1 −6x2 +2x3 = −1.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

5x1 −2x2 + x3 = −2,

11x1 + x2 + x3 = −5.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −3;6;0),

e2 = (−1;0; −4), e3 = (0; −1; −2) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−2;0; −4),e2 = (−3;3; −9), e3 = (0;1; −1), e4 = (−1; −1; −1).

7. Найдите арифметический вектор если

v = 2a +3b +3c, a = (2; −1; −1),

b = (−1;1;1), c = (3;5; −3).

Стр. 75 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

8. Найдите косинус угла междувекторами v = −e1 +e2 +e3 −2e4 +e5 и

w = −e1 −5e2 +4e3 +5e4 +4e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный

базис.

9. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (−2;3; −3),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−1;1;1).

	15		−4		1
10. Разложите вектор v =	по базисуe1 =			, e2 =	7	.
−70			7
−3			2
11. Является ли базис e1 =	, e2 =		, ортогональным? Если да, то
	−2	−3

3

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 072

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

10	−7 x1			59
		=			.
−7	8 x2		−63

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−10x+9y+8z = 135,

x−4y−2z = −30,

−9x−6y+2z = 48.

3.Определите, при каких значениях параметра μ система уравнений имеет единственное решение

6x1 −2x2 + x3 = 3,

−x1 − x2 +2x3 = μ,x1 −5x2 −5x3 = 6.

4. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

3x1 +16x2 +2x3 −17x4 = −14,

−x1 +4x2 +4x3 −13x4 = 0,

2x1 +6x2 − x3 −2x4 = −7.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (−3;3;0), e2 = (6;0;2),e3 = (5;2;3) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (4; −12;0),e2 = (5;9; −4), e3 = ( −6;0;3).

Стр. 76 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

7. Найдите арифметический вектор v = a +3b, если a = (5;1;4;3),

b = (2; −2; −2; − 1).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = (3; −1; −5) и

w = (4;6; −1). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (4; −5;3) и такой, что

(x,b) = 2,	где b = (1; −4;3). Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.

10.Разложите вектор v = (11;103) по базису e1 = ( −5; −9), e2 = (6; −10).

11.Является ли базис e1 = (4;3), e2 = (−3;4), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (4; −1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 073

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−2x+2y−4z = 12,

2y+3z = 0,

x+4z = −7.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

	−1	0	1	−3			x1			−8	.
2		1	2	−2	x2				= −27
	3	1	1	0			x3			−22
	0	−1	0	2			x4		ρ	9
3. Определите, при каких значениях параметра									система уравнений совместна
		−7x		+4x		−3x			= 8,
		−13x11 +6x22 −193x3 = ρ,

4x1 −3x2 −5x3 = 1.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 − x2 −3x3 = −10,

x1 + x2 +13x3 = −2,

x1 +2x2 +21x3 = 2.

5.Дана линейно зависимая система арифметических векторов

e1 = (−11; −11;18), e2 = (1; −2; −3), e3 = (6;10; −8). Найдите какую-либо

равную линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя

0

бы один коэффициент не равен нулю.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−3;0;9),

Стр. 77 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

e2 = (3; −1;0), e3 = (19; −6; −3).

7. Найдите арифметический вектор v = 2a +b, если a = (6;3; −2; −4),

b = (−1;4; −6; − 2).

8. Найдите длинувектора v = (2; −2; −3;4; −2), координаты которого заданы в некотором ортонормированном базисе.

9. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (5;4; −3),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−5;1;3).

10.Разложите вектор v = (−18;11) по базису e1 = (5; −1), e2 = (−3;8).

11.Является ли базис e1 = (1;3), e2 = (−3;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (1;2) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 074

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−x+6y+2z = −18,

2x −3y = 5,

5x+2z = −12.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x+ y−4z = −28,

x+ y+2z −2t = 20,

−2y+3z −t = 13,

−2x+t = 1.

3.Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений имеет бесконечное число решений

x1 +φx2 +2x3 = 14,

7x1 − x2 +2x3 = 2,

−5x1 +3x2 − x3 = 2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−x1 +17x2 −2x3 = 16,

−x1 −23x2 +2x3 = −12,

−2x1 −36x2 +3x3 = −17.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −4; −8;0),e2 = (−7; −2; −3), e3 = (8;0;4) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−3;1;1),

e2 = (0; −1; −1), e3 = (0;1;0).

Стр. 78 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

−3a−b −5x = 4a −3c−3x, если a = (− 1; −1;6), b = (−3;4;4),c = (2; −3;5).

8. Найдите косинус угла междувекторами v = e1 −2e2 −e3 −2e4 −2e5 и

w = 3e1 +4e2 −4e3 +4e4 −4e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x, если a = (1; −2), b = (5; −3) и известно, что (x,a) = −4,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 6.

	−17			−5	9
10. Разложите вектор v =		по базисуe1 =		, e2 =	3	.
	−29			−5
11. Является ли базис e1 =		−3	1
		, e2 =	, ортогональным? Если да, то
		−1	−3
	1
разложите вектор v =	по этомубазису. Координаты векторов даны в

−2

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 075

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

2	−3 x1		23
		=		.
5	−1 x2		25

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4	−1	4	2		x1		−4	.
3	0	3 2		x2			= −5
0	1	1	1		x3		0
1
	−2 0 0 x4 0

3. Определите, при каких значениях параметра θ система уравнений имеет

бесконечное число решений

7x1 +2x2 +2x3 = θ,3x1 −18x2 −18x3 = 3,

2x1 −12x2 −12x3 = 8.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−4x1 + x2 +3x3 −10x4 = −30,

3x1 −2x3 +8x4 = 21,

5x1 +4x2 −2x3 +16x4 = 27.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (1;1; −1), e2 = (0;2;2)

Стр. 79 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−6;3;6),e2 = (−4;2;4), e3 = ( −2;1;2).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

3b + x = −3a+2b+2x,		если a = (4;3;3; −1), b = ( −3;5;2;1).

8. Найдите косинус угла междувекторами v = e1 +2e2 +e3 и w = 2e1 −5e2 +e3,

где e1, e2, e3 — ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x, если a = ( −5;1), b = (−3;1) и известно, что (x,a) = 1,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 4.

−29				−10		7
10. Разложите вектор v =		по базисуe1 =			, e2 =	.
−19					−2	−3
	1		−3
11. Является ли базис e1 =		, e2 =		, ортогональным? Если да, то
	3			1

−2

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 076

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

		−5 1		6		x1			18
	0		1 3 x2 = 0 .
		5	0	2		x3			−13
2. Решите систему	линейных уравнений методом Гаусса

−3x2 + x3 − x4 = −7,

5x1 +4x3 + x4 = 11,

	−x1 + x2 = 4,

x1 −3x2 +4x3 − x4 = 3.

3.Определите, при каких значениях параметра θ система уравнений совместнa

19x1 −8x2 +θx3 = 19,

5x1 −6x2 −2x3 = 7,

2x1 +5x2 −7x3 = −3.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

Стр. 80 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

x1 +3x2 +15x3 = −18,2x1 − x2 −12x3 = −15,

x1 − x2 −9x3 = −6.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (0; −3;2),

e2 = (−2; −2; −2), e3 = (0; −3;0) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0; −1;0),e2 = (1; −1; −1), e3 = (0;1;1).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

4a −b +c+4x = a−2c−5x,	если a = (1; −3; −1), b = (1;4;4),
c = (−1;5; −5).

8. Выясните, какой из векторов v = ( −3;6; −1; −1;2) и w = (1;2;4;1; −3)

короче? В ответе укажите длинуболее короткого вектора. (Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.)

9. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (1;2; −3), b = (2;3;2).
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
	−1	4		−3
10. Разложите вектор v =	по базисуe1 =	8	, e2 =	.
−57				5

11. Является ли базис e1 = (1; −3), e2 = (3; −2), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −2;3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 077

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

8	3	x1		57
			=		.
7	−1 x2			39

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

y+4z = 24,

−x +3z +t = 22,

−4x−3y+3z+2t = 25,

−2x− y+t = 7.

3.Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений имеет единственное решение

10x1 −4x2 −6x3 = 2,

6x1 + x2 − x3 = φ,

15x1 −6x2 −9x3 = 3.