2014_ivleva

эквивалентна9

каждой такой части выберем ненулевой элемент (который с гарантией существует в силу определения ступенчатой матрицы). Конечно, все эти выбранные элементы находятся в разных столбцах. Эти столбцы и соответствуют переменным, которые мы примем за базисные. Остальные переменные свободные. Заметим, что если свободных переменных нет, то система линейных уравнений определенная.

III этап (нахождение общего решения). Называется также обратный ход метода Гаусса. Цель этого этапа выразить все базисные переменные только через свободные. Для этого мы должны преобразовать расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями строк к такому виду, в котором каждый столбец, соответствующий базисной переменной, содержит только один ненулевой элемент (который мы выделяли на предыдущем этапе), причем этот элемент равен 1. Это преобразование соответствует исключению базисных переменных изверхних уравнений . Третий этап носит название обратный ход , потому что требуемые преобразования удобно проводить снизу вверх: сна- чала исключить последнюю базисную переменную из всех строк, кроме последней ненулевой, потом перейти к следующей снизу, и т.д. Проведя все необходимые преобразования, запишем систему линейных уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице. Заметим, что эта система исходной, и в каждое уравнение входит ровно одна базисная переменная, причем с коэффициентом 1, что очень облег- чает выражение базисных переменных через свободные.

Заметим, что последний этап можно также проводить и не в матричном виде, а непосредственно преобразуя систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатому виду расширенной матрицы системы. Обратите внимание, что в последнее уравнение этой системы входит только одна базисная переменная и ее легко выразить через свободные. Это выражение подставим в предпоследнее уравнение и из него выразим следующую базисную переменную, и так далее, снизу вверх. В результате этих выражений также получим требуемое общее решение системы.

9Т. е. имеет то же самое множество решений.

91

Метод Гаусса представляет собой самый мощный и удобный инструмент для решения систем линейных уравнений, изучаемый в этом курсе10 . К его несомненным достоинствам можно отнести универсальность, а также вычислительную простоту. Так что в дальнейшем при столкновении с необходимостью решить систему линейных уравнений, авторы, безусловно, рекомендуют использовать метод Гаусса (если, конечно, явно не оговорена необходимость использовать другой метод).

Пример 1. Решить систему уравнений

>

8		x1 + 2x2 + 3x3			+ 4x4	=	30;
>		x1 + 2x2	3x3		+ 4x4	=	10;
>
>
>
>		x2		x3 + x4		=	3;
>
<						= 10:
>		x1 + x2 + x3 + x4

>

>

>

>

:

Решение. Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенча- тому виду:

0	1 2 3 4							30 1 0 1 2 3 4									30 1 0 1 2 3 4									30 1
		1 2			3 4			10				0 4 0 8					40			0 1 0 2						10
B										C B								C B									C
					1 1			3				0 1			1 1		3			0 1			1 1			3
B	0 1									C	B							C	B								C
B										C	B							C	B								C
B								10		C B		0 3			2 5		20	C B		0 3			2 5			20	C
B	1 1 1 1									C B								C B									C
B										C	B							C	B								C
@										A @								A @									A
0 1 0 3					0			10			1 0 1 0 3 0						10 1 0			1 0 3 0						10 1
	0 1 0				2			10					0 1 0 2				10			0 1 0 2						10
B											C	B						C	B								C
B	0 0			1		1			7		C B		0 0 1 1				7	C	B	0	0 1 1					7	C
B											C	B						C	B								C
B	0 0					1					C B		0 0 2 1				10	C B								4	C
B				2					10		C B							C B		0 0		0		1			C
B											C B							C B									C
@											A @							A @								A

0 1 0 3 0

10 1

0 1 0 0 0

1 1 8 x1 = 1

0 1 0 0

2

0 1 0 0

2

>

x2 = 2

;

>

B

C

B

>

C >

B 0 0 1 0

3

C B 0 0 1 0

3

>

C > x3 = 3

B

C

B

C

<

B

4

C

B

4

C

x4 = 4

B 0 0 0 1

C

B 0 0 0 1

C

>

B

C

B

C >

@

A

@

>

A >

>

>

:

"

ступенчатый вид

10На самом деле этот метод, как и многие другие, имеет ограниченную область применения. При решении очень больших систем (когда количество переменных исчисляется сотнями) с помощью компьютера применение метода Гаусса может дать существенную ошибку, возникающую из-за приближенных вычислений с использованием чисел с плавающей запятой. Но этот факт следует, скорее, отнести к недостатку компьютера, а не метода Гаусса.

92

Пример 2. Решить систему уравнений

8	x1 x2 + x3 x4		= 4;
>	x1 + x2 + 2x3 + 3x4		= 8;
>
>
>
>	2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4		= 20;
>
<
>	2x1	4x2 + x3 6x4	= 4:
>
>
>
>
>
:

Решение

	0 1 1 1 1				4	1			0 1 1 1 1								4		1
		1 1 2 3			8					0 2			1		4		4
A = B							C		B										C
	B	2 4 5 10			20		C	B		0 6			3		12		12		C
	B						C		B										C
	B						C		B										C
	B	2 4 1	6		4		C B			0	8			4	16			16	C
	B						C		B										C
@							A @												A
				0		1			1	1		4	1
					1
					0	2			1	4		4
				B								0	C	:
			B		0		0		0	0			C
				B									C
				B									C
				B	0	0			0	0		0	C
				B									C
				@									A

Два последних уравнения можно отбросить, поскольку они являются линейными комбинациями первых двух:

0 1	1 1	1		4	1	0 1	0	3=2	1		6 1	:
0	2 1	4		4		0	1	1=2	2		2
@					A	@					A

Последней матрице соответствует система:

8	x1 +	3x3 + x4		= 6; базисные неизвестные x1; x2;
>		2
>
>	1				свободные неизвестные	x3; x4	:
>
<
> x2 + 2x3 + 2x4				= 2;

>

>

>

:

В этой системе легко выразить базисные переменные через свободные и записать общее решение

	8 x1	=	6		3	x3		x4;
Ответ.					2				x3; x4 произвольные числа.
	>
	>				1
	>
	>
	<
	> x2 =		2 2x3 2x4;

>

>

>

:

Ответ можно также записать в параметрическом виде. Для этого каж-

93

дую свободную переменную заменим своим параметром 11 :

8 x1 =		6 3=2c1 c2;
> x2	=	2 1=2c1	2c2	;
>				ãäå	c1	; c2 произвольные числа.
>
>
>	=	c1;
> x3
<
> x4	= c2;

>

>

>

>

>

:

6.1. Задачи

1. Решите системы линейных уравнений:

à)	8	2x1 x2 x3	= 4;
	>	3x1 + 4x2 2x3	=	11;
	>
	>
	<
	>	3x1 2x2 + 4x3	=	11;
	>
	>
	:
â)	8	3x1 4x2 + x3 = 5;
	>	2x1 + 3x2 + x3	= 1;
	>
	>
	<
	>	2x1 + x2 + 3x3	=	11;
	>

>

:

8

>

> x1 + x2 + 2x3

>

á) < 2x1 x2 + 2x3

>

>

:

> 4x1 + x2 + 4x3

8

>

> x1 + 2x2 + 4x3

>

ã) < 5x1 + x2 + 2x3

>

>

> 3x x + x

: 1 2 3

=1;

=4;

=2;

=31;

=29;

=10:

2. Исследуйте системы уравнений на совместность и определенность.

Найдите решения, если системы совместны:

à)

8

5x 6y + z = 4;

8

2x 3y + z = 2;

>

3x 5y 2z = 3; á)

>

3x 5y + 5z = 3;

>

>

>

>

<

<

>

2x y + 3z = 5;

>

5x 8y + 6z = 5;

>

>

> x

1

x

2

x

3

= 4;

>

4x

1

3x

2

10x

3

= 1;

:

:

8

â)

8

ã)

>

3x1

2x2 + 2x3 = 7;

> x1 + 3x2 + 5x3

= 1;

>

>

>

>

<

<

>

5x1 4x2

= 2;

>

3x1 + 6x2 + 9x3

= 2;

>

>

>

6x

1

23x

2

+ 29x

3

= 4;

>

:

:

ä)

8

= 7;

>

7x1 + 3x2 + 4x3

>

>

<

5x1 + 2x2 + 3x3

= 5:

3.

При каком значении

система уравнений

>

>

>

:

8 x1 + x2 + x3 = 1;

>

>

>

<

x1 + x2 + x3 = 1;

>

>

:

> x1 + x2 + x3 = 1 :

а) имеет единственное решение; б) имеет бесконечное множество решений; в) несовместна?

11На самом деле каждой свободной переменной ставится в соответствие некий параметр, т. е. свободная переменная xi заменяется на ici; i 6= 0. Ìû

взяли i = 1, но можно взять и другие значения, чтобы избавиться от дробей в записи общего решения. Например, в данном случае удобно взять x3 = 2c1.

94

4. Исследуйте и решите системы уравнений методом Гаусса:

8

2x1 + x2 + x3

= 2;

> x1 + 2x2

x3

= 7;

à)

>

>

>

>

=

7;

> x1 + x2 + 5x3

<

2x1 + 3x2

3x3 =

>

14;

>

>

>

>

>

:

8 x1 + x2 3x3

= 1;

>

2x1 + x2

2x3 = 1;

á)

>

>

>

>

= 3;

> x1 + x2 + x3

<

> x1 + 2x2

3x3 = 1;

>

>

>

>

>

:

â)

8 x1 2x2 + x3 + x4

=

4;

>

3x1 + x2

x3 + 2x4 =

2;

>

>

<

> x1 + 5x2 3x3

=

10;

>

>

:

8

2x1 + 5x2 8x3 = 8;

>

4x1 + 3x2

9x3 = 9;

ã)

>

>

>

>

2x1 + 3x2

5x3 = 7;

>

<

7x3

> x1 + 8x2

=

12;

>

>

>

>

>

:

ä)

8

2x1 + x2 x3

= 1;

> x1

3x2 + 4x3

= 2;

>

>

<

>

11x1 12x2 + 17x3 = 3;

>

>

:

å)

8

2x1 x2 + 3x3 7x4

= 5;

>

6x1

3x2 + x3

4x4

= 7;

>

>

<

>

4x1 2x2 + 14x3 31x4 = 18;

>

>

:

æ)

8

2x1 + 7x2 + 3x3 + x4

= 6;

>

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4;

>

>

<

>

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4

= 2;

>

>

:

ç)

8

2x1 3x2 + 5x3 + 7x4

= 1;

>

4x1

6x2 + 2x3 + 3x4

= 2;

>

>

<

>

2x1 3x2 11x3 15x4 = 1;

>

>

:

è)

8

3x1 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2;

>

7x1

4x2 + x3 + 3x4

= 5;

>

>

<

>

5x1 + 7x2 4x3 6x4 = 3;

>

>

:

8 x1 2x2 + x3 x4

= 5;

>

2x1 + x2

4x3

2x4 = 7;

ê)

>

>

>

>

2x3 + 3x3 + x4

= 9;

> x1

<

3x1 + x2

>

x3 + 3x4

= 0:

>

>

>

>

>

:

95

6.2.Однородные системы линейных уравнений

Система AX = 0 (здесь, конечно, 0 нулевая матрица, являющаяся вектор-столбцом), или

8	a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0;
>	a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0;
>

>			(6.2)
>
>
>
<	1 + am	2x2 + + amnxn =
> am1x			0;
>
>
>

>

>

:

называется однородной. Такая система всегда совместна, поскольку имеет тривиальное решение x1 = x2 = : : : = xn = 012 . Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы система была неопределенной, т. е. rA < n, ãäå rA ранг матрицы системы. В частном случае, когда m = n, критерием нетривиальной совместности системы

(6.2) служит условие detA = 0.

Заметим, что множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным подпространством пространства Rn (ñì. ñ.

102).

Пусть r = rA < n. Система (6.2) имеет r базисных и (n r) свободных переменных.

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы на-

зывается набор из (n r) линейно независимых решений этой системы. ФСР составляет базис пространства решений системы (6.2).

Обозначим ФСР системы (6.2) через E = (E1; : : : ; En r). Ее удобно находить следующим образом. Пусть базисные переменные x1; : : : ; xr, à xr+1; : : : ; xn свободные. Присвоив свободным переменным значения

xr+1 = 1; xr+2 = : : : = xn = 0, найдем соответствующие значения базисных переменных и таким образом получим

01

		x11	C
	B .
	B		C
	B xr1		C
	B		C
E1	B		C
	= B	1	C	:
	B		C
	B		C
	B		C

BC

B C

B 0 C

B C

B . C

B C

B C

@A

0

12Вывод о совместности системы можно сделать также, опираясь на теорему Кронекера Капелли. Действительно, добавление к матрице системы нулевого столбца свободных членов не может изменить ранг матрицы.

96

Подставив вместо свободных переменных значения xr+1 = 0; xr+2 = 1; xr+3 = : : : = xn = 0, получим

01

	x12	C
B .
B		C
B xr2		C
B		C
B		C
B		C
B		C
E2 = B	0	C
B		C
B		C

BC

B1 C

BC

B C

B 0 C

B C

B . C

B C

B C

@A

0

и так далее,

01

x1;n r

B .	C
B	C

BC

		B		C
En		B xr;n r		C	:
		r = B	0	C
		B		C
		B		C
		B		C
		B .		C
		B		C
		B		C
		B		C
		B		C
		B	0	C
		B		C
		@	1	A

Система E линейно независима и, следовательно, является ФСР. Общее решение системы (6.2) представляется в виде линейной комбинации ФСР:

X = c1E1 + c2E2 + + cn rEn r:

Такая форма записи общего решения называется векторной.
Пример 3. Найти общее решение системы	8	x1 2x2 + x4 = 0			â
	< x2			3x3 + 4x4 = 0
виде линейной комбинации ФСР.	:

Решение. Воспользуемся методом Гаусса. Преобразуем матрицу систе-

13	0 1			1 1 0 1					9 1
ìû :			2 0				0	6			:
	@ 0		1 3	4 A @ 0			1	3	4 A
Данной матрице соответствует система
8 x1 6x3 + 9x4 = 0;					=	8 x1 = 6x3 9x4;
< x2		3x3 + 4x4 = 0;			)	< x2		= 3x3			4x4:
:						:

13В данном случае не имеет смысла преобразовывать расширенную матрицу системы, поскольку столбец свободных членов состоит из одних нулей и не меняется при элементарных преобразованиях строк.

97

Здесь x1; x2 базисные переменные, x3; x4 свободные неизвестные. Найдем ФСР:

	0	6	1		0	9	1
E1	= B	3	C	; E2	= B	4	C	:
	B	1	C		B	0	C
	B		C		B		C
	B		C		B		C
	B	0	C		B	1	C
	B		C		B		C
	@		A		@		A

Общее решение однородной системы

		0	6	1		0	9	1
X = c1E1 + c2E2	= c1	B	3	C	+ c2	B	4	C	:
			1
		B		C		B	0	C
		B		C		B		C
		B		C		B		C
		B	0	C		B	1	C
		B		C		B		C
		@		A		@		A

Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений

Вернемся теперь к рассмотрению неоднородной системы линейных уравнений AX = B, B 6= 0. Как связано множество ее решений с об-

щим решением соответствующей однородной системы AX = 0? Îáî-

значим общее решение однородной системы через Xоо, тогда Xîî =

= c1E1 + c2E2 + : : : + ckEk, ãäå E1; : : : ; Ek ФСР однородной системы. Тогда общее решение неоднородной системы запишется следующим

образом:
Xîí = Xîî + X÷í;	(6.3)

ãäå Xчн произвольное частное решение неоднородной системы. Соот-

ношение (6.3) и называется структурой общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

Для того чтобы подчеркнуть эту структуру, общее решение следует записывать в следующем векторном âèäå:

Xîí = c1E1 + c2E2 + : : : + ckEk + X÷í:

Векторную запись решения легко получить из параметрической: пусть решение в параметрическом виде выглядит так:

8 x1		= 11c1 + : : : + 1kck + 1;
>
>
>
>
>		= r1c1 + : : : + rkck + r;
> xr
>
>
>
>
>		=	1c1;
> xr+1
<
>
>
>
>
>		=	kck;
> xn

>

>

>

>

>

>

:

98

тогда векторная запись общего решения будет такова:

				0	11
				B .
				B
				B
0		1		B
	x1		= c1	B	r1
X = .				B	1
B		C		B
				B
B		C		B
B		C		B
@	xn	A		B	0

B

B

B .

B

B

@

0

1				0	1k	1	0	1	1
C				B .		C	B .		C
C				B	rk	C	B	r	C
C				B		C	B		C
C				B		C	B		C
C			+ ck	B		C	B		C
C	+			B	0	C	+ B	0	C	:
C				B		C	B		C
C				B		C	B		C
C				B .		C	B .		C
C				B		C	B		C
C				B		C	B		C
C				B	0	C	B .		C
C				B		C	B		C
C				B		C	B		C
C				B		C	B		C
C				B		C	B		C
A				@	k	A	@	0	A

Пример 4. Решить систему линейных уравнений и записать ее решение в векторном виде:

8 x1 + 2x2 7x3 + x4 =			0;
>	2x1 + x3 + x4	=	1;
>
>
<

>

>

> x 2x + 8x x = 2:

: 1 2 3 4

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

0 1			2	7	1		0 1		0 1			2	7		1		0 1		0	1		2	7		1		0 1
	2		0	1	1		1			0		4	15		1		1			0		4	15		1		1	:
B	1		2	8	1		2	C	B	0		4	15		2		2	C	B								1	C
B								C	B									C	B									C
B								C	B									C	B	0		0	0		1			C
@								A	@									A	@									A

Выберем в качестве базисных переменных x1; x2 è x4 и проведем об- ратный ход метода Гаусса

0 1			2	7	1		0 1		0 1			2	7		0		1 1		0 1		0		1=2	0		1	1
	0		4	15	1		1			0		4	15		0		0			0	1		15=4	0		0	;
B								C	B									C	B								C
	0		0	0			1			0		0	0		1		1			0	0		0	1		1
B					1			C	B									C	B								C
B								C	B									C	B								C
@								A	@									A	@							A

	8	x1 =		1=2x3 + 1;		8 x1 = 2c + 1;
						> x2	=	15c;
откуда		x2 =	15=4x3;		ò. å.	>
	>					>
						>
	>					>	=	4c;
	>					> x3
	<					<
	> x4 = 1;					> x4 = 1:
	>					>
	>					>
	:					>

>

>

:

В векторном виде эти соотношения запишутся так:

0 x1	1	0 2 1			0	1		1
X = B x2	C	= c B	15	C	+ B	0		C	:
B x3	C	B	4	C	B	0		C
B	C	B		C	B			C
B	C	B		C	B			C
B x4	C	B	0	C	B		1	C
B	C	B		C	B			C
@	A	@		A	@			A

99

6.2.Задачи

1.Постройте фундаментальную систему решений, напишите общее

решение системы уравнений:					8 x1 2x2 3x3 = 0;
à)	8 x1 + 2x2 x3 = 0;			á)
	< 2x1 + 9x2		3x3 = 0;		<	2x1 + 4x2 + 6x3 = 0;
	:				:

â)

8

3x1 + 2x2 + x3

= 0;

>

2x1 + 5x2 + 3x3 = 0;

>

>

<

>

3x1 + 4x2 + 2x3 = 0;

>

>

:

8 x1 + 2x2 + 4x3 3x4

>

3x1 + 5x2 + 6x3

4x4

ä)

>

>

>

>

4x1

+ 5x2

2x3 + 3x4

>

<

>

3x1 + 8x2 + 24x3 19x4

>

>

>

>

>

x

1

+ x

3

+ x

5

=

0;

:

8

x4 + x6

> x2

=

0;

>

>

>

>

x2 + x5

x6 = 0;

æ) > x1

>

>

>

<

> x2 + x3 + x6

= 0;

>

x4 + x5

= 0:

> x1

>

>

>

>

>

>

:

ã)	8	2x1 3x2 + 4x3	= 0;
	> x1 + x2 + x3		= 0;
	>
	>
	<
	>	3x1 2x2 + 5x3	= 0;
	>
	>
	:

=	0;		8	2x1 4x2 + 5x3 + 3x4	= 0;
= 0;		å)
			>	3x1 6x2 + 4x3 + 2x4	= 0;
=	0;		>
			>
			<
= 0;			>	4x1 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0;
			>

>

:

2. Найдите общее решение неоднородных систем линейных уравнений

â

векторном виде:

8

8

5x1

3x2 + 2x3 + 4x4 = 3;

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 3;

>

x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2;

4x1

2x2 + 3x3 + 7x4 = 1;

>

>

>

>

à)

>

>

2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7;

>

á) >

>

>

>

>

>

8x1

6x2

x3

5x4 = 9;

>

3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12;

<

7x1

<

>

3x2 + 7x3 + 17x4 = 0;

>

>

>

5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20;

>

>

>

>

>

>

>

>

:

>

>

8

2x

1

x

2

+ x

3

+ 2x

4

+ 3x

5

= 2;>

6x1

:

>

3x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5 = 3;

â)

>

>

>

>

6x1

3x2 + 4x3 + 8x4 + 13x5 = 9;

>

<

3.

>

4x1

2x2 + x3 + x4 + 2x5 = 1:

>Исследуйте систему и найдите общее решение в зависимости от

>

>

>

>

:

значения параметра :

8

3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 =

3;

>

2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 =

5;

>

>

>

>

6x2

9x3

20x4

=

11;

> x1

<

2:

>

4x1 + x2 + 4x3 + x4 =

>

>

>

>

>

: