Раздел 4

Системы с ожиданием

4.1 Обслуживание простейшего потока вызовов полнодоступным пучком с ожиданием при показательном распределении длительности занятия

1. Постановка задачи.

λ				1				1
		очередь					КС		v
				N

Определим основные характеристики математической модели:

а) Коммутационная схема — однозвенная, в выходы которой включён

полнодоступный пучок из v линий и неограниченного числа	K от. ожид ;
б) На коммутационную схему поступает простейший поток вызовов с
параметром λ , то есть функция распределения промежутка	zi между

вызовами:

F 1(t)=P (zi<t)=1−e−λt

Закон распределения длительности занятия — показательный (экспоненциальный):

F 2 (t)=P (tв<t)=1−e−βt

в) Дисциплина обслуживания. Если в момент поступления вызова есть свободные линии, то вызов занимает одну из них. При отсутствии свободных линий вызов становится в очередь. Вызовы из очереди обслуживаются в порядке их поступления.

Требуется найти вероятность различных состояний системы и функцию распределения времени ожидания.

Модель M/M/v/r=∞ , где r – число мест ожидания.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

70

2. Вероятность состояний.

Так как поток простейший, то процесс Марковский. По аналогии с тем, как мы выводим формулу Энгсета, рассмотрение поведения системы начнём со стационарного режима.

	λ0	λ1		λv−2	λv−1	λv	λv+1
x0	x1		...	xv−1	xv		xv+1
	v1	v2		vv−1	vv	vv+1	vv+2

λv+k−1		xv+k	λv+k
...			...
	vv+k		vv+k+1

λ – параметр потока вызовов (рождения).

v – параметр потока освобождений (гибели).

Состояния x0 , x1 , … , xv соответствуют состояниям коммутационной

системы, при которых не занята ни одна из v	линий, занята ровно одна
линия, … заняты все v линий и очереди нет. Состояние xv+1		– заняты все
v линий и один вызов стоит в очереди; …;	xv+k – заняты все	v линий и
k вызовов стоят в очереди; и так далее...

Для процесса рождения и гибели в стационарном режиме вероятность нахождения системы в состоянии i записывалась следующим образом:

Pi=λ0 λ1 ... λi−1 P0 ,			∑ Pi=1
			∞
	v1 v2 ... vi		i=0
	Определим λi и		vi для рассматриваемого процесса. Так как поток

вызовов простейший, то параметр потока не зависит от состояния системы. Следовательно, λ0=λ1=...=λi−1=...=λ - параметру простейшего потока.

Найдём параметр потока освобождений - v1=β ,	v2=β+β=2 β , ... vv=v β
(освобождается или первая, или вторая, … или v	-я)
vv+1=vv+2=...=vv+k=...=v β
С учётом сказанного:

λ i

i

0 i v

P

=(β )

P

=

A

P

i!

i

i!

0

0

v! (v )

v

A

i−v

i v

Pi=

A

P0

∞

Определим

P0

из условия

∑ Pi=1

:

v

i

v

i−v

i=0

∞

A

1

∑

A

P0+

∑

A

P0=1 → P0=

i!

v!

v

i

∞

v

A

i−v

i=0

i=v+1

(v )

A

A

∑

+ ∑

i!

i=0

i=v+1

v! (v )

∞

i−v

В части выражения для

P0

-

i=∑v+1 (

A

)

, обозначим

i−v=x :

v

∞

A

i−v

∞

A

x

A

(1+

A

2

+...)

i=∑v+1 (

)

=∑x=1

(

)=

+

A

v

v

v

v

v2

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

71

Практический интерес для нас будет представлять случай, когда очередь

конечна, то есть

λ<v β

(см. процесс рождения и гибели), отсюда

λ

=A<v

β

При

A<v сумма в круглых скобках представляет собой сумму членов

бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:

a

=a qn−1 ,

S=

a1

, q <1 .

n

1

1−q

A

В рассматриваемом случае a1=1 ,

q=

. Следовательно:

A

i−v

A

A

v

∞

1

i=∑v+1

(

)

=

=

v

v

1−

A

v−A

v

С учётом этого:

P0=

1

v

i

v

A

∑

A

+

A

i!

v−A

i=0

v!

0 i v :

Вероятности состояний системы для

Ai

Ei , v ( A)

Pi=

i!

=

v

i

v

A

∑

A

+

A

A

1+Ei , v ( A)

v−A

v−A

i=0

i!

v!

Для

i v

:

A

i

A

i−v

Ei , v (A)

A

i−v

i!

Pi=

(v )

=

(v )

v

∑

Ai

+

Av

A

1+Ei , v ( A)

A

v−A

v− A

i=0

i!

v!

Ei , v ( A)

, 0 i v

1+Ei , v( A)

A

v−A

Pi=

Ei , v ( A)

A

i−v

(v )

,

i v

{1+Ei , v ( A)

A

v−A

Это — распределение Эрланга для системы с ожиданием (второе распределение Эрланга).

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

72

3. Вторая формула Эрланга.

Определим вероятность того, что поступающий в произвольный момент времени вызов найдёт все линии занятыми, или, что то же самое, вероятность того, что время ожидания γ больше нуля:

P (γ>0)=

∞

P

=

Ev , v( A)

∞

A

i−v=

Ev , v ( A)

1

=...

∑

i

A

∑

(v )

A

A

i=v

1+Ev , v ( A)

i=v

1+Ev , v ( A)

1−

v−A

v−A

v

...= Ev , v( A) v

v−A+A Ev , v ( A)

Вторая формула Эрланга:

P (γ>0)=Ev , v (A) v−A+Av Ev , v( A)

	Так как	v	>1 , то P (γ>0)>Ev , v (A) (вероятность
		v−A+A Ev , v( A)
			больше вероятности того, что занято v
	того, что время ожидания γ>0

линий из v ).

Эта формула определяет вероятность ожидания. С другой стороны, её можно рассматривать как долю вызовов, задержанных при обслуживании, но не потерянных. Поэтому эту вероятность называют ещё условными потерями. Системы с ожиданием называют ещё системами с условным потерями.

При фиксированных A и v вероятность условных потерь больше, чем вероятность явных потерь.

При A v - P (γ>0)=1	- имеет место бесконечная очередь.
Перейти к оглавлению>>>	strelnikov.ws	73

4. Закон распределения времени ожидания.

Без доказательства запишем вероятность того, что для поступившего в произвольный момент времени вызова время ожидания будет больше t :

P (γ>t)=P (γ>0) e−β (v−A) t

Подробное доказательство этого выражения >>>

В практических расчётах обычно пользуются кривыми, которые строятся при измерении времени ожидания в единицах средней длительности занятия линий или приборов. В этом случае одним и тем же графиком можно пользоваться для процессов, которые не соизмеримы в реальном масштабе времени.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

74

5. Среднее время ожидания для вызова, поступающего на коммутационную систему.

Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание непрерывной случайной величины ζ с функцией распределения

∞

F (t)=P (ζ<t) может быть определено из выражения M =∫[1−F (t)] dt

0

(подробнее — учебник Лившиц и др, с. 159).

Для рассматриваемой системы с ожиданием мы получим выражение для

P (γ>t) , так как

P (γ>t)=1−P (γ<t)

, то среднее время ожидания начала

обслуживания (так как

∫ea x dx=

1 ea x

):

a

∞

∞

∞

e−β (v−A) t

−β (v−A) t

∫

∫

̄γ=

P (γ>t) dt =P (γ>0)

e

dt=P(γ>0)

=...

0

0

−β (v−A) 0

...=P (γ>0)

e−β (v−A) ∞

−P (γ>0)

e−β (v−A) 0

=0−P(γ>0)

e−β (v−A) 0

=...

−β (v−A)

−β (v−A)

−β (v−A)

1

1

...=P (γ>t )

=P (γ>0)

tвыз

, где

t

выз

=

– средняя длительность

β (v−A)

v

−A

β

одного занятия линии в пучке (одного вызова).

γ=P (γ>0)

̄t выз

- это среднее время ожидания по отношению ко всем

̄

v−A

поступившим вызовам (суммарное время ожидания, разделённое на все поступающие вызовы).

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

75

6. Среднее время ожидания для ожидающих вызовов.

Все вызовы, поступающие на коммутационную систему, можно разделить на вызовы, которые обслуживаются с ожиданием, и вызовы, которые

обслуживаются без ожидания. Обозначим через	̄	зад – среднее время
	γ

ожидания задержанных вызовов. Время ожидания вызовов, которые обслуживаются без ожидания, равно нулю. Тогда среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам можно определить как среднее взвешенное:

γ=̄ γ̄зад P(γ>0)+0 [1−P (γ>0)]

Отсюда:

	γ	=	̄γ	=	̄t выз	- суммарное время ожидания, разделённое на
			P (γ>0)		v−A
	̄ зад
	ожидающие вызовы.						̄	зад	̄ .
		Так как		P (γ>0) 1 , то
							γ		γ

7. Вероятность очереди (вероятность наличия в очереди хоты бы одного вызова).

В состоянии системы

xv

все

v линий заняты, но очереди нет. В

состоянии

xv+1

заняты все

v линий и один вызов стоит в очереди. В

состоянии

xv+2

– 2 вызова стоят в очереди и так далее...

Ev ( A)

A

i−v

Ev ( A)

i−v

∞

∞

∞

A

Pочер= ∑

Pi= ∑

(v )

=

∑

A

A

(v )

i=v+1

i=v+1 Ev ( A)

Ev ( A)

i=v+1

v−A

v−A

В этом выражении обозначим

r=i−v :

∞

A

r

A

A

2

A

1

∑r=1

(

)=

A

[1+

+(

)]=

v

v

v

v

v

1−

A

v

Вероятность очереди:

Pочер=

Ev ( A)

1

A

=P

(γ>0)

A

1+Ev ( A)

A

1−

A

v

v

v−A

v

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

76

8. Средняя длина очереди или среднее число задержанных вызовов. Математическое ожидание числа задержанных вызовов (введём

обозначение i−v=k ):

Ev

( A)

A

i−v

Ev ( A)

k

∞

∞

∞

A

̄

(v )

=∑

(i−v)

=

∑ k

C зад=∑(i−v) Pi

A

A

i=v

i=v

1+Ev ( A)

1+Ev( A)

k=0

(v )

v−A

v−A

A

d

k

k−1

Заменим

=x

и воспользуемся формулой

x

=k x

:

v

dx

∞

A k

A

∞

k−1 A d

∞

k

A d 1

A

1

A

1

∑

k

∑

k x

∑

x

=

=

=

=

2

=

2

k =0

(v )

v

k=0

v

dx

k=0

v

dx

1−x

v (1−x)

v

(1−

A

)

Число задержанных вызовов будет:

v

̄

Ev ( A)

1

A

1

A

1

A

=P (γ>0)

=P(γ>0)

C зад=

1+Ev ( A)

A

A

v

A

v

A

v−A

1−

1−

1−

v−A

v

v

v

Таким образом, для оценки качества работы систем с ожиданием мы

вывели:

P (γ>0)=Ev , v (A)

v

Вторая формула Эрланга (вероятность

v−A+A Ev , v( A)

того, что время ожидания больше нуля

— то есть вероятность очереди)

P (γ>t)=P (γ>0) e−β (v−A) t

Вероятность того, что время ожидания

поступившего вызова больше

t

t выз

Среднее время ожидания для

̄γ=P(γ>0)

̄

поступившего вызова

v−A

γ

=

̄γ

=

t

выз

Среднее время ожидания для

̄ зад

̄

ожидающих вызовов

P (γ>0)

v−A

̄

A

Средняя длина очереди (среднее число

C зад=P(γ>0)

задержанных вызовов)

v−A

Pочер=P(γ>0) A

Вероятность очереди (вероятность

v

наличия хотя бы одного вызова в

очереди)

Все полученные в данном параграфе результаты выводились в предположении, что длительность занятия распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Такое предположение справедливо при исследовании разговорного тракта.

Длительность занятия управляющих устройств носит менее случайный характер, а в некоторых случаях её можно с достаточной точностью считать постоянной.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

77