1.7 Длительность обслуживания. Поток освобождений

Длительность обслуживания поступившего вызова может быть постоянной либо случайной. Постоянная длительность задаётся, например, величиной h . Длительность обслуживания принимается постоянной при обслуживании вызовов приборами управления (маркерами, регистрами).

Последовательность моментов окончания обслуживания вызовов образует поток освобождений. Свойства потока освобождений в общем случае зависят от свойств поступающего потока вызовов, качества работы коммутационной системы и закона распределения длительности обслуживания.

При постоянной длительности обслуживания и обслуживании всех вызовов без потерь свойства потока освобождений совпадают со свойствами потока вызовов. Происходит только сдвиг по времени на величину h между моментом поступления вызова и моментом окончания его обслуживания.

h
h	1
h	2
	.
	:
	v

Поток занятий λ →

Поток освобождений v →

h

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

24

При случайной длительности обслуживания, например, при обслуживании вызовов приборами коммутации, длительность обслуживания зависит от продолжительности разговора абонентов. Наиболее простым и самым распространённым законом распределения длительности обслуживания является показательный.

F 2(t)=P (tв<t)=1−e−βt tв

t

t

F 2 (t) – вероятность освобождения одного устройства за время

t .

Где

t̄=

1

– математическое ожидание длительности обслуживания

β

в

1

одного вызова,

β=

— параметр показательного закона.

t̄

в

Вероятность

F 2(t)

можно рассматривать как вероятность

освобождения одного устройства за время t .

Продолжительность разговора при телефонной связи достаточно хорошо

описывается показательным распределением.

Найдём параметр потока освобождений при показательном законе

длительности обслуживания. Пусть в момент t0

занято

К

устройств из v.

По определению параметра:

vосв= lim

Pi 1 (K ,

t)

t

t → 0

1

t

λ

КС

} занято K

v

t

t0

t0+Δ t

Здесь Pi 1( K , t)

есть вероятность освобождения за

t

хотя бы

одного устройства в предположении, что в момент

t0

их было занято

К .

Эта вероятность равна . Pi 1( K ,

t)=1−Pi=0(K ,

t)

Найдём

Pi=0 (K ,

t)

- вероятность того, что за

t

не освободится ни

одного из

К

занятых устройств.

F 2(t)=P (tв<t)=1−e−β t

- вероятность освобождения одного

устройства за время

t .

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

25

Вероятность не освобождения одного устройства за t :

1−F 2(t)=Pi=0 (1, t )=e−β t

Вероятность того, что не освободится и первое, и второе, … и К -е:

Pi=0 (K ,			t)=e−β t e−β t ...=e−K β t
	Вероятность того, что за						t	освободится хотя бы одно устройство при
условии, что в момент времени							t0	их было занято		K :
Pi 1( K , t)=1−Pi=0 ( K , t)=1−e−K β t
	Вспомним ряд Маклорена:
ex=	x0	+	x1	+	x2	+... 0!=1
0!			1!	2!
e−K β t =1−K β t+0(Δ t) , так как (Δ t)2									- есть бесконечно малая
величина;
Pi 1( K , t)=1−e−K β t=K β t+0(Δt )									vосв
	Подставим это выражение в формулу для									:

vосв= limt → 0 (K β+ 0(Δtt))=K β

Таким образом, параметр потока освобождений зависит от числа занятых соединительных устройств и поток освобождений не является простейшим.

	vосв=K β				1
	Где K	– число занятых устройств в момент	t0 ,	β=		- параметр
					̄t разг

показательного закона, ̄t разг - математическое ожидание длительности разговора (занятия).

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

26

1.8 Простейшая классификация потоков

			Потоки
детерминированные						случайные
	стационарные							не стационарные

ординарные		не ординарные

без последействия			с последействием
(простейший)
		λs (t)					F i( z), i 1
	с простым					с ограниченным
	(примитивный)
Примитивный поток включает в себя энгсетовский поток и поток с
повторными вызовами.							λs (t) зависит от
Стационарный ординарный поток, параметр которого
состояния коммутационной системы			s	в рассматриваемый момент времени
t называет потоком с простым последействием.							N :
Например, поток от ограниченного числа источников

λi=α ( N −i)

i –

Где:

α

- параметр одного источника в свободном состоянии,

число установленных соединений в момент

t .

Поток с ограниченным последействием — пример:

поток на выходе ГИ (групповой искатель).

Пока маркер обслуживает вызов, вероятность

появления вызова на выходе равна нулю. Если случайные

величины

zi

взаимно независимы и распределены

M

по любому закону F i( z) .

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

27

Потоки с последействием

Простейший поток — это стационарный, ординарный поток без последействия. На практике наблюдается много случаев, когда некоторые из этих свойств не выполняются.

Поток с простым последействием

Потоком с простым последействием называют случайный ординарный поток вызовов, параметр которого λs (t) зависит от состояния коммутационной системы s(t) в рассматриваемый момент t .

Например, поток вызовов от ограниченного числа источников является потоком с простым последействием, так как вероятность поступления новых вызовов зависит от числа уже установленных соединений. Эта вероятность прямо пропорциональна величине N −i , где N – число источников, i – число установленных в данный момент соединений.

Параметр такого потока:

λi=α ( N −i)

Где α – параметр источника в свободном состоянии.

Этот поток в литературе называют примитивным потоком или Энгсетовским. Этот поток является одним из примеров потоков с простым последействием.

Если число линий в направлении недостаточно, то появляются повторные вызовы. Поток с повторными вызовами является потоком с простым последействием.

Поток с ограниченным последействием

Поток вызовов называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины z1 , z2 ,... взаимно независимы и распределены по любому закону. Для задания такого потока достаточно задать набор функций распределения случайных величин zi :

F i(t)=P( zi<t ), i 1

(для сравнения можно отметить, что для простейшего потока все промежутки между вызовами распределены по одному и тому же экспоненциальному закону

F 1(t)=F2(t )=...=F (t)=1−e−λt )

В потоках с ограниченным последействием последействие действует только в течение одного промежутка между вызовами. Для простейшего потока отсутствует последействие в течение одного промежутка времени между вызовами, так как при экспоненциальном законе распределения оставшаяся часть промежутка zi−τ распределена по тому же закону, что и весь

промежуток zi .

Перейти к оглавлению>>> strelnikov.ws 28

Примером потока с ограниченным последействием может служить поток вызовов на выходе коммутационной системы, обслуживаемой общим управляющим устройством. Если, например, маркер блока АВ ступени АИ в

момент t0	начал обслуживать поступивший вызов, то в период времени
(t0, t0+tм)	вероятность поступления нового вызова на ИШК равна нулю ( tм

— время действия маркера блока АВ при установлении исходного соединения). Одним из классов потоков с ограниченным последействием является

рекуррентный поток (лат. Recurrents – возращающийся) — это поток с ограниченным последействием, для которого все промежутки времени между вызовоми, кроме первого, распределены по одному и тому же закону:

F 2 (t)=F3(t)=...=F (t)

Рекуррентный поток определяется функциями:

F 1(t)=P( z1<t )

F (t)=P (zK <t) , K 2

z1

t

0 t1

Частным классом рекуррентных потоков является поток Пальма — это стационарный, ординарный, рекуррентный поток. Поток Пальма является в то же время обобщением простейшего потока, для которого требование отсутствия последействия заменяется более широким требованием ограниченности последействия.

Более подробно — см. учебник И. А. Большаков, В. С. Ракошиц - «Прикладная теория случайных процессов», Москва, издательство «Советское радио», 1978.

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

29