47.Функциональные последовательности и ряды.

Пусть на множестве задана последовательность функций

,принимающих числовые значения в точках .

Последовательность называется поточечно сходящейся к функциина множестве, если при любом фиксированномчисловая последовательностьсходится к, т. е.:

: .

Поточечная сходимость функциональной последовательности обозначается ,.

Пусть ,, …,, … – последовательность функций, определенных на некотором множестве.

Ряд,членами которого являются функции, называется функциональным.

Если ряд сходится, тоназывается точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Для ряда конечная сумманазывается-й частичной суммой и обозначается, а рядназывается-м остатком и обозначается.Рядназывается сходящимся поточечно к функциина множестве, если последовательность его частичных суммсходится кна, т. е..

Функция называется суммой ряда.

Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве, если в каждой точке этого множества сходится ряд.

48.Равномерная сходимость функциональных рядов.

Функцион послед наз равномерно сход к ф-ции f(x) на мн-ве Х еслиN=N() n>N и всех хХ выполн нерав:. Рассмотр сход на мн-ве Х функц ряд:для котор Sn(x)=+un(x), тогда S(x)=. Опред: функцион ряд наз равномерн сходящ на некотор мн-ве, еслиравномерн сход на этом мн-ве приним во вниман определ равном сход функц послед получим след опред равном сход функцион ряда: функцион рядназ равном сход на мн-ве Х еслиN=N() n>N и всех хХ выполн нерав:. Теор(кретер равном сходим функцион ряда): функцион рядравном сход на мн-ве Х тогда и только тогда когдаN=N() n>N и всех хХ выполн. Теор Веерштрасса(достат признак равномер сход функцион ряда): если члены функцион рядаопредел на мн-ве Х и по модулю непревосх соотв членовсходящ числов ряда с полож членами:

0, тоесть , то этот функцион ряд равном сход на мн-ве Х. Д-во: еслисход то в соотв с кретер КошиN=N() n>N такой что, n>N илюбого натур p отсюда след что любые n>N и всех х:, тоесть в соотв с кретерием равном сходим данный функцион ряд сход равном на мн-ве Х.

49.Свойства равном сходящ функции рядов.

Теор1:если ряд сход равном на мн-ве Х на котором его членынепрер то сумма ряда S(x) явл непрер ф-цией на мн-ве Х. Д-во: зафиксир произв знач х0Х, пусть Sn(x) n-ая частичн сумма данного ряда, rn(x) –остаток ряда после n-го члена, тогда S(x)= Sn(x)+ rn(x),=+ rn(x)- rn(x0);поскол ф-циинепрер на мн-ве Х то и любое х конечн сумма Sn(x) так же непрер на этом мн-ве. Задавможно указ, что прибудет выпол нерав:т.к. ряд сход равном тоN=N() n>N и всех хХ выполн нерав:,,это означ что ф-ция S(x) непрер в точке х0. Теор: пусть дан функцион рядесли ф-циинепрер наи данный ряд сход равном натоесть=S(x), то ряд получ интегриров членов данного ряда, так же равном сход напричем. Д-во: пусть=; rn(x)=пустьт.к. ряд сход равном тотогда:. Теор: пусть дан рядпусть ф-цииопредел на отрезимеют на нем непрер u’n(x), если наданный ряд сход равномерн и равном сход ряд составл из произв, то S(x) имеет производн: S’(x)=это равенство означ, что равномерно сходящ ряд можно почленно дифференцировать.