23.Производные высших порядков.

Пусть дана сложная функция U=f(x1,x2,…,xn),где

X1=γ1(t1…tk)

X2= γ2( t1…tk)

Xn= γn( t1…tk)

Относительно ф-ции f, γ1… γn предположим,что они имеют непрерывные частные производные по всем перемен-м до порядка m включительно.

Теорема: Кажд. Произв. Порядка m сложной ф-ции U сущ-т и составляется из произв-х ф-ции f(x1,x2,…,xn) и ф-ций γ1… γn по аргументу t1…tk порядка, не выше m путём умножений и сложений.

24.Дифференциалы высших порядков.

Пусть дана ф-ция U=f(x1,x2,…,xn) и непрерывные частн. Произв. 1ого порядка, диф-ал этой функции dU=

Предположим, что выражение стоящее в правой части этого рав-ва представ. Собой ф-цию аргументов x1…xn диф-я в дан. Т. M(x1…xn). Для этого достаточно потребов., чтоб ф-ция U была 2-ды диф. В т. M, а аргументы x1…xn явл. Либо независим переменными, либо 2-ды диф-мы ф-циями аргументов t1…tn.

При эт. Предположениях можно говорить о полном диф-ле от d(dU) к-ый наз. Диф-лом 2ого порядка от ф-ции U и обознач. d(dU)=d2U. Аналогично определяются и диф-лф порядака d3U и т.д

25.Формула Тейлора для ф-ции нескольких переменных Теорема:

Пусть k0 целое число, ф-ции U=f(x1,x2,…,xn) задана в нек-ой окрестности т. М(x10…xn0) и к+1 раз диф-ма в указ. Окр-ти , тогда полное приращениеM1)-f’(M0) эт. Ф-ция в т. Ь может быть представлена в след. Виде

Где N некоторая т. Указан. Окрестн-ти, зависящая от т.M(x1,x2,…,xn), а диф-лы dxi переменных xi, где i=1,2…, входящие в выражение ,

Равны

Эта формула Тэйлора для ф-ции U=f(x1,x2,…,xn) с центром разложения в т. M0, а последний член формулы наз-ся остаточным членом в формуле Лагранджа

26. Экстремум функции многих переменных.

Опр. Пусть f(x) определена на X  Rn. Точка x0Х

называется точкой строгого максимума (строгого минимума), если xU(x0)X, xx0 вып f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)). Если стоит знак ≤(≥), то нестрогий максимум (нестрогий минимум), т. х0 называется

экстремумом.. Th (необходимое условие

 экстремума) Пусть f(x) x=(x1,…,xn) опр. в окр-ти точки x0. Если x0 явл. точкой экстремума f(x) и если в ней существует f/xj(x0), то f/xj(x0)=0 Док-во: фиксируются все координаты (1x0,..,j-1x0, х, j+1x0,…,nx0) кроме одной xj. Если в т. х=х0 ф-ия имеет экстремум,то ƒ\х(х0) = 0 , чтд.Следствие: если f(x) диф-ма

в точке x0, то dƒ=0. Док-во dƒ= ƒ\x1*dx1 +ƒ\x2*dx2 +…+ƒ\xn*dxn =0.Th (дост. условие  экстремума)

Пусть f(x) опр. и имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка в некоторой окрестности точки x0. Пусть x0 является стационарной точкой f.

(точка называется стационарной, если все частные производные в точке x0 равны 0) Если второй диф-л ф-ии f положительно определен в точке x0, то x0 – точка строгого минимума, если отрицательно определен – строгого максимума. Если в (x0) знаквторого дифференциала определен, то в точке нет ни максимума ни минимума.(экстремума) Коментарий d2f(M0)= 2f/x2(M0)dx2+ 22f/xy(M0)dxdy+ 2f/y2(M0)dy2, где M0(x0,y0). d2f=Adx2+2Bdxdy+Cdy2>0 ,

если f”(x0)>0 – min; f”(x0)<0 – max. Пр d2f=dx2+2dxdy+dy2=(dx+dy)2 ≥0

– непоняd2f=dx2+2dxdy+2dy2=(dx+dy)2+dy2>0 – положительно определен. Критерий Сильвестра d2f=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2

*||fxx fxy fxy fyy||* Если при fxx>0 (*) >0, то dƒ –полож. опр., если при fxx<0 (*) >0,то отриц. опр-н. (Если =0, то теорема и

критерий не действуютю