70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат

Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x = x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0:если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

71. Формула Грина

Пусть в плоскости задана замкнутая элементарная относительно осиилиобласть, ограниченная замкнутым контуром.

Теорема 1 (формула Грина) Если функции инепрерывны вместе со своими частными производнымиив области, то имеет место формула

где контур обходится в положительном направлении.

Формула Грина справедлива для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей. Формула Грина связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области.

Площадь области , ограниченной замкнутым контуром, с помощью формулы Грина вычисляется по формуле

72. Приложения двойных интегралов.

1. Пусть в D задана z=f(x,y), с непрерывными частными производными первого порядка и график функции z в области D. S - площадь поверхности π.

Тогда .

2. Пусть D - бесконечно тонкая материальная пластинка (некоторая область плоскости (х,у)) с непрерывной плотностью γ(x,y). Тогда

1. Масса всей пластины:

2.Статические моменты.

1. моменты инерции материальной пластины относительно координатных осей.

2.момент инерции материальной пластины относительно начала координат.

74 Определение и свойства тройного интеграла

Сумма

(1)

называется интегральной суммой Римана для функции на множестве, соответствующей разбиениюи выбору точек,.

Тройным интегралом от функции по множествуназывается предел (если он существует) интегральной суммы (1) при:

подынтегральная функция называется интегрируемой по замкнутой области, множество– областью интегрирования x,y,z– переменными интегрирования, dv– элементом объема.

Не ограничивая общности, можно считать, чтo dv=dxdydz. Поэтому можно записать:

.Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости) Если функция f(x;y;z) интегрируема в замкнутой области Q то она ограничена в этой области.

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости) Если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области, Q то она интегрируема в ней.

Теорема 3 (критерий интегрируемости Дарбу) Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в замкнутой области , необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлось такое, что для любого разбиенияс мелкостьювыполнялось неравенство.

Свойства тройного интеграла. Для тройного интеграла справедливы следующие свойства:

– , где – объем области;

– (линейность) если и— произвольные постоянные числа, функциииинтегрируемы в области, то функциятоже интегрируема ви справедливо равенство:

;

– (аддитивность) если область является объединением областейи, не имеющих общих внутренних точек, на каждом из которых функцияинтегрируема, тотакже интегрируема наи справедлива формула:

–(монотонность) если в области имеет место неравенство, то

;

– если функция непрерывна в области, объем которой равен, то

,

где и– соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции на множестве.

– (теорема о среднем) если функция непрерывна в области, объем которой равен, то в этой области существует такая точка, что

.