85.Скалярное и векторное поля.

Стационарным скалярным полем

называется пространство (или его

часть – область ), в каждой точке

которого определена

скалярная функция

Функция независимо от

ее физического смысла называется

потенциалом скалярного поля.

Скалярными полями являются:

– поле температур тела;

– поле плотности заряда на поверхности или в среде,

– поле плотности масс тела.

Стационарным векторным полем называется

пространство (или его часть – область

), в каждой точке которого определена

векторная функция

В пространстве векторная функция

, , определяется

проекциями ,,

вектора соответственно на коорди-

натные оси ,,:

.

Будем считать, что ,,

являются непрерывно дифферен-

цируемыми функциями координат точки .

Тогда векторная функция называется

непрерывно дифференцируемой в области .

Векторными полями являются:

– электрическое поле системы электрических

зарядов, характеризующееся в каждой

точке вектором напряженности;

– магнитное поле, создаваемое электрическим

током и характеризующееся в каждой

точке вектором магнитной индукции;

– поле тяготения, создаваемое системой

масс, характеризующееся в каждой точке

вектором силы тяготения;

– поле скоростей потока жидкостей,

описываемое в каждой точке вектором скорости.

№86 Градиент

Пусть задано скалярное поле U(M)=U(x,y,z).

Вектор =++наз. Градиентом величины U в соответств. точке и обознач-ся

=, то при ходим к определению:

Градиентом скаляр-й величины U в данной точке M наз-ся вектор, который по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.

Таким образом, скаляр-е поле U(M) порождает векторное поле .

Гамельтон ввёл в рассмотрение символический вектор с проекциями

Таким.обр.=U

Свойства градиента

1)

2) однородность относительно умножения на константу

3)

4)

№87 Поток вектора через поверхность

Пусть задано некоторое векторное поле (M). Возьмём поверхность S и выберем определённую её сторону . Пусть- направл-е cos-сы соответствующие направлению нормали. Тогда поверх-й инт-л :

dS=ds

наз-ся потоком вектора четез поверх-ть S в указанном направлении.

88.Циркуляция

векторного поля вдоль замкнутой

ориентированной кривой называется число,

равное значению криволинейного интеграла 1-го рода:

C=

Циркуляция обладает всеми свойствами

криволинейного интеграла 1-го рода.

Поместим в поток круглую пластинку с лопастями,

расположенными по ее ободу – окружности

Физический смысл циркуляции

Абсолютная величина циркуляции определяет

угловую скорость вращения пластинки

вокруг оси, проходящей через центр окружности

. Знак циркуляции показывает, в какую сторону

осуществляется вращение относительно

ориентации линии .

№89 Дивиргенция(расходимость)

Пусть дано вект. поле . Тело V ограничено замкнутой поверх-тью S. Пустьвнешняя нормаль поверх-ти. По формуле Остроградского преобразуем поток векторачерез поверх-ть S., т.е.

dS =dS=)dxdydz

Стоящее под знаком тройного интеграла выражение наз. дивиргенцией (расходимостью) вект. поля в соответств. точке и обознач-ся: div=. Учитывая это обознач-е ф-лу Остроград-го можно запис. виде :dS =dV. Дивиргенция – величина скалярная. С помощью опер-ра гамельтона получим: div=.