2.5 Оценка результатов измерения нагрузки. Понятие о доверительной вероятности

и доверительном интервале

	Пусть имеется случайная величина x с математическим ожиданием
M x	и дисперсией	Dx . Оба параметра неизвестны. Пусть над величиной
x	проведено n	независимых измерений, давших результаты x1 , x2 , … , xn .

Тогда в качестве оценки для математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений:

n

∑i 1 xi (1) mx= =n

Естественно потребовать от оценки mx , чтобы при увеличении числа измерений n она приближалась (сходилась по вероятности) к параметру

M x . Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

lim mx=M x

n→ ∞

Кроме того, желательно, пользуясь величиной mx вместо M x , мы по крайней мере не делали систематической ошибки в сторону завышения или занижения, то есть чтобы выполнялось условие:

M [mx ]=M x

Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещённой. Оценка (1) является и состоятельной и несмещённой.

Состоятельная и несмещённая оценка дисперсии определяется из выражения:

	n
	∑(xi−mx)2	(2)
d x=i=1
	n−1

При малом числе наблюдений требуется знать — к каким ошибкам может привести замена параметра M x его оценкой mx и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы? Для этого в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

43

	Пусть для параметра					M x	получена из опыта несмещённая оценка mx .
Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую
достаточно большую вероятность β								(например	β=0.9 ; 0,95 ; 0.99 ) такую,
что событие с вероятностью						β	можно считать практически достоверным, и
найдём такое значение					ε , для которого:
P (mx−ε M x<mx+ε)=β
	Это равенство означает, что с вероятностью								β неизвестное значение
параметра M x попадёт в интервал								I β=(mx−ε ; mx+ε) :
					I β
			M x	mx
	m1						m2
0

εε

Вероятность β		принято называть доверительной вероятностью, а
интервал	I β – доверительным интервалом.
Если величина		mx распределена по нормальному закону при числе
измерений	n 30 , то доверительный интервал выражается в виде:
ε=Kβ σmx	→ Iβ=(mx−Kβ σmx ; mx+Kβ σmx ) , где σmx =√		αx	.
			n
Величина Kβ		определяет для нормального закона число средних

квадратических отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна β .

β=0.9	K β=1.64
β=0.95	K β=1.96
β=0.99	K β=2.58
β=0.999	K β=3.29

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

44

	Величина ε=Kβσmx				является предельной ошибкой выборки при
	заданной вероятности.
	норм ε Kβ	σx		, где σx=√			,	n – число измерений.
						Dx
		√n
	Это соотношение принимается при числе измерений n 30
	(нормальный закон распределения).
	При числе измерений				n<30			используется распределение Стьюдента

(псевдоним английского математика В. Госсета). Распределение Стьюдента более пологое.

Стьюд.=Z n−1			σx			, где n		– число измерений.
		√
			n−1
Ниже приведены значения Zn−1 при											Р=0.95 :
n−1	1	2				3		4	5		10		20	30	40	∞
Zn−1	12.7	4.3				3.18		2.77	2.53		2.23		2.08	2.04	2.02	1.96

Кроме ошибок измерений могут быть ошибки вычислений (округление). Правило: ошибки вычислений должны быть примерно на порядок (то есть в 10 раз) меньше ошибки измерений.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

45