finantial

Неперервнi ануїтети

Неперервнi ануїтети можна розумiти як граничний випадок ануїтетiв, що виплачуються p разiв на рiк, при p → ∞. Для та-

ких ануїтетiв немає роздiлення на “авансовi” та “iз заборгованiстю” – виплати вiдбуваються щомитi i немає рiзницi, на початку чи наприкiнцi моменту робиться виплата.

Сталим неперервним ануїтетом на n рокiв називається грошовий потiк сталою iнтенсивнiстю протягом n рокiв. У якостi

стандартного ануїтету беруть такий, для якого iнтенсивнiсть одинична (або, що рiвносильне, сумарна рiчна виплата одинична). Сучасна вартiсть такого ануїтету дорiвнює

= w n νtdt =

1 − νn

=

i

a

,

a

n

δ

n

|

0

δ |

а накопичення –

= (1 + i)n

.

s

a

n|

n|

Iснують два стандартнi типи зростаючих ануїтетiв на n рокiв:

той, в якого iнтенсивнiсть виплати протягом k-го перiоду є сталою i дорiвнює k i той, iнтенсивнiсть виплат за яким у момент t дорiвнює t. Для першого ануїтету iнтенсивнiсть є ступiнчастою

функцiєю i його сучасна вартiсть дорiвнює

= i (I a)n .

(I a)n =

n

k w k

νtdt = a¨n| − nνn

X

|

k 1

δ

δ

|

−

k=1

Для другого iнтенсивнiсть виплат є лiнiйною функцiєю i його сучасна вартiсть дорiвнює

								= w n tνtdt =		n| − nνn	.
					)				a
	(I
			a
						n
	|							0		δ

Накопичення неперервних зростаючих ануїтетiв позначають, вiдповiдно, (I s)n| та (I s)n|.

Зауважимо, що для неперервних ануїтетiв їхнiй термiн може бути будь-яким додатним числом, або нескiнченним. В останньому випадку ануїтети також називаються довiчними, i їхнi сучаснi вартостi дорiвнюють

=

1

=

1

=

1

.

(

)

, (I

)

, (I

)

a

a

a

∞|

∞|

∞|

δ

dδ

δ2

23

Вправа 1.1.8. Доведiть формули для сучасних вартостей зростаючих неперервних ануїтетiв.

1.2Виплата боргу

1.2.1 Графiк виплати боргу

Для боржника, який взяв позику, завжди є цiкавим, скiльки з тих грошей, що вiн сплачує при поверненнi боргу, йде власне на повернення боргу (тобто наскiльки зменшується залишок боргу), а скiльки є платою за користування кредитом, тобто вiдсотками. Якщо борг розмiром L повертають єдиним платежем розмiром C, вiдповiсти на це запитання просто: сума L йде на повернен-

ня боргу, вона називається капiтальною складовою платежу, а сума C − L є вiдсотком, або вiдсотковою складовою платежу.

Коли боржник повертає борг декiлькома платежами, вiн може розбити послiдовно виплати на вiдсотковi i капiтальнi складовi, зменшуючи наступний залишок боргу на розмiр капiтальної складової платежу. Якщо черговий платiж не покриває розмiру вiдсоткiв, нарахованих за перiод на попереднiй залишок боргу, тодi наступний залишок боргу, навпаки, збiльшиться. Таке розбиття виплат за позикою на капiтальнi та вiдсоткову складовi зазвичай називають графiком виплати боргу. Складення графiку виплат боргу є дуже важливим при визначеннi суми, що потрiбно повернути при завчасному поверненнi позики, а також при оподаткуваннi, оскiльки капiтальнi складовi виплат, зрозумiло, не мають оподатковуватися.

Припустимо, що в момент часу t = 0 особа позичає суму L в кредитної установи, натомiсть сплачуючи x1, x2, . . . в моменти 1, 2, . . . . Нехай вiдсоткова ставка вiд моменту t = k до моменту t = k + 1 дорiвнює i(k). Тодi має мiсце рiвняння вартостей:

сучасна вартiсть сум, що повертаються, має дорiвнювати сумi позики,

L = x1[1 + i(0)]−1 + x2[1 + i(0)]−1[1 + i(1)]−1 + · · · + +xk[1 + i(0)]−1 · · · [1 + i(k − 1)]−1 + · · · .

24

Сума F0 = L є залишком боргу в початковий момент часу. В момент t = 1 нарахований вiдсоток становить i(0)F0, це i є вiдсотковою складовою першого платежу: g1 = i(0)F (0). Капiтальна складова дорiвнює f1 = x1 − i(0)F0, а залишок боргу пiсля першої

виплати дорiвнює

F1 = F0 − f1 = L[1 + i(0)] − x1 =

= x2[1 + i(1)]−1 + x3[1 + i(1)]−1[1 + i(2)]−1 + · · · .

Продовжуючи далi, ми можемо позначити Ft – залишок боргу пiсля виплати у момент t, тодi вiдсоткова складова t + 1-го пла-

тежу дорiвнює gt+1 = Fti(t), а капiтальна складова – ft+1 = xt+1 − i(t + 1)Ft. Залишок боргу в момент t + 1 дорiвнює Ft+1 = Ft − ft+1.

Послiдовно пiдраховуючи залишки боргу, неважко переконатися, що

Ft = L[1 + i(0)] · · · [1 + i(t − 1)] − x1[1 + i(1)] · · · [1 + i(t − 1)]− − · · · − xt = xt+1[1 + i(t)]−1 + xt+2[1 + i(t)]−1[1 + i(t + 1)]−1 + · · · ,

тобто залишок боргу в момент t, з одного боку, дорiвнює накопиченню суми позики на момент t мiнус накопичення платежiв,

зроблених до цього моменту, а з iншого боку, – вартостi на момент t платежiв, якi боржник має зробити пiсля моменту t.

Графiк виплати боргу для сталого ануїтету

Розглянемо просту ситуацiю, коли вiдсоткова ставка i є сталою на весь перiод позики, а сама позика повертається n однако-

вими щорiчними платежами iз заборгованiстю. Для спрощення вважатимемо, що розмiр щорiчних виплат дорiвнює 1, тобто сума позики дорiвнює an|.

Пiсля t-го платежу залишок боргу дорiвнює Ft = an−t|, суча-

снiй вартостi платежiв, що залишаються. Тому капiтальна складова t-го платежу дорiвнює

ft = Ft−1 − Ft = an−t+1| − an−t| = νn−t+1.

Графiк виплати боргу зручно подати у виглядi таблицi (див. табл. 1.1).

25

•	Залишок боргу							Вiдсотко-	Капiталь-	Залишок боргу
року	на початку року							ва	на	наприкiнцi року
								складова	складова
1		a						1 − νn	νn	a
				n|							n−1|
2	a							1 − νn−1	νn−1	a
			n−1|								n−2|
.	.							.	.	.
.	.							.	.	.
.	.							.	.	.
t	a							1 − νn−t+1	νn−t+1	a
		n−t+1|										n−t|
.	.							.	.	.
.	.							.	.	.
.	.							.	.	.
n	a	1| = ν						1 − ν	ν	0

Табл. 1.1: Графiк виплати боргу для сталого ануїтету.

Вправа 1.2.1. Складiть графiк виплат для n-рiчної позики, яка повертається сталим ануїтетом iз заборгованiстю що 1p року.

1.2.2 Споживчий кредит

Останнiм часом уряди багатьох країн приймають закони, якi змушують кредитнi установи давати iнформацiю про справжню цiну, яку споживачi сплачують за користування позиками. Прикладами таких законiв є британський Закон про споживчий кредит 1974 р. та американський Закон про захист кредитiв 1968 р. Ми детальнiше розглянемо британське законодавство з цього приводу.

Закон про споживчий кредит i пiдзаконнi акти мiстять багато положень, що стосуються визначення вартостi кредиту для споживача. Вони, по-перше, встановлюють, якi саме виплати споживача мають входити до загальної плати за кредит. Наприклад, бiльшiсть установ, якi надають позики на придбання автомобiлiв, вимагають вiд боржника застрахувати придбаний автомобiль на певну суму. Звичайно вартiсть страхування не додається до загальної плати за кредит. По-друге, цими законами встановлюється, що у всiх рекламних пропозицiях i договорах про кредитування має бути вказано справжню рiчну плату за користування кредитом, вiдому як рiчна фактична вартiсть кредиту (англiйською annual percentage rate of charge), РФВ. До

26

того ж, цi закони встановлюють, що ця рiчна фактична вартiсть має пiдраховуватися як додатний розв’язок рiвняння (1.1.4). У читача може виникнути запитання: як має дiяти кредитна установа, якщо таких розв’язкiв декiлька? Насправдi, це є дуже рiдкою ситуацiєю, оскiльки зазвичай боржник одержує всю суму позики ранiше, нiж вiн починає її повертати, у такому випадку єдинiсть розв’язку гарантується твердженням 1.1.6. У тих рiдких випадках, коли рiвняння вартостей має декiлька додатних коренiв, за РФВ береться найменший з них.

Рiчна фактична вартiсть має бути вказаною з точнiстю до десятих часток вiдсотка (iз закругленням у менший бiк), тому рiвняння вартостей потрiбно розв’язувати з високою точнiстю. Щоб полегшити пiдрахунок рiчної фактичної вартостi, опублiковано таблицi для переведення так званої незмiнної вiдсоткової ставки (її означення див. нижче) у РФВ.

Незмiнна вiдсоткова ставка i рiчна фактична вартiсть кредиту

Найпоширенiша схема повернення боргу в споживчому кредитуваннi така: борг повертається однаковими внесками iз заборгованiстю через однаковi промiжки часу. Для такої схеми загальною практикою пiдрахування розмiру платежу є використання незмiнної вiдсоткової ставки. Сенс цiєї вiдсоткової ставки полягає у наступному. Припустимо, що борг розмiром L повертається n однаковими внесками протягом k рокiв, причому розмiр

внескiв пiдраховують, виходячи з незмiнної вiдсоткової ставки F на рiк. Тодi загальна плата за кредит, тобто сума вiдсоткiв

за цим кредитом, пiдраховується так:

D = LF k.

Отже, сума платежiв споживача дорiвнюватиме

L + D = L(1 + F k),

а розмiр одного платежу – (L + D)/n. Iншими словами, рiчна не-

змiнна вiдсоткова ставка для позик, що повертаються сталим ануїтетом iз заборгованiстю, дорiвнює сумi вiдсоткових виплат

27

боржника на одиницю позики за один рiк. (Не треба плутати “вiдсотковi виплати” у цiй фразi з розглянутими у попередньому пунктi вiдсотковими складовими платежiв. Зараз йдеться просто про загальну суму, сплачену понад суми позики, роздiлену на суму позики i на кiлькiсть рокiв.)

Звернемося тепер до питання про рiчну фактичну вартiсть позики. Нехай знов позика розмiром L повертається n однаковими внесками m разiв на рiк iз заборгованiстю (тобто термiн позики – n/m рокiв), i рiчна незмiнна вiдсоткова ставка дорiвнює F .

Тодi, як вже було сказано, загальна плата за кредит дорiвнює D = LF n/m, а розмiр одного внеску

L n D	= L	n	+ m .
+		1		F

Рiчна фактична вартiсть кредиту є рiчною ефективною ставкою, яку сплачує боржник, i визначається з рiвняння вартостей

	L = mL	1	+	F	a	(m)	.
		n		m
						n/m|

(Нагадаємо, що за стандартним сталим ануїтетом сплачується одинична сума за рiк; тому для визначення сучасної вартостi сталого ануїтету потрiбно помножити сучасну вартiсть стандартного ануїтету на сумарну рiчну виплату.) Це рiвняння можна переписати, виключивши з нього L:

1 = m	n	+ m an(m/m) |.
	1		F

Використовуючи формулу для ak(m| ), прийдемо до рiвняння m[(1 + i)1/m − 1] = mn + F [1 − (1 + i)−n/m].

Записуючи розвинення виразiв (1 + i)1/m та (1 + i)−n/m у ряд Тейлора i нехтуючи членами з il та F il−1 при l ≥ 3 (F та i мають

однаковий порядок), отримаємо наступну наближену рiвнiсть

−	n		n + 1			n(n + m)	F i −	(n + 1)(n + 3m + 1)	i2 = 0. (1.2.1)
		F +			i +
	m		2m			2m2		6m2

28

Якщо знехтувати членами з i2 та F i, одержимо лiнiйне рiвняння,

розв’язуючи яке, матимемо перше наближення для РФВ:

n

i ≈ 2F n + 1 .

Пiдставляючи це значення замiсть одного зi спiвмножникiв у виразi i2 у формулi 1.2.1, знов одержимо лiнiйне рiвняння, яке

легко розв’язати, отримавши друге наближення для РФВ:

2F

i ≈ n+1 + n−3m+2 F . n 3m

При m = 1, тобто коли платежi вiдбуваються щороку, ця форму-

ла спрощується до

2F

i ≈ n+1 + n−1 F . n 3

Хоч цi формули дають достатньо близьке до РФВ значення, тим не менш, на практицi потрiбно завжди перевiряти, чи пiдходить це значення (воно пiдходить, якщо при закругленнi цiєї ставки до десятих часток вiдсотка у бiльший бiк лiва частина рiвняння вартостей бiльша за праву, а при закругленнi у менший бiк – навпаки) i, якщо воно не пiдходить, використовувати бiльш точнi методи для наближеного розв’язування рiвняння вартостей. У будь-якому разi, маємо дуже хороше перше наближення, яке нерiдко навiть спiвпадає з РФВ.

1.2.3 Завчасне повернення боргу

Нерiдкою є ситуацiя, коли боржник не хоче чекати закiнчення термiну кредитування i хоче повернути завчасно наявний залишок боргу. При цьому, зрозумiло, сума S, яку вiн має повернути, буде меншою за суму O платежiв, якi залишилося спла-

тити, оскiльки вiн не має сплачувати вiдсотки на наявний залишок боргу. Рiзниця O − S мiж цими величинами називається

вiдсотковою компенсацiєю за раннє повернення позики, вона є тiєю частиною загальної плати за кредит, яка приходиться на платежi пiсля завчасного повернення позики.

29

Нехай суму L позичають на n одиниць часу i повертають ста-

лим ануїтетом iз заборгованiстю. Для простоти вважатимемо, що платежi роблять щорiчно. Якщо загальна плата за кредит дорiвнює D, то маємо рiвняння вартостей

L =	L + D	a			,
	n n|

звiдки одержуємо L(n − an|) = Dan| та (подiливши вихiдне рiв-

няння на це)
	L + D	=	D				(1.2.2)
						.
	n		n − a
				n|

Останнє рiвняння є важливим, оскiльки воно пов’язує розмiр одного внеску iз загальною платою за кредит та термiном кредиту.

Припустимо тепер, що боржник бажає завчасно повернути борг одразу пiсля чергового платежу за кредитом, коли залишаються t платежiв. Потрiбно визначити суму, яку вiн має спла-

тити, або, що рiвносильне, суму вiдсоткової компенсацiї. Якщо вiдсотки нараховують за складною схемою, залишок боргу у момент t становить (L + D)at|/n. Сума I вiдсоткової компенсацiї до-

рiвнює, як вже було сказано, частинi загальної плати за кредит, що мiститься в останнiх t платежах, тобто фактично дорiвнює загальнiй платi за залишок боргу пiсля n − t виплат. Тодi з рiв-

няння (1.2.2) маємо
	L + D	=	I			,
	n		t − a
				t|

звiдки

I = t − at| D. n − an|

Iншим шляхом цю рiвнiсть можна обґрунтувати, користуючись графiком виплати боргу для сталого ануїтету (табл. 1.1).

Вiдсоткову компенсацiю дуже часто виражають не в абсолютних, а у вiдносних термiнах, як частину загальної плати за кредит, тобто у термiнах k = I /D. Тодi у випадку, коли вiдсотки

нараховують за складною схемою, ця пропорцiйна частина ста-

новить

k = t − at| . n − an|

30

На практицi зазвичай використовують iншу схему, вiдому як правило 78 (правило сiмдесяти восьми): вона дає близькi значення до схеми складних вiдсоткiв, але є простiшою у використаннi. Ця схема полягає у наступному. Загальну плату за кредит дiлять на 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2 частин i вважають, що у перший рiк виплачується n частин плати, у другий рiк – n − 1 частина, . . . , у n-й рiк – одна частина. Оскiльки загальна плата за кредит становить D, то розмiр однiєї частини дорiвнює 2D/[n(n + 1)]. Таким чином, вiдсоткова складова k-го платежу

вважається рiвною

2D(n − k + 1) . n(n + 1)

Зауважимо, що при застосуваннi такої схеми капiтальнi складовi платежiв боржника утворюють арифметичну прогресiю, а не геометричну, як при застосуваннi схеми складного нарахування вiдсоткiв; до того ж, для такої схеми немає прозорого зв’язку мiж вiдсотковою складовою платежу та залишком боргу пiсля попереднього платежу. Якщо борг повертається щомiсячними платежами протягом року, то кiлькiсть частин загальної плати за кредит дорiвнює 12 · 13/2 = 78, звiдси й походить ця назва.

Повернiмося до визначення вiдсоткової компенсацiї. Нехай боржник бажає повернути борг пiсля щойно зробленого платежу, i залишаються t платежiв. Тодi вiдсоткова компенсацiя за

правилом 78 дорiвнює сумi “вiдсоткових складових” виплат, що залишаються, тобто

I 0		2D		[t + (t − 1) + · · · + 1] =	t(t + 1)
	=					D,
		n(n + 1)			n(n + 1)

або, у вiдносних термiнах, k0D, де

k0 = t(t + 1) . n(n + 1)

Можна переконатися, що k0 < k, тобто вiдсоткова компенса-

цiя, пiдрахована за схемою складного нарахування вiдсоткiв буде завжди бiльшою, нiж за правилом 78. Тому рiчна ефективна вiдсоткова ставка, яку сплачуватиме боржник, буде бiльшою

31

при застосуваннi правила 78. Отже, ця схема є бiльш вигiдною для кредитора. Тим не менш, її не можна назвати несправедливою: завчасне повернення позики завжди вiдбувається за iнiцiативою боржника – воно може бути викликане, скажiмо, загальним падiнням вiдсоткових ставок i бажанням боржника взяти бiльш вигiдну позику. З iншого боку, рiзниця k − k0 не є занадто

великою.

Нерiдко завчасне повернення боргу вiдбувається мiж двома платежами. З цiєї причини, а також для того, щоб урахувати витрати кредитора, пов’язанi iз завчасним поверненням, часто використовують модифiковане правило 78: при пiдрахунку вiдсоткової компенсацiї дату повернення позики вiдстрочують на певний термiн α, тобто пропорцiйну частку вiдсоткової компен-

сацiї вiд загальної плати за кредит пiдраховують як

k00 = (t − α)(t − α + 1) , n(n + 1)

при t < α k00 = 0 (тобто вiдсоткової компенсацiї немає). Типовими значеннями α є 1, 2, 3. Наприклад, у Великiй Британiї застосовується значення α = 1 для кредитiв бiльш нiж на п’ять рокiв i α = 2 для кредитiв на п’ять рокiв i менше.

Вправа 1.2.2. Доведiть, що k0 < k.

1.3Порiвняння iнвестицiйних проектiв

У цiй частинi ми обговоримо застосування теорiї вiдсотка до оцiнювання iнвестицiйних проектiв. Будь-який проект природно описується очiкуваними вiд нього грошовими потоками. Iнодi грошовi потоки є вiдомими, наприклад, коли йдеться про iнвестування у цiннi папери з фiксованим вiдсотком. Проте у бiльшостi випадкiв iснує невизначенiсть щодо грошових потокiв, та потрiбен великий досвiд i ретельний аналiз для їхнього оцiнювання. Часто оцiнювання роблять при рiзних наборах припущень: наприклад, можна взяти нейтральний, песимiстичний та оптимiстичний сценарiї i за допомогою ймовiрнiсних методiв проаналiзувати майбутнi грошовi потоки. Зрозумiло, що то-

32