1.3 Основные характеристики потоков вызовов

Основными характеристиками потоков вызовов являются их интенсивность и параметр. Пусть Λ(t) — математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервал [0,t ) . Функцию Λ(t) называют ведущей функцией потока.

		n
		∑ ki(t)
Λ(t)=lim		i=1
		n
n →∞					ki(t ) – число вызовов, поступивших за
Где	n – число наблюдений,
интервал времени [0,t )				в i -й период наблюдений.
По определению мгновенной интенсивностью потока называют предел:
μ(t)= lim		Λ(t+Δ t)−Λ(t)= lim Λ(Δ t)
t →0			t	t → 0	t

Для стационарного потока мгновенная интенсивность одна и та-же в любой момент времени в заданном интервале. Для стационарного потока интенсивность μ есть математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени.

μ= Λ(t t)

Плотность поступления вызовов:

По определению параметром потока вызовов λ (t) в момент t называют предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова

на интервале		[t , t+Δ t )	к длительности этого интервала			t при	t →0
λ (t)= lim	P K 1(t , t+Δ t)		= lim	PK 1(Δ t)
		t		t
t →0			t →0
Другими словами, параметр потока есть плотность вероятности
поступления вызовов в момент t				. Вероятность не может быть больше 1.
Плотность вероятности может принимать любое положительное число.
Параметр стационарного потока является постоянным, не зависящим от

времени λ (t)=λ>0 . Для любого стационарного потока всегда имеет место неравенство μ λ . Если поток ещё и ординарный, то μ=λ .

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

11

1.4 Простейший поток вызовов и его свойства

Простейшим потоком вызовов называется стационарный ординарный поток без последействия. Простейший поток вызовов полностью определяется

и задаётся вероятностью поступления точно

К

вызовов за время

[0,t ) .

Обозначим эту вероятность Pk (t)

при К =0,1, 2,3,..., и t>0 .

Найдём выражение для

Pk (t)

:

1

2

t

n

t

t=

t0

t0+Δ t

n

0

t

Рассмотрим малую длительность времени

t и вычислим вероятность

того, что в этот промежуток времени поступит хотя бы один вызов. По

определению, параметром потока мы назвали предел отношения:

λ= lim

P K 1(t0, t0 +Δ t)

= lim

P K 1

(Δ t)

(

λ

- стационарность)

t

t

t →0

t → 0

Следовательно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при

t →0 можно считать вероятностью того, что в промежуток времени

t

поступит хотя бы один вызов, равной:

P K 1(t0,

t0+Δt )=λ

t=λ

t

;

n

авероятностью того, что не поступит ни одного вызова, равной:

P K=0 (t0, t0 +Δ t)=1−λ t=1−λ nt

Так как по определени простейший поток — это поток без последействия, то вероятности поступления вызовов в неперекрывающиеся промежутки времени независимы. Следовательно, n промежутков времени моожно рассматривать как n независимых опытов, в каждом из которых промежуток

времени t может быть «занят» с вероятностью λ t . n

Вероятность того, что среди n промежутков будет ровно К «занятых» можно определить по теореме о повторении опытов (по формуле

K		λ t		K			λ t	n−K
	(		)		(	1−		)
		n					n
Бернулли) из выражения Pn ,K =Cn

Подробнее о теореме Бернулли >>>

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

12

При достаточно большом	n эта вероятность приблизительно	равна
вероятности поступления точно	К вызовов в промежуток времени	[0,t ) ,
так как вероятность поступления двух или более вызовов в промежуток			t

имеет пренебрежимо малую вероятность (простейший поток ординарный!).

Чтобы найти точное значение

P K (t)

, нужно перейти к пределу при

n →∞ :

K

λ t n−K

(λ t)K

K

λ t

−λ t

P K (t)=lim C n

1−

=

e

n )

n )

K!

n →∞

(

(

Распределение вероятностей

P K (t)

называется распределением

Пуассона. Чтобы убедиться, что последовательность вероятностей P K (t) представляет собой ряд распределений, необходимо показать, что сумма всех

вероятностей P K (t)

равна единице. Действительно, исходя из ряда

∞

x

k

Маклорена

∑

=ex , получим:

k!

K =0

∞

∞

(λ t)K

−λ t

−λ t

∞

(λ t)K

−λ t

λ t

=1

∑ PK (t)=∑

K !

e

=e

∑

K !

=e

e

K =0

K=0

K =0

Чтобы построить распределение Пуассона, необходимо для всех К

рассчитать

P K (t)

. Это распределение дискретной случайной величины. При

λ t=4 распределение имеет следующий вид:

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

13

Огибающие распределения Пуассона при различных λt имеют следующий вид:

Как видно из рисунка, с возрастанием огибающая принимает всё более симметричный вид. При λt 10 имеет место хорошее совпадение между огибающей закона распределения Пуассона и нормальным законом распределения (который является законом распределения непрерывной случайной величины), формула и график которого:

1 −(x−m)2

f ( x)= σ√2π e 2 σ2

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

14