- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •4.Функции n-переменных.
- •5.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •21.Частные производные высшего порядка.
- •22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •23.Производные высших порядков.
- •26. Экстремум функции многих переменных.
- •27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
- •32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •34. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •35.Функциональные матрици
- •36. Усл.Экстремум
- •37.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •38.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •39.Необход признак сходим ряда.
- •40. Признак сравнения рядов
- •41.Признак Даламбера.
- •42.Признак Коши.
- •43. Интегральный признак Коши
- •44. Признак Лейбница
- •45. Абсолютная сходимость рядов
- •46. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
- •55.Криволинейный интеграл I рода:
- •56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •57.Криволинейный интеграл II рода:
- •59.Случай замкнутого контура:
- •61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
- •62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •63.Признак полоного диф-ла.
- •64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
- •65Криволинейный интеграл 2-го рода
- •66 Двойной интеграл
- •67Сведение
- •68 Условие существования
- •69 Основные св-ва 2ного интеграла
- •70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
- •71. Формула Грина
- •72. Приложения двойных интегралов.
- •74 Определение и свойства тройного интеграла
- •75 Вычисление тройного интеграла.
- •76 Замена переменных в тройном интеграле.
- •77. Многократные интегралы.
- •80.Вычисление площади поверхности
- •85.Скалярное и векторное поля.
- •88.Циркуляция
- •90.Ротор.
- •92.Интеграл Дирихле.
- •93.Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.
- •96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •97.Преобразования Фурье
- •98.Cвойства преобразования Фурье.
40. Признак сравнения рядов
(признак Дирихле) Пусть
1) последовательность монотонна и,2) последовательность сумм,, ограничена. Тогда рядсходится.
(признак Абеля) Пусть
1) последовательность ограничена и монотонна, 2) рядсходится. Тогда рядсходится.
(признак Коши) Пусть для ряда () существует предел. Тогда прирядсходится, а прирядрасходится.
(признак сравнения) Пусть для членов рядов исправедливо неравенство. Тогда:1) если рядсходится, то и рядсходится, 2) если рядрасходится, то и рядрасходится
(интегральный признак Коши) Если неотрицательная интегрируемая функция на промежуткемонотонно убывает, и члены рядаимеют вид, то ряди несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:
41.Признак Даламбера.
Пусть дан ряд ,, если существ:, то данный ряд сход при q<1, и при q>1 расход. Д-во: равенс:, означ чтоN, что при n>N, будет; q-рассмотр 2 случая: 1) q<1 выбертак, чтобытогда:или an+1<() an – при n>N, пологая n=N+1, N+2.. получ an+2<an+1); an+3<an+2() an+1<); an+4<an+3() <an+2(); след начин с n+2 все члены ряда не превосх соотв членов геометр прогрессии, котор сход:<1 поэт сход и данный ряд; 2) пусть q>1 выбертак, чтобы, тогда, an+1>(q-an это означ что начин с номера N+1 все члены ряда возраст в этом случ не выполн необход признак сход и значит ряд расходится.
42.Признак Коши.
Пусть дан ряд ,, если сущ, то данный ряд сход при q<1 и при q>1 расход. Д-во: услов,означ чтоN, что при n>N, будетили отсюда q-
Рассм две ситуации:1) q<1 выбер так чтобы, тогдаи)n, следов каждый член ряда начин с номера N+1 меньше соотв члена сходящ геометр прогрессии, поэтому данный ряд сход; 2) пусть q>1 выбертак, чтобы, тогда,)n, тоесть начин с номера N+1 члены ряда возрастают в этом случ не вып необход признак сход ряда и данный ряд расход.
43. Интегральный признак Коши
Если неотрицательная интегрируемая функция на промежуткемонотонно убывает, и члены рядаимеют вид, то ряди несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:
44. Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:
1) ;2).
Тогда ряд сходится, а его суммане превосходит первого члена, т. е..
45. Абсолютная сходимость рядов
Пусть дан ряд =а1+а2+…, членами которого явл. действительные ч-ла любого знака. Рассм. ряд, составленный из модулей членов данного ряда=а1+а2+…
Теорема. Если ряд сходится, то сходится и ряд.Рядназывается абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членамисходится.Если рядсходится, а рядрасходится, то рядназывается условно сходящимся.
Замечание. Для того, чтобы ряд был абсолютно сходящимся необх. и достаточно, чтобы ряды составленные только из положит. и только из отриц. Его членов были сходящимися.
46. Признаки Дирихле и Абеля
Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто используются признаки Дирихле и Абеля.Теорема (признак Дирихле) Пусть
1) последовательность монотонна и,2) последовательность сумм,, ограничена.
Тогда ряд сходится.
Теорема 6 (признак Абеля) Пусть
1) последовательность ограничена и монотонна,
2) ряд сходится.
Тогда ряд сходится.