- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •4.Функции n-переменных.
- •5.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •21.Частные производные высшего порядка.
- •22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •23.Производные высших порядков.
- •26. Экстремум функции многих переменных.
- •27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
- •32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •34. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •35.Функциональные матрици
- •36. Усл.Экстремум
- •37.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •38.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •39.Необход признак сходим ряда.
- •40. Признак сравнения рядов
- •41.Признак Даламбера.
- •42.Признак Коши.
- •43. Интегральный признак Коши
- •44. Признак Лейбница
- •45. Абсолютная сходимость рядов
- •46. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
- •55.Криволинейный интеграл I рода:
- •56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •57.Криволинейный интеграл II рода:
- •59.Случай замкнутого контура:
- •61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
- •62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •63.Признак полоного диф-ла.
- •64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
- •65Криволинейный интеграл 2-го рода
- •66 Двойной интеграл
- •67Сведение
- •68 Условие существования
- •69 Основные св-ва 2ного интеграла
- •70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
- •71. Формула Грина
- •72. Приложения двойных интегралов.
- •74 Определение и свойства тройного интеграла
- •75 Вычисление тройного интеграла.
- •76 Замена переменных в тройном интеграле.
- •77. Многократные интегралы.
- •80.Вычисление площади поверхности
- •85.Скалярное и векторное поля.
- •88.Циркуляция
- •90.Ротор.
- •92.Интеграл Дирихле.
- •93.Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.
- •96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •97.Преобразования Фурье
- •98.Cвойства преобразования Фурье.
16. Дифференцирование сложной ф-ии
Пусть дана ф-яи
где (1)
ТЕОРЕМА
Пусть ф-ия (1) дифференцируема в некоторой точке . Пусть ф-иядифференцируема в соответствующей точке, где. Тогда сложная ф-ия, гдеопределены соотношениями (1), дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной ф-ии в точке М определяются формулами:
…
где все частные производные берутся в точке N, а все частные производныеберутся в точке М, зависящей от t.
ЗАМЕЧАНИЕ
В частном случае, когда ф-ии (1) зависят только от одного аргумента t , получим сложную ф-ию одной переменной t,т.е. , где(i=1,2,…,n). В этом случае производная этой сложной ф-ии определяется формулой
17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ф-ия , заданная на множ-ве {M} наз однородной ф-ей степени Р на этом множ-ве, если для каждой т.множ-ва {M} и для каждого числа t, для котороговыполняется рав-во:
Пример:
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА(ОБ ОДНОРОДНОЙ Ф-ИИ)
Если явл в некоторой области М дифференцируемой однородной ф-ей степени Р, то в каждой точкеобласти {M} справедливо рав-во:
.
18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
Пусть дана ф-ия . Если ф-иядиф-ема и аргументыявл независимыми переменными, то дифференциал этой ф-ии будет
Предположим, что это соотношение имеет место и в том случае, когда аргументы явл диф-ыми ф-ями переменных,т.е.
…
Указанные свойства первого дифференциала обычно наз инвариантностью его первой формы. Пусть ф-ия дифференцируема в точке, а ф-ии(i=1,2,…,n) дифференцируемы в точке Апричем. В этом случае ф-июможно рассматривать как сложную ф-ию независимых переменных, которая в силу теоремы о дифференцируемости сложной ф-ии будет диф-ема в точке А. поэтому дифференциал duэтой сложной ф-ии можно представить в виде
где (i=1,2,…,k)
Представляя эти соотношения в выражении для du и собирая коэф-ты при получим
В этом выражении (i=1,2,…,n)
Поэтому получаем
т.е. инвариантность формы первого дифференциала установлена.
Свойства инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила для дифференциалов. Пусть дифференцируемые ф-ии каких-либо переменных, тогда:
1)
2))
3)
4)
19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
В случае двух переменных условие дифференцируемости можно продемонстрировать геометрически.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Плоскость П, проходящая через точку наз касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точкуи любую точкуповерхности стремится к 0, когда точкастремится к. Если в точкесущ касательная плоскость, то касательная в точкек любой кривой, расположенной на поверхности и проходящей через точкулежит в указанной плоскости. Покажем, что из условия диф-сти ф-иив точкевытекает существование касательной плоскости к графику этой ф-ии в точке. Пусть,,, где. Условие дифференцируемости ф-ииимеет вид, где A и В постоянные равные частным производнымив точке.
, B,- б.м. при,ф-ии. Рассм след ур-е. Из аналитической геометрии известно, что это ур-е определяет в декартовой системе коор-т некоторую плоскость, проходящую через точкуи имеющую нормальный вектор. Покажем, что эта плоскость явл касательной плоскостью в точкеповерхности. Действительно, эта плоскость проходит через точкуповерхности. Уголмежду нормальным вектороми любой секущей, когда точкаповерхности стремиться к точке. Для этого найдем косинус
Найдем коор-ты вектора . Еесли точка, то. Поэтому. Поэтому из условия дифференцируемости ф-ииследует. Поэтому, когда
Т.о. дифференцируемость ф-ии в точкес геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику ф-иив точке. Т.к. коэф-ты А и В равны соотв-но частным производным ф-ии, вычисляемым в точке, то ур-е касательной плоскости может быть записана в виде+
Нормальный вектор наз нормалью к поверхностив точке. Ур-я нормали имеют вид.