5.3 Идеально-симметричные неполнодоступные схемы

Идеальной НПД схемой называют такую схему, которая при числе линий

v , доступности		D и случайном равновероятном искании имеет число
нагрузочных групп		g=C vD и при этом любые две нагрузочные группы
отличаются друг от друга, по крайней мере, одной линией.
Рассмотрим пример:			D=3	;	v=5 .
Распределение линий по нагрузочным группам соответствует сочетаниям
из 5 по 3. Число нагрузочных групп					g=C53=	5!		=10
						3! (5−3)!
I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII IX		X

1

2

3

4

5

g		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		1	1	1	1	1	1	2	2	2	3
		2	2	2	3	3	4	3	3	4	4
		3	4	5	4	5	5	4	5	5	5

В таблице — номера линий, доступных каждой нагрузочной группе.

На практике идеальное НПД включение не применяется, однако для него получены точные формулы потерь, позволяющие производить оценку пропускной способности реальных схем с меньшим числом нагрузочных групп.

При одинаковой нагрузке от каждой нагрузочной группы использование каждого выхода (нагрузка, пропускаемая каждой линией) будет одинакова. Поэтому вероятность потерь для каждой нагрузочной группы будет одна и та же.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

103

5.4 Формула Эрланга для идеальной НПД схемы (третья формула Эрланга)

1.Постановка задачи.

Определим основные характеристики математической модели. Коммутационная схема — однозвенная идеальная неполнодоступная. Поток вызовов — простейший с параметром λ .

Закон распределения длительности занятия — показательный (экспоненциальный):

F	2	(t)=P(t	<t)=1−e−βt	со средней длительностью	̄t	=	1 .
		в			в		β

Дисциплина обслуживания. Если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой нет доступа к свободной линии, то вызов теряется.

Требуется найти вероятность потерь.

2.Вероятности состояний.

В общем случае неполнодоступная схема имеет 2v состояний.

Составить и решить систему из	2v уравнений для встречающихся на
практике значений v=50÷100	и больше не представляется возможным. В

случае идеальной неполнодоступной схемы можно рассматривать только v+1 состояние. В общем случае при i занятых линиях существует

большое число различных состояний НПД схемы. Для идеальной НПД схемы все их можно заменить одним состоянием.

Будем рассматривать систему в стационарном состоянии.

λ0

λ1

λD−1

λD

λD+1

λv−1

x0

x1

xD

xD+1

xv

...

...

v1

v2

vD

vD+1

vD+2

vv

Для процесса размножения и гибели вероятность нахождения системы в состоянии i записывается следующим образом:

Pi=λ0 λ1 ... λi−1 P0 } v1 v2 ... viv∑ Pi=1

i=0

Определим λi и vi для рассматриваемого процесса.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

104

Если

i<D

, то

λ0=λ1=...=λD−1=λ .

Переход из состояния

xD

в

xD+1 сложный.

Обозначим через ϕi

вероятность потери вызова при i

занятых

линиях. Для

i<D

ϕi=0

, для

i D

ϕi>0 .

(1−ϕi)

– вероятность того,

что вызов не будет потерян при

i

занятых линиях. Следовательно для i D

λi=λ (1−ϕi)

, то есть за

t →0 поступит хотя бы один вызов с

вероятностью

λ

и вызов не будет потерян с вероятностью (1−ϕi) (система

перейдёт из состояния

i

в состояние

i+1 ).

Параметр потока освобождений не зависит от доступности:

vi=i β

(освобождается или первая, или вторая, … или

i -я).

Подставим

λi

и vi

в выражение для

Pi :

Pi=

λi

(1−ϕD) (1−ϕD+1 ) … (1−ϕi−1) P0 , так как при

i<D

ϕi=0 .

i

i! β

P

i

=Ai

i−1 (1−ϕ

j

) P

0

i!

∏

v

j=D

∑ Pi=1

{i=0

v

P0

определим из условия

∑ Pi=0

:

1

i=0

P0=

v

i

i−1

∑

A

∏ (1−ϕ j)

i!

i=0

j=D

Распределение Эрланга для идеального НПД включения:

i

i−1

j

v

A

∏

P0=

i!

j=D

(1−ϕ

)

;

∑ Pi=0

v

i i−1

∑

A

(1−ϕ

j

)

i=0

i!

∏

i=0

j=D

3.Вероятность потерь (третья формула Эрланга).

Если в полученном выражении принять D=v , то получим

распределение Эрланга для полнодоступного пучка, так как при				i<D ϕi=0 .
Выражение для вероятности потерь можно получить из формулы полной
вероятности:
v	v
P=∑ Pi ϕi=∑ Pi ϕi		; где Pi – вероятность того, что из	v	линий занято
i=0	i=D
ровно	i линий; ϕi	– вероятность потери вызова при i	занятых линиях.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

105

				i			i−1
v			A			∏ (1−ϕj)
			i!
P=∑	ϕi						j=D
		v				i		i−1
i=D		∑		A				∏ (1−ϕj)
		i=0			i!			j=D

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо вычислить ϕi . В НПД схеме вызов потеряется в том случае, если поступает в

нагрузочную группу, в которой заняты все			D линий. Общее число
нагрузочных групп в идеальной НПД схеме			g=C vD .
Если занято	i=D	фиксированных линий, то заблокированной окажется
одна нагрузочная группа (		C D =1 ).
		i=D
Если занято	i D	фиксированных линий, то заблокировано будет CiD

нагрузочных групп, то есть число заблокированных нагрузочных групп равно числу способов выбора D выходов из i занятых.

Вероятность того, что при i занятых выходах вызов попадёт в заблокированную группу, равна отношению числа заблокированных групп к общему числу нагрузочных групп, то есть:

C D

ϕ =

i

CvD

i

i<D ϕi=0 , получим выражение для потерь в

Учитывая, что при

идеальной НПД схеме:

)

v

CiD

Ai i−1

C Dj

∑

∏

1−

D

i!

D

P=

i=D

Cv

j=D (

C v

- третья формула Эрланга для идеальных НПД

v

i

i−1

D

)

∑

A

1−

C j

i!

∏

D

i=0

j=D (

Cv

включений.

Эта формула даёт точное выражение для потерь в идеальносимметричной НПД схеме при простейшем потоке вызовов и экспоненциальном распределении длительности занятия. Формула эта табулирована (см. «Теория телетрафика», издательство «Связь», 1971 г, стр 287). Называется формулой Эрланга для идеального НПД включения (третья формула Эрланга).

В общем случае для произвольной НПД схемы ϕi зависит не только от i , но и от структуры схемы, алгоритма установления соединения и

определить все ϕi практически не представляется возможным. Поэтому — приближённые методы. Третья формула Эрланга используется для сравнений, так как даёт точное решение. Другие методы — приближённые.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

106