Раздел 3

Методы расчёта пропускной способности полнодоступных включений в однозвенных коммутационных системах с потерями

3.1 Обслуживание простейшего потока вызовов (вывод первой формулы Эрланга)

1. Постановка задачи.

Мы уже отмечали, что математическая модель системы телефонной связи характеризуется следующими основными элементами: коммутационой схемой, потоком вызовов, дисциплиной обслуживания, качеством обслуживания.

В этом параграфе рассмотрим простейшую модель: Задано:

1) Коммутационная схема — однозвенная, в выходы которой включён

полнодоступный пучок из v	линий. Это значит, что любой вход КС
может быть подключён к любой из v		линий, причём подключение
входа к выходу осуществляется в одной точке.
		1
	1	2
1		:
		v
2
:	2
:
v	:
	:
	:

:

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

46

2) На коммутационную схему поступает простейший поток вызовов ( F 1(t)=1−e−λt ; F 1(t)=P( zi<t ) — вероятность поступления

вызова за t ) с параметром λ . Будем считать, что длительность обслуживания вызовов (длительность занятия любой линии в пучке)

— случайная величина и подчиняется показательному закону распределения с параметром β .

Вероятность того, что за время	t	одна линия освободится:
F 2(t)=P(tв<t)=1−e−βt=1−[1−β t+0(t)]=β t+0(t)
Где tв — длительность вызова;	1	— средняя длительность
	β

обслуживания вызова.

Параметр β в этом выражении полностью аналогичен параметру λ показательного закона распределения промежутка zi между

вызовами простейшего потока вызовов. Вероятность того, что за время t поступит один вызов:

F 1(t)=P( zi<t )=1−e−λt=λ t+0(t )

Параметр λ имеет смысл плотности потока занятий линий в пучке

	(		1	– средняя длительность между двумя вызовами). Аналогично
			λ
				можно рассматривать как плотность потока освобождений линий
		β
	(	1		– средняя длительность занятия линии одним вызовом)
			β

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

47

3)В качестве дисциплины обслуживания примем обслуживание вызовов с явными потерями, то есть при занятости всех линий поступивший вызов получает отказ в соединении и в систему не возращается. Потерянный вызов не оказывает на систему ни какого влияния.

Модель M/M/v < ∞						i любых линий из общего
Требуется найти вероятность занятия
числа		v в фиксированный момент времени t —					Pi(t)
λ					1	F 1(t)=P( zi<t )=1−e−λt
			КС
					v	F 2(t)=P (tв<t)=1−e−βt
Найти		Pi(t) — вероятность того, что в момент t					занято ровно i
линий.

3.2 Дифференциальные уравнения Эрланга

Введём понятия макро и микро состояния пучка. Пучок из v линий может иметь всего (v+1) состояние (макросостояние):

x0 — свободны все линии;

x1 — занята ровно одна линия;

—— — — — —

xi — занято ровно	i	линий;
— — — — — —
xv — заняты все	v	линий.
Если указывают ещё и номер линии, то это микросостояние:
Макросостояние:	x1	x2 ...	xv
Микросостояние:	x11	x12 ...	x1v

Диаграмма состояний и переходов:

λ

λ

λ

x0

x1

...

xi

...

xv

β

2 β

v β

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

48

Вероятность того, что система в момент времени t находится в

состоянии xi обозначим Pi(t)	;	i=0,1,2 ,... ,v
Так как все возможные состояния представляют собой полную группу
событий, то для любого момента	t	:
v
∑ Pi(t)=1
i=0
I. Запишем дифференциальное уравнение для P0 (t) .
Рассмотрим отрезок времени		[t , t+Δ t ) :

t

t t+Δ t

F 1(Δ t)=P ( zi<Δt)=1−e−λ t=λ t+0(Δt ) — вероятность того, что за t поступит вызов;

1−F 1(Δ t)=e−λ t =1−λ t+0(Δ t)		— вероятность того, что за			t вызов
не поступит;
F 2(Δ t)=P (tв<Δt )=1−e−β t =β t+0(Δ t)				— вероятность того, что одна
линия освободится;
1−F 2(Δ t)=e−β	t=1−β t+0(Δt )	— вероятность того, что линия не
освободится.				t+Δ t система будет находиться
Найдём вероятность того, что в момент
				v
в состоянии x0	(все линии свободны)		– P0 (t+Δt)=∑ P j 0 . Это может
				j=0
произойти двумя способами (число стрелок в				x0 – две):

A

x0	x1	x2	...
	B

A — в момент	t	система находилась в состоянии	x0	, и за время	t
не поступило ни одного вызова (система не перешла в x1			);
B — в момент	t	система находилась в состоянии	x1	, и за время	t
линия освободилась и система перешла в x0 .

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

49

Возможностью перехода системы из x2 в x0 (одновременно

освободилось две линии) при малом	t можно пренебречь, так как поток
	1
освобождений ординарный, то есть —	P0 (t+Δt)=∑ P j 0 .
	j=0

По теореме сложения вероятностей:

P0(t+Δt)≈P ( A)+P( B)

	P ( A) найдём по теореме умножения. Вероятность того, что в момент
t система была в состоянии x0				, равна		P0(t)				. Вероятность того, что за
время	t не придёт ни одной заявки, равна								e−λ		t≈1−λ t .
	Так как	F 1(Δt)=P (zi<t)=1−e−λ t				, отсюда:
P (zi t)=1−(1−e−λ t)=e−λ t					x0			x1		x2
	Вспомним ряд Маклорена —			ex=			+		+		+... .
										2!
				0!			1!
	С точностью до величины высшего порядка малости — e−λ t≈1−λ t .
	Следовательно,		P ( A)≈P0(t) (1−λ			t)
	Найдём	P (B)	. Вероятность того, что в момент t система была в

состоянии x1 , равна		P1(t) . Вероятность того, что за время		t одна
линия освободится, равна			F 2(Δ t)=P (tв<Δ t)=1−e−β t≈β t .
	С точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости,
чем	t :
1−e−β t≈1−(1−β		t)≈β t
	Следовательно,	P (B)=P1 (t) β t .
	Подставляя вместо		P ( A) и P (B) их значения, получим:
P0 (t+Δt)≈P0 (t) (1−λ			t)+β P1 (t) t

P0 (t+Δtt)−P0 (t)≈−λ P0 (t)+β P1 (t)

Переходя к пределу при

t →∞ , получим:

dP0(t)=−λ P0 (t)+β P1(t) d t

Аналогичные дифференциальные уравнения составим и для других вероятностей состояний.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

50

II. Возьмём любое

i (0<i<v)

и найдём вероятность

Pi(t+Δ t)

того,

что в момент

t+Δ t

система будет в состоянии

xi .

A

B

xi−1

xi

xi+1

C

v

Вообще

Pi(t+Δ t)=∑ P j i

. Эта вероятность вычисляется как

j=0

xi

вероятность суммы трёх событий (по числу стрелок, направленых в

):

Pi(t+Δ t)≈P( A)+P( B)+P(C )

xi

A — в момент

t

система была в состоянии

, а за время

t

не

перешла из него ни в

xi+1 , ни в

xi−1

(ни один вызов не поступил и ни одна

из

i линий не освободилась);

xi−1 (занята i−1

B — в момент

t

система была в состоянии

линия), а за время

t

перешла в состояние xi

(поступил один вызов);

C — в момент

t

система была в состоянии

xi+1 (занята i+1

линия), а за время

t

одна линия освободилась.

v

То есть

Pi(t+Δ t)=∑ P j i

j=0

Найдём P ( A)

. Вероятность того, что за время

t

не поступит ни

одного вызова и не освободится ни одна линия, равна:

e−λ t (e−β t )i=e−(λ+i β) t

Где

e−β t — вероятность того, что не освободятся линии с первой по

i -ю.

Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем:

e−(λ+i β) t≈1−(λ+i β)

t

Таким образом:

P ( A)=Pi (t) [1−(λ+i β) t]

Найдём P (B)

. Вероятность поступления одного вызова за

t

равна:

1−e−λ t≈1−(1−λ t)≈λ t

Следовательно:

P (B)=Pi−1 (t) λ t

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

51

Найдём P (C) . Вероятность освобождения за время				t	одной из
(i+1) занятых линий (или первая, или вторая, … или i+1 -я):
(i+1) (1−e−β t )≈(i+1) (1−1+β	t)≈(i+1) β t
Следовательно:
P (C )≈Pi+1(t) (i+1) β t
Подставляя значения P ( A) ,	P (B) и	P (C)	, получим:
Pi (t+Δ t)=Pi (t ) [1−(λ+I β) t ]+Pi−1 (t) λ		t+Pi+1 (t) (i+1) β t
Перенесём Pi(t) в левую часть, разделим на			t и, переходя к
пределу, получим дифференциальное уравнение для			Pi(t)	при	0<i<v :

dPi(t)=λ Pi−1(t )−(λ+i β) Pi(t)+(i+1) β Pi+1(t) d t

	III. Составим уравнение для последней вероятности Pv (t)										– это
вероятность того, что все							v	линий будут заняты.
							A
			B
xv−1							xv
	Это может произойти двумя способами:
	A — в момент времени								t система находилась в собственном состоянии
xv и за время				t	ни одна линия не освободилась. Вероятность того, что за
время		t	не освободится первая линия, равна e−β t . Вероятность того, что
не освободится и первая, и вторая, … , и v -я линия равна:
e−vβ Δt ≈1−v β t . Тогда								P ( A)≈ Pv (t) (1−v β t) ;			xv−1 и за
	B — в момент времени								t система находилась в состоянии
время		t	произошло занятие одной линии. Вероятность поступления одного
вызова за			t	равна		1−e−λ t≈1−(1−λ t)≈λ t .
Тогда	P (B)=Pv−1(t) λ						t .

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

52

Вероятность того, что в момент t+Δ t система будет находиться в состоянии xv :

Pv (t+Δ t)≈Pv(t) (1−v β t )+Pv−1 (t) λ t

	d Pv (t)	=λ Pv−1	(t)−v β Pv (t)
	d t

Таким образом получена система дифференциальных уравнений для вероятностей P0 (t) ,P1 (t), … , Pv (t)

d P0 (t)		=−λ P0(t)+β P1 (t) ,	}
d t
. . . . . . . . . . . . . . . .
d Pi (t)		=λ Pi−1 (t )−(λ+i β) Pi(t)+(i+1) β Pi+1(t) , 0<i<v ,
d t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P t	) =λ Pv−1(t)−v β Pv (t)
d dvt(

v

∑ Pi (t)=1

i=0

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями Эрланга. Эти уравнения описывают так называемый процесс рождения и гибели.

Прежде чем перейти к решению системы Эрланга, рассмотрим закономерности изменения P0(t) ,P1(t), … , Pv (t) .

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

53