61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода

Пусть:1) кусочно-гладкая кривая ,лежит в плоскостии задана уравнениями,,гдеинепрерывно дифференцируемые функциина отрезке,,причем,;2) функцииикусочно-непрерывны вдоль кривой;

3) вектор ,единичный касательный векторк кривойв точке,

где иуглы, составляемыес осями координат.Тогда имеет место равенство:

.

Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода

Для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями

, ,,

где ,инепрерывно

дифференцируемые функции на

отрезке ,,

, ,

криволинейный интеграл 2-го рода вводится аналогично плоскому случаю.При этом формула, выражающая связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода имеет

вид:

где ,

единичный касательный вектор

к кривой в точке,

, ,углы, составляемыес

положительными направлениями осей координат, причем направление вектора соответствует

направлению движения от точки к точке.

62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Плоская область  наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области  тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.

1. Для  замкнутой кусочногладкой кривой L в  значение криволинейного интеграла:

2. Для все т. А и т. В области  значение интеграла

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в .

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в  существует ф-ция E=(х,у) опред в  такая, что dE = Pdx+Pdy

4. В области 

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.

63.Признак полоного диф-ла.

В рассм. обл. Д сущ. и непрерывны частные производные

И, т.к. Pdx+Qdy=dФ,,, то,

Т.к. произв-ая инепрерывны, то. Это соотн.показывает, что для того чтобы Pdx+Qdy было полным

диф-ом необх., чтобы

64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную

Предположим что выражение

представляет собой полный дифференциал

от некоторой однозначной ф-ции Ф(x,y),т.е

. .Рассм. какую-нибудь

кусочно-гладкую кривую AB соединяющую

точки .Пусть

параметрические уравнения кривой K будут:

и при изменении

кривая описывается в направлении

от точки A к точке B,тогда.

Вычисляя криволин. Интеграл получим:

По правилу дифференцирования сложной

функции можно записать:

.Таким образом .

65Криволинейный интеграл 2-го рода

по замкнутому контуру

Если кривая гладкая, а функцииинепрерывны

на кривой , то криволинейный интеграл 2-го рода существует.

Пусть – замкнутая кривая, т. е. точкасовпадает с точкой.

Тогда для нее можно определить два направления обхода от

точки к точке. Направление обхода замкнутой кривой

называется положительным, если область, лежащая внутри

этого контура остается слева по отношению к точке, совершающей

обход (рисунок 1. 3, а). Противоположное направление

называется отрицательным

а	б)
Положительно (а) и отрицательно (б) ориентированный контур

Интеграл по замкнутому контуру

в положительном направлении обозначается как

.