2014_ivleva

(ассоциативность сложения);

Глава 7

Линейные пространства и линейные операторы

7.1.Линейные пространства

Пусть L некоторое множество, элементы которого мы будем назы-

вать векторами , P некоторое (числовое) поле. Пусть также выполнены следующие условия.

1. Â L определена операция сложения элементов, т. е. 8 x; y 2 L ставится в соответствие элемент z 2 L. Обозначается z = x y. Эта операция обладает следующими свойствами:

(коммутативность сложения);

1à) 8x; y 2 L x y = y x

1á) 8x; y; z 2 L (x y) z = x (y z)

(существование нуля. Элемент

1â) 9

0

2 L j 8x 2 L x

0

= x

0

называется нулем или нулевым элеменòîì);

(существование противополож-

1ã) 8x 2 L 9( x) 2 L x ( x) = 0

ного элемента. Элемент x называется противоположным элементу x).

2. Â L определена операция умножения элемента на число из P, ò.å. 8 2 P; 8 x 2 L ставится в соответствие элемент y 2 L. Обозначается y = x. Эта операция обладает свойствами:

;

2à) 8x 2 L 1 x = x

	8		2		8	2	P								(ассоциативность
2á)		x								(		x) = ( )
					L ;									x
умножения				1	).

3. Эти операции удовлетворяют законам дистрибутивности:

(дистрибутивность 3а) 8x; y 2 L 8 2 P (x y) = x y

слева);

(дистрибутивность 3б) 8x 2 L 8 ; 2 P ( + ) x = x x

справа).

Тогда говорим, L образует линейное пространство над полем P îò-

носительно операций и . Эту ситуацию можно обозначить следую-

1Это название свойства не совсем корректно, поскольку слева и справа в скобках имеются в виду разные операции умножения.

101

L называется (линейным)

щим образом: L = hL; P; ; i линейное пространство2 . Множество L называется носителем линейного пространства L, но мы часто в даль-

нейшем будем обозначать само пространство и его носитель одной и той же буквой.

Свойства 1а) 3б) называются аксиомами линейного пространства.

Пространство L называется действительным, åñëè P = R и операция умножения вектора на число определена только для действительных чисел, и комплексным, åñëè P = C и эта операция определена для комплексных чисел.

Подмножество V линейного пространства

подпространством пространства L, åñëè V само является пространством относительно операций, определенных на L.

Критерий подпространства:

V L является подпространством L тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1)8x; y 2 V (x y 2 V ) (замкнутость относительно сложения);

2)8x 2 V; 2 P ( x 2 V ) (замкнутость относительно умножения

на число).

(В этом случае говорят, что V замкнуто относительно операций сложения и умножения на элементы поля P.)

Пример 1. Проверить, являются ли подпространствами следующие подмножества соответствующих линейных пространств:

а) все векторы из Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению

x1 + x2 + + xn = 0;

б) все векторы из Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению x1 + x2 + + xn = 1;

в) все векторы из V3, удовлетворяющие условию xa = 0, ãäå a фиксированный вектор;

г) все векторы из V3, проекция которых на ось Ox равна 1.

Решение. Будем пользоваться критерием подпространства, т.е. проверять замкнутость подмножеств относительно операций сложения и умножения на число.

2В определение линейного пространства входят известные нам слова, которые в данном случае могут иметь смысл, не совпадающий с тем, к которому мы привыкли. Так элементы линейного пространства мы называем векторами исключительно для удобства объектам со знакомыми свойствами даем привычное название. На самом деле элементами линейного пространства могут служить произвольные объекты и даже, более того: нам не важно, какова природа этих объектов, важно, что для них выполняются перечисленные выше свойства. То же можно сказать и про операции их мы не случайно обозначаем и , а

не + и , чтобы также подчеркнуть их произвольную природу.

102

à) 1) Åñëè x = hx1; : : : ; xni; y = hy1; : : : ; yni 2 L, òî x1 + + xn = 0 è y1 + + yn = 0. Òàê êàê x y = hx1 + y1; : : : ; xn + yni, òî x1 + y1 +

+xn + yn = x1 + + xn + y1 + + yn = 0 + 0 = 0, ò. å. x y 2 L;

2)x = h x1 : : : ; xni, ïðè ýòîì x1 + + xn = (x1 + +xn) =

=0 = 0, ò. å. x 2 L.

Следовательно, L является линейным подпространством.

á) Åñëè x; y 2 L, òî x1 + + xn = y1 + + yn = 1, тогда x1 + y1 +

+ xn + yn = x1 + + xn + y1 + + yn = 1 + 1 = 2, ò. å. x y 2= L. Поскольку не выполняется замкнутость относительно сложения, L íå

является линейным подпространством.

â) 1) Åñëè x; y 2 L, òî xa = 0, ya = 0, тогда (x + y)a = xa + ya =

=0 + 0 = 0, ò. å. x + y 2 L.

2)( x)a = (xa) = 0 = 0, ò. å. x 2 L.

Следовательно, L является подпространством.

ã) Åñëè x; y 2 L, òî ïðix = ïðiy = 1, тогда прi(x + y) = ïðix+ +ïðiy = 1 + 1 = 2, ò.å. x + y 2= L.

Поскольку не выполняется замкнутость относительно сложения, L не является подпространством.

Так же как и в пространстве геометрических векторов, в линейном пространстве мы тоже вводим понятия линейной комбинации, линейной зависимости, базиса и координат.

Линейной комбинацией векторов a1; : : : ; ak называется выражение

1a1 + 2a2 + + kak, ãäå 1; : : : ; k 2 P коэффициенты линейной

комбинации. Таким образом, линейная комбинация это тоже некоторый вектор.

Важным примером подпространства является так называемая линейная оболочка, натянутая на векторы a1; : : : ; ak 2 L, т. е. множество всех линейных комбинаций этих векторов. Обозначение: Lha1; : : : ; aki. Заметим также, что Lha1; : : : ; aki это минимальное по включению подпространство L, содержащее все векторы a1; : : : ; ak.

Пусть hL; P; ; i линейное пространство.

Система векторов fx1; : : : ; xng 2 L называется линейно зависимой, если найдется нулевая нетривиальная линейная комбинация векторов этой системы, т. е. найдутся числа 1; : : : ; n 2 P, не равные одновременно нулю и такие что

1 x1 n xn =

0

:

(7.1)

103

Если равенство (7.1) возможно только при условии 1 = 2 = : : : = = n = 0, то система называется линейно независимой.

Базисом линейного пространства L называется любая максимальная по включению3 линейно независимая система векторов из L. Таким образом, если e1; : : : ; en базис пространства L, òî:

1)векторы fe1; : : : ; eng образуют линейно независимую систему;

2)8x 2 L система fe1; : : : ; en; xg линейно зависима.

Базис пространства L определяется неоднозначно4 , но для всех базисов L есть общее свойство: они все состоят из одного и того же числа векторов, называемого размерностью5 пространства L.

Любой вектор x 2 L может быть разложен по базису, т. е. представ-

лен в виде линейной комбинации базисных векторов e1; : : : ; en и притом единственным образом: x = x1 e1 xn en. Коэффициенты это- го разложения x1; : : : ; xn называются координатами вектора x в базисе e1; : : : ; en.

Линейные операции над векторами в координатной форме

Введение базиса и координат позволяет перейти от рассмотрения абстрактных объектов элементов линейного пространства к их координатам. Набор координат вектора это уже конкретный объект, с которым можно работать конкретными методами. Конечно, этот набор зависит от введенного базиса. Договоримся обозначать базис, состоящий

из векторов e1; : : : ; en, через E = (e1; : : : ; en), а вектор-столбец, состоящий из координат вектора x в базисе E, через [x]E:

[x]E =	0 x1	1	;
	B .	C
	B	C
	B	C
	@	A
	xn

ãäå x = x1 e1 xn en.

Пусть векторы x; y 2 L, è E = (e1; : : : ; en) базис L.

Тогда координаты их суммы будут равны сумме их координат:

[x y]E = [x]E + [y]E, а также [ x]E = [x]E:

3Напоминаем, что слова максимальная по включению в данном случае означают, что при добавлении к такой системе любого вектора из L теряется свойство линейной незави-

симости.

4Более того, существует теорема, утверждающая, что любую систему линейно независимых векторов L можно дополнить до базиса L, следовательно, в L

существует бесконечно много различных базисов.

5Размерность линейного пространства не обязательно является конечным числом.

104

Пусть E = (e1; : : : ; en) è E0 = (e01; : : : ; e0n) два различных базиса в пространстве L. Разложение векторов базиса E по базису E0 имеет вид

8

>

> e1 = s11 e01 s21 e02 sn1 e0n;

>

<

>

> en = s1n e01 s2n e02 snn e0n:

>

:

0	1
s11	: : : s1n

Матрица S = B				C	называется матрицей перехода îò áà-
B				C
B				C
@	sn1	: : :	snn	A

зиса E к базису E0. Обозначение: S = TE!E0. Заметим, что S 1 матрица перехода6 от E0 ê E: S 1 = TE0!E.

Формула преобразования координат при преобразовании базиса выглядит следующим образом:

[x]E0 = S[x]E è [x]E = S 1[x]E0, èëè [x]E0 = TE!E0[x]E:

Пример 2. В пространстве V3 заданы векторы e1 = i + j + k; e2 = i+ +j; e3 = i. Доказать, что (e1; e2; e3) образуют базис в V3, и найти матрицу перехода S от базиса (i; j; k) к базису E = (e1; e2; e3). Найти координаты

вектора x = 2i 3j + k в базисе E.

Решение		1	0		1	0		1
0	1			1			1

1

=

B

1

C

;

2

=

B

1

C

;

3

=

B

0

C

координаты векторов

1;

2;

3

e

e

e

e

e

e

B

1

C

B

0

C

B

0

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

в базисе (i; j; k). Матрица перехода от базиса (e1; e2; e3) к базису (i; j; k) имеет вид

S	1	0	1	1	1	1	:
		= B	1	1	0	C
		B	1	0	0	C
		B				C
		@				A

Матрица S 1 невырожденная: jS 1j = 1. Координаты вектора x в базисе fe1; e2; e3g найдем по формуле [x]E0 = S[x]E. Поскольку

01

0 0 1

BC

S = B	0	1	1	C	;
B		1		C
@	1		0	A

6Заметим, что разные авторы иногда по-разному определяют матрицы перехода. Иногда как раз S 1 называют матрицей перехода от E к E0. Настоящее

пособие написано применительно к данному определению, но будьте внимательны при чтении другой литературы.

105

имеем

0 0

0

1 1 0

2

1

0

1

1

[x]E0 =

B

0

1

1

C B

3

C

=

B

4

C

; ò. å.

=

1 4

2 + 5

3:

x

e

e

e

B

1

1

0

C B

1

C B

5

C

B

C B

C

B

C

@

A @

A

@

A

7.1.Задачи

1.Проверьте, являются ли следующие множества с естественными для них операциями сложения и умножения на число линейными пространствами:

à) V3; V2; V1 множества геометрических векторов в пространстве, на плоскости, на прямой;

á) Pn(x) множество всех многочленов степени не выше n; в) множество всех многочленов степени n;

ã) Rn = fhx1; x2; : : : ; xnijx1; : : : ; xn 2 Rg множество упорядоченных наборов из n действительных чисел. Операции сложения и умножения на число определены по следующим правилам:

ha1; : : : ; ani hb1; : : : ; bni = ha1 + b1; : : : ; an + bni;

ha1; : : : ; ani = h a1; : : : ; ani;

ä) (R+)n множество упорядоченных наборов неотрицательных действительных чисел. Операции определены в задаче 1г);

å) R2 множество квадратных матриц второго порядка над R;

æ) C[a;b] множество всех функций, непрерывных на отрезке [a; b];

з) множество векторов плоскости, начало которых совпадает с нача- лом координат, а концы лежат:

1)на прямой, проходящей через начало координат;

2)на прямой, не проходящей через начало координат;

3)в 1 и 2 четвертях;

4)в 1 и 4 четвертях.

2.Образует ли множество L линейное пространство над полем R îò-

носительно операций и :

8

1

9

0

à) L =

>

a 0

a; b

2

R+

0 , A

B =:

AB,

0 b

n f g>

<

=

@

A

;

á) L =

>

+

:

:

0 , a

b = ab, a>= a

:

n f g

;

:

R

:

â) L = V2, x y = 2(x + y), x = x?

:

A = A;

3. Докажите следствия из аксиом линейного пространства:

а) в линейном пространстве L существует единственный нулевой элемент;

106

0 1

á) 8x 2 LB0 x =		0	C; â) 8x 2 L 9!( x) 2 L;
@			A
ã) 8x 2 L (( 1) x = x); ä) 8 2 P (				0	=	0).
4. Докажите:
а) множество V1	подпространство пространства V2;
б) множество V2	подпространство пространства V3;

в) для любого натурального n fPn(x)jdegPn(x) ng подпространство пространства C(1;1).

5.Докажите, что линейная оболочка Lha1; a2; : : : ; ani образует линейное пространство.

6.Найдите размерность и базис линейной оболочки, натянутой на векторы:

à) x1 = (2; 1; 3; 1); x2 = (1; 2; 0; 1); x3 = ( 1; 1; 3; 0);

á) x1 = (2; 1; 3; 1); x2 = ( 1; 1; 3; 1); x3 = (4; 5; 3; 1), x4 = (1; 5; 3; 1).

7.Покажите, что всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

8.Проверьте, являются ли функции линейно зависимыми:

à) 2; x; 3x + 1; á) sin2 x; cos2 x; 5; â) ex; e2x; e3x.

9. Докажите, что система элементов f1; t; t2; : : : ; tng образует базис в пространстве Pn многочленов степени не выше n:

Pn = fantn + + a0ja0; : : : ; an 2 Rg:

Найдите координаты многочлена t3 2t в этом базисе. 10. В пространстве R4 заданы векторы:

a = (1; 2; 1; 2); b = (2; 3; 0; 1); c = (1; 2; 1; 4); d = (1; 3; 1; 0):

Докажите, что система fwg = fa; b; c; dg является базисом пространства R4. Найдите координаты вектора x = (7; 14; 1; 2) в базисе fwg.

11.Докажите, что если ненулевые векторы a1; a2; a3 линейно зависи- ìû è a3 не выражается линейно через a1 è a2, òî a1 = a2.

12.В пространстве многочленов fax2 + bx + cja; b; c 2 Rg перешли от

базиса fx2; x; 1g к новому базису с помощью матрицы перехода

01

1 0 0

BC

S = B	2 1	1	C. Укажите новый базис.
B			C

@A

0 1 0

13. В линейном пространстве трехчленов fax2 + bx + cja; b; c 2 Rg îò

107

Ln. Пусть

базиса (x2; x; 1) перешли к новому базису:

	à) 1; x + 1;	(x + 1)2	; á) 1; x; x2	+ 2:
		2

Найдите матрицы перехода к новому базису.

7.2.Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора

Оператором над линейным пространством L (èëè преобразованием L) называется однозначное отображение ' : L ! L, при котором каждому вектору x 2 L ставится в соответствие единственный вектор y 2 L. Обозначение: y = 'x, èëè y = '(x). Вектор x называется прообразом y,

ày образом x.

Âближайших двух разделах мы будем рассматривать только вещественные линейные пространства.

Оператор ' называется линейным, если выполняются условия:

1)аддитивности 8 x; y 2 L ('(x y) = 'x 'y) è

2)однородности 8 2 R; 8x 2 L ('( x) = 'x).

Пусть Ln n-мерное линейное пространство, E = (e1; : : : ; en) базис в нем и ' линейный оператор над x = x1 e1 xn en 2 Ln. Тогда 'x = x1 'e1 xn 'en, т. е., зная образы базисных

векторов, мы можем восстановить образ любого вектора из Ln. Найдем образы базисных векторов:

8

e10 = 'e1 = a11 e1 an1 en;

>

e20

= 'e2 = a12 e1

an2

en;

>

>

>

>

>

<

= 'en = a1n e1 ann

> en0

en:

>

>

>

>

>

:

0 a11

: : :

a1n

1

Матрица A = B

C называется матрицей линейного опера-

B an1

: : :

ann

C

B

C

. Иногда индекс опускается,

тора в базисе

обозначается

'

@

E

è

A

[']E = A

E

если и так ясно, о каком базисе идет речь. Итак, матрицей линейного опе- ратора [']E называется матрица, столбцы которой состоят из координат (в базисе E) образов (под действием ') базисных векторов.

0	1
	x1

Åñëè [x]E =	B	.	C	координаты вектора x 2 Ln в базисе E, òî
	B		C
	B		C
	@	xn	A
				['(x)]E = ['x]E = [']E[x]E:

108

Дефектом оператора

Пусть в пространстве Ln имеем два базиса: E = (e1; : : : ; en) è E0 =

= (e01; : : : ; e0n), S = TE!E0 матрица перехода от базиса E к базису E0. Òî- гда имеет место формула преобразования матрицы оператора при смене базиса

[']	0 = S[']	S 1 = T	E!E	0	['] T 0	!E	:	(7.2)
E	E				E E

Операции над операторами

1) (' + )x = 'x + x;

2)( ')x = ('x);

3)(' )x = '( x).

Оператор ' 1 называется обратным к оператору ', åñëè

8x 2 Ln ' 1('(x)) = x :

Оператор ' называется невырожденным, если для него существует обратный оператор ' 1. Понятно, что '' 1 = ", где " тождественный

оператор: 8x 2 Ln "x = x . Матрица невырожденного оператора в любом базисе также не вырождена 7 .

Пусть ' оператор над линейным пространством Ln. Множество Im ' = f'xg называется образом оператора '. Множество Ker ' = = fxj'x = 0g называется ядром оператора '. Образ и ядро линейного оператора являются подпространствами Ln. Рангом оператора ' называется размерность образа ': r' = dim Im '. ' называется размерность ядра: d' = dim Ker '. Для любого линейного оператора над Ln имеет место равенство: r' + d' = n.

Пример 3. В базисе (i; j; k) написать матрицу оператора POx проек- тирования на ось Ox.

Решение. Пусть a = (x; y; z). POxa = (x; 0; 0). Легко проверить, что

свойства аддитивности и однородности выполняются, т. е. POx является линейным оператором. Найдем образы базисных векторов:

POxi = (1; 0; 0); POxj = (0; 0; 0); POxk = (0; 0; 0):

Следовательно,

01

1 0 0

B				C
[POx] = B	0	0	0	C	:
B				C
@	0	0	0	A

7На самом деле если ['] не вырождена хотя бы в одном базисе, то из (7.2) вытекает ее невырожденность в любом базисе.

109

R3);

Пример 4. Найти базисы ядра и образа линейного оператора ', çà- данного в R3 следующим образом:

'x = (3x1 + x2 x3; 2x1 x3; x1 + 3x2 + x3):

Решение. Для нахождения базисов ядра и образа линейного оператора

'достаточно проделать следующую процедуру:

1)построить матрицу (EjAT), ãäå A = ['] â стандартном базисе, т.е.

âбазисе, состоящем из столбцов единичной матрицы;

2)элементарными преобразованиями строк привести ее к правоступенчатому виду.

Тогда базисом образа будут ненулевые строки в правой половине полученной правоступенчатой матрицы, а базисом ядра строки левой части матрицы, соответствующие нулевым в правой половине 8 .

0 3		1	1 1				T	01 0	0	3	2	11
A = 2		0		1		; (E A		) = 0 1	0	1	0	3
B					C	j		B				C
	1	3		1						1	1
B					C			B0 0	1			1C
B					C			B				C
@					A			@				A

0 1 0		0		3		2	11	0	1 0	0
	3 1	0			8	6	0		1 0	1
B							C	B
	1 0	1			4					2
B						3	0C	B	1 1
B							C	B
@							A	@

Im'

z		3	}|			{
					1
			2	1

C

	4	3	0	C		:
	0	0	0
				C
					A

|{z }

Ker'

Ответ. Базис ядра f( 1; 1; 2)g; базис образа f(3; 2; 1); ( 4; 3; 0)g.

7.2.Задачи

1.Являются ли следующие преобразования линейными: а) x ! a (a фиксированный вектор из Ln);

б) x ! x + a; в) x ! x ( фиксированный скаляр); г) x ! (xa)b (a; b фиксированные векторы из

ä) x ! (ax)x; å) (x1; x2; x3) ! (x1 + 2; x2 + 5; x3); æ) (x1; x2; x3) ! (x1 + 3x3; x22; x1 + x3);

ç) (x1; x2; x3) ! (x1; x2; x1 + x2 + x3)?

8Строки AT суть векторы, на которые натянут образ ', строки E стан-

дартный базис пространства. Элементарные преобразования строк эквивалентны умножению матрицы AT слева на некоторую невырожденную матрицу U.

Åñëè (UEjUAT) правоступенчатый вид (EjA), то в силу невырожденности U ненулевые строки в правой половине матрицы базис Im ', а при действии оператора ' на строки, соответствующие нулевым в правой половине, имеем UEAT = UAT. В силу невырожденности U строки U базис всего пространства, поэтому строки U, переходящие в 0 при действии AT, образуют базис Ker'.

110