75 Вычисление тройного интеграла.

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных.

Пусть функция определена на измеримом множестве

,

где и– непрерывные функции в области. И пусть каждая прямая, параллельная оси, пересекает границу областине более чем в двух точках (рисунок 5. 1), т. е. пространственная областьявляется элементарной относительно оси.

Теорема 4 Пусть 1) существует тройной интеграл

;

2) существует определенный интеграл

(при постоянных и).

Тогда существует двойной интеграл

и справедливо равенство:

. (5.3)

Данная формула позволяет свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной (при постоянныхи) и внешнего двойного интеграла по области.

Выражение

(5.4)

представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функции и области , по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы о сведении двойного интеграла к повторному, то, переходя от двойного интегралак повторному интегралу, получаем

Если пространственная область не является элементарной, то ее необходимо разбить на конечное число элементарных областей, к которым можно применить формулу (5.5).

Порядок интегрирования в формуле при определенных условиях может быть иным, т. е. переменные x,y,z можно менять местами.

Пусть – прямоугольный параллелепипед

,

–непрерывная в функция. Тогда:

.

Если

и область – прямоугольный параллелепипед, то

. (5.6)

76 Замена переменных в тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos, y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r?  , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,

y=r sinsin, z=rcos.

(0<=r<=+, 0<= <= 2,

0<= <=2)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r2sin.

Итак, в сферических координатах сие будет:

77. Многократные интегралы.

Подобно тому, как при определении определённого интеграла, II-го интеграла использовались понятие длины отрезка S плоской фигуры для II-го интеграла, объёма пространственного тела III-го интеграла, в основе определения n-кратного интеграла лежит понятие объёма n-мерной области.

Для простейшей n-мерной области – n-го прямоугольного параллелепипеда[a₁,b₁; a₂,b₂; …an,bn] объёмом называется произведение его измерений

(b₁-a₁)(b₂-a₂)…(bn-an).

Тогда под объёмом n-мерного тела будем понимать ∑ объёмов таких n-мерных прямоугольных параллелепипедов, на которые разбивается данное тело.

Пусть в области V(0) задана функция n-переменных

F(x₁,x₂…xn) тогда разлагая эту область на элементарные части и составляя интегральную сумму придём к понятию n-кратного интеграла I=∫∫∫∫∫f(x₁,x₂…xn)dV

Вычисление такого интеграла сводится к вычислению интегралов меньшей кратности для областей характер неравенствами

В n-кратном интеграле также можно производить замену переменных. Пусть даны 2 n-мерные области Д пространства х1,х2…… и область ζ1, ζ2….. каждая из которых ограничена непрер поверхностью. Пусть между этими областями установлено взаимно однозначное соответствие с помощью формул=х1(ζ1, ζ2…..)

Эта формула аналогична формулам замены переменных в двойном и тройном интегралах.

78 Площадь поверхности. Первая квадратичная форма

Теорема: Пусть функция f определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке[a,b]. Тогда площадь S множ-ва

G={(x,y): a<x<b, 0<y<f(x)} выражается формулой:

S=∫ab f(x)dx

Множество G явл открытым ограниченным множеством.

Его ограниченность следует из того, что функция f, будучи непрерывной на отрезке [а,b], ограничена на нем

Граница множества G состоит из объединения графика функции f, отрезка [a,b] оси Ох и отрезков [0,f(a)] и [0,f(b)] соответственно прямых х=а и х=b. Множество G обычно называется криволинейной трапецией, поражденной графиком функции f.Если f(x) конечное число раз меняет знак но отрезке [a,b]

Интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положитлен на тех отрезках, где f(x)≥0, и отрицателен там, где f(x)≤0.

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Ограниченной кривой, заданной уравнениями в параметрической форме: х=φ (t) , y=ψ(t) (1)

где α≤ t ≤ β и φ(α)=a , φ(β)=b. Пусть уравнения (1) определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке [a,b] и, следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

S=∫ab f(x)dx= ∫ab y dx.

Сделаем замену переменной в этом интеграле

x=φ(t) ; dx=φ/ (t)dt. На основании уравнений (1) получим

y=f(x)=f[φ(t)]=ψ(t). Следовательно, S=∫ab ψ (t) φ/ (t) dt

Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.

79. Площадь криволинейной поверхности

Рассмотрим незамкнутую гладкую поверхность S ограниченную кусочно-гладким контуром L. Требование гладкости означает, что ф-ция которая задает поверхность непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой ограниченной области. Разложим поверхность с помощью сети кусочно-гладких кривых на части S1,S2,…,Sn т.е. в каждой части Si произвольно выберем по точке Mi. Спроектируем ортоганально элементы Si на касательную плоскость к поверхности в т Мi, получим проекции: плоскую фигуру Ti с площадью . Назовем площадью поверхности S предел суммы этих площадей-х при условии, что диаметры всех элементов Sià0. Пусть , тогда площадь поверхностиповерхность, имеющая площадь называется квадрируемой