2014_ivleva

5. Линейный оператор

E = (e1; e2; e3; e4) матрицу

2. Составьте матрицы линейных преобразований пространства V3 â

базисе i; j; k:

а) симметрия относительно начала координат; б) проектирование на плоскость yOz;

в) симметрия относительно плоскости y = x; г) симметрия относительно плоскости xOz; д) симметрия относительно оси Oz;

å) (x1; x2; x3) ! (x1; x1 + 2x2; x2 + 3x3);

ж) поворот плоскости xOy вокруг оси Oz на угол против часовой стрелки;

ç) x ! (x a)a, ãäå a = i 2k.

3. а) Составьте матрицу линейного преобразования плоскости: растяжение вдоль оси Ox в два раза, сжатие вдоль оси Oy â äâà ðàçà.

0 x0 1

б) Найдите зависимость между координатами образа @ y0 A è ïðî-

01

x

образа @ y A при этом преобразовании.

в) Найдите уравнение образа окружности x2 + y2 = 1.

4. Как изменится матрица линейного преобразования, если в базисе (e1; e2; : : : ; en) поменять местами два вектора ei è ej?

' имеет в базисе

01

1 2 0 1

BC

[']E =	B	3	0	1	2	C	:
		2	5	3	1
	B					C
	B					C
	B	1	2	1	3	C
	B					C
	@					A

Найдите матрицу этого преобразования в базисе:

à) (e1; e3; e2; e4); á) (e1; e1 + e2; e1 + e2 + e3; e1 + e2 + e3 + e4).

6. Линейное преобразование ' в базисе (e1, e2, e3) имеет матрицу [']. Найдите его матрицу в базисе (e01, e02, e03):

à)e1 = (8; 6; 7), e2 = ( 16; 7; 13), e3 = (9; 3; 7),

01

1 18 15

['] =	B	1	22	20	C, e10	= (1; 2; 1), e20	= (3; 1; 2), e30	= (2; 1; 2);
	B	1	25	22	C
	B				C
	@				A

á)e1 = (3; 5; 2), e2 = (1; 1; 3), e3 = (2; 1; 2),

01

5 1 0

['] =	B	3 2 4	C, e10	= (1; 6; 4), e20 = (3; 5; 0), e30 = (5; 12; 9).
	B		C
	B		C

@A

1 1 2

111

7.Верно ли утверждение: всякий линейный оператор линейно зависимую систему векторов переводит снова в линейно зависимую систему векторов?

8.Верно ли утверждение: линейно независимая система векторов переводится линейным оператором снова в линейно независимую систему?

9.Покажите, что ядро и образ произвольного линейного оператора,

действующего в линейном пространстве L, являются линейными подпространствами L.

10. Для указанных ниже линейных преобразований пространства R3 найдите дефект и ранг, а также постройте базисы ядра и образа:

à) 'x = ( x1 + x2 + x3; x1 x2 + x3; x1 + x2 x3);

á) 'x = (2x1 x2 x3; x1 2x2 + x3; x1 + x2 2x3).

11. Приведите, если возможно, пример преобразования:

а) аддитивного, но не однородного; б) однородного, но не аддитивного.

7.3.Собственные числа и собственные векторы

Пусть ' линейный оператор на линейном пространстве Ln. Âå- щественное число называется собственным числом èëè собственным

значением оператора ', если найдется такой ненулевой вектор x 2 Ln, ÷òî

'x = x:

(7.3)

Ненулевой вектор x, удовлетворяющий (7.3), называется собственным вектором оператора ', соответствующим собственному значению . Равенство (7.3) в матричном виде имеет вид A[x] = [x], èëè

(A E)[x] = 0;

(7.4)

ãäå A = [']. Для существования ненулевых решений [x] системы ли-

нейных уравнений (7.4) необходимо и достаточно 9 , чтобы выполнялось равенство det(A E) = 0, èëè

	a11 a12		: : :	a1n
	a21	a22	: : :	a2n
	an1	an2	: : : ann

= 0: (7.5)

9Вообще говоря, матрица A зависит от выбора базиса, и еще требуется дока-

зать справедливость того, что дальнейшие рассуждения (а главное вывод) от выбора базиса не зависят.

112

характеристи-

ческим уравнением

В левой части (7.5) стоит определитель, раскрыв который мы получим многочлен относительно , называемый характеристическим многочле-

íîì оператора '. Само же уравнение (7.5) называется характеристи-

этого оператора. Вещественные корни характеристи- ческого многочлена (и только они) являются собственными числами опе-

ратора '. Для всех корней характеристического многочлена, не только вещественных, тоже есть свое название: они называются ческими числами оператора '. Набор всех различных характеристиче-

ских чисел линейного оператора называется его спектром. Собственные векторы, соответствующие известному собственному числу , находятся как ненулевые решения однородной системы уравнений

(A E)[x] = 0:

Приведем удобную формулу для нахождения характеристического многочлена матрицы третьего порядка:

0

jA Ej = 3 + (a11 + a22 + a33) 2

a11

a12

+

a22

a23

+

a11

a13

1

+

A

:

a21

a22

a32

a33

a31

a33

j

j

@

A

Аналогичная формула для второго порядка еще проще:

jA Ej = 2 (a11 + a22) + jAj:

Пример 5. Найти собственные числа и собственные векторы линей-

																0		1			3			3	1
ного оператора, заданного матрицей A =																B	2				6		13		C.
																B		1				4		8	C
																B									C
																@									A
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение
					1				3				3			=				3			2	(1 6 + 8)
A E =						2			6 13												+
j j
												8
						1				4
		0	1		3	+			6 13			+		1		3	1		+			1 3 3					=
			2		6				4 8						1 8								2 6 13
																							1		4 8
		@															A

= 3 + 3 2 3 + 1 = (1 )3 = 0:

Собственное число оператора = 1 имеет кратность 3, других собственных чисел этот оператор не имеет. Найдем собственные векторы,

113

Теорема.

соответствующие найденному :

8	(1 1)x1 3x2 + 3x3		= 0;		8		x2 + x3			= 0;
>	2x1	(6 + 1)x2 + 13x3 = 0;			>			2x1	7x2 + 13x3 = 0;
>					>
>					>
<					<
>	x1 4x2 + (8 1)x3		= 0;		> x1 + 4x2 7x3					= 0:
>					>
>					>
:					:
Общее решение этой системы
			8 x1	=	3x3;
			< x2	= x3;
èëè			:	0	3	1
			X = c B		1	C :
				B	1	C
				B		C
				@		A

01

3

	B		C
Векторы c	B	1	C	при ненулевом c являются собственными для собствен-
		1
	B		C
ного числа@			A .
	= 1			0	1

3

BC

Ответ. 1;2;3 = 1; X = c B 1 C ; c 6= 0.

B C

@A

1

Приведем также одну очень простую, но тем не менее важную теорему.

Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, причем на ее диагонали стоят собственные числа оператора.

7.3.Задачи

1.Найдите собственные векторы и собственные числа линейных операторов, заданных матрицами:

		à)		0 2 5 1				; á)		0		3			2 1 ; â) 0 8 1 1 ;
	0			@ 3 4 A						@ 2 1 A								@ 5			6 A		2 1
			2 1				2 1				0		0		1 0 1				0 4		5
ã) B			5 3				3	C	; ä)		B	4			4 0		C	; å)	B	5	7		3 C		;
	B		1		0		2	C			B		2		1 2		C		B	6		9	4 C
	B							C			B						C		B					C
	@							A			@						A		@					A
	0 1			3	1 1					0 7 12						6	1		0		4	5		7 1
æ)	B 3			5	1	C ; ç)				B	10 19					10	C	; è)	B		1	4		9	C	:
	B	3		3	1	C				B	12			24		13	C		B		4		0	5	C
	B					C				B							C		B						C
	@					A				@							A		@						A

2. Найдите собственные числа и собственные векторы линейных операторов в пространстве V3:

114

à) 'x = ax; a 2 R;

á) 'x = (x i)i;

â) 'x = i x.

3.Составьте матрицу оператора поворота в пространстве V2 íà óãîë

вокруг начала координат. Покажите, что в V2 этот оператор не имеет собственных векторов.

4.Какие преобразования задают операторы, имеющие в базисе ( i; j; k)

следующие матрицы:

0

1

1

0

1

0

0

0

1

00

0

1

B

0

1

à) 1 1

0 ; á)

1 0 0 ; â)

2

B

C

B

C

B

B

B0 0

p2C

B0 1 0C

B

1

B

C

B

C

B0

@

A

@

A

B

B

2

@

0	1	01	0			0	1
1C; ã)		B0	1			1C;
2C		B	2			2C
	C	B					C
1	C	B	1			1	C
	C	B0					C
	C	B					C
2C		B	2			2C
	A	@					A

00 1 0 1 00 1 01

00 1 01

ä)

B1 0 0 C; å)

B1 0 0C; æ)

B1 0 0C;

B0 0

1C B0 0 1C

B0 0 0C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

0p1

p1

p1

1

0

p

1

3

1

B

3

3

3

C

0

2

2

1

1

1

B

C

B

C

ç)

B

C; è)

B

0

1 0

C?

p3

Bp3

p3C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

p

C

1

1

1

1

0

3

B

C

B

C

B

C

B

C

Bp

p

p

C

B

2

2

C

B

3

3

3C

@

A

@

A

7.4.Жорданова форма линейного оператора

Наиболее наглядный и простой вид квадратной матрицы диагональный. Когда матрица линейного оператора имеет диагональную форму, сразу видно, чему равны ее собственные значения (они стоят на диагонали), кроме того, понятно, что базис состоит из собственных векторов. К сожалению, не для любого линейного оператора существует такой базис. Однако вопрос о приведении матрицы линейного оператора к некоторому наиболее простому виду остается актуальным и в тех случаях, когда такого базиса нет.

Такая наиболее простая (т.е. в некотором роде наиболее близкая к диагональной) форма, к которой приводится матрица линейного оператора над полем, содержащим все характеристические числа оператора,

называется жордановой формой.

В этом раздел будем полагать, что мы находимся над полем комплексных чисел.

115

Жордановой клеткой называется матрица следующего вида:

0 0 : : :			01		0 1 : : : 01
J = B	1 ...		.	C	èëè J = B	0 ...	... .	C
B				C	B			C
B	. ... ...		0C		B .		... 1C
B				C	B			C
B				C	B			C
B	0 : : :	1 C			B	0 : : :	0 C
B				C	B			C
@				A	@			A

т. е. либо нижнетреугольная, либо верхнетреугольная. Жорданова форма матрицы имеет клеточно-диагональный вид, все клетки которого жордановы, разумеется, либо все нижнетреугольные, либо все верхнетреугольные.

Вид матрицы линейного оператора зависит от базиса. Поэтому нахождение жордановой формы можно связать с нахождением соответствующего базиса. Эта задача разбивается на две. Первая состоит в том, чтобы разложить пространство в прямую сумму инвариантных подпространств, а вторая в том, чтобы в каждом таком подпространстве найти подходящий базис. Строгие теоретические обоснования и объяснения можно найти в [14] и [15]. Мы же дадим только необходимые определения и опишем алгоритмы.

Разберем сначала более простой случай нахождения жордановой формы для так называемого нильпотентного линейного оператора.

Линейный оператор ' называется нильпотентным, если существует такое натуральное число k, ÷òî 'k(x) = 0 для любого вектора x 2 V .

Заметим, что в частности это означает, что [']k = 0. Кроме того, нильпотентный оператор ' не может иметь ненулевых собственных чи- сел. Действительно, если 'x = x для некоторого собственного (т. е. ненулевого) вектора x, òî 'k(x) = kx, а последний вектор может быть нулевым только в случае, если = 0

Теорема 1. Для любого нильпотентного оператора в пространстве V существует так называемый жорданов базис, в котором матри-

ца этого оператора имеет клеточно-диагональный вид с жордановыми

клетками, имеющими нулевые диагонали.

Посмотрим, какими свойствами обладает жорданов базис нильпотентного оператора. Допустим, жорданова форма матрицы нильпотентного

оператора ' состоит из s нижнетреугольных жордановых клеток раз-

мерностей k1; : : : ; ks, k1 + + ks = n. Тогда, по определению матрицы линейного оператора, базис обладает следующим свойством:

'e1 = e2; : : : ; 'ek1 1 = ek1 ; 'ek1 = 0; : : : ;

'en ks+1 = en ks+2; : : : ; 'en 1 = en; 'en = 0:

116

жордановой таблицей

Т.е. векторы жорданова базиса разбиваются на цепочки переходящих друг в друга векторов, последний вектор цепочки принадлежит Ker'.

Такие цепочки называются ниль-слоями. Определим это понятие более точно.

Пусть ' нильпотентный оператор и v 2 V некоторый ненулевой вектор. Тогда последовательность векторов v, '(v); : : : ; 'p(v), ãäå 'p(v) 6= 0, называется ниль-слоем.

Поскольку ' нильпотентный оператор, любой ниль-слой имеет конечную длину. Более того, длина цепочки p не превосходит k 1, ãäå k наименьшее натуральное число такое, что 'k(V ) = f0g. Несложно доказать, что векторы любого ниль-слоя линейно независимы.

В случае, когда ниль-слой содержит n векторов, то они образуют базис пространства, а матрица ' в этом базисе представляет из себя одну

жорданову клетку. Таким образом, этот базис является жордановым. Но такой базис (из единственного ниль-слоя) существует для нильпотентного оператора далеко не всегда. В общем случае требуется найти несколько ниль-слоев, векторы которых линейно независимы и их суммарное количество совпадает с размерностью пространства.

Поиск и исследование ниль-слоев удобно проводить с помощью специальной таблицы, в строки которой записаны векторы ниль-слоев, причем строки имеют общую правую вертикальную границу. Такая таблица называется

Заметим, что поскольку ниль-слои могут иметь разную длину, то в жордановой таблице могут быть пустые клетки в начале некоторых строк.

Если векторы в правом столбце жордановой таблице линейно независимы, то все векторы таблицы будут также линейно независимы. Если же к тому же векторы таблицы образуют базис пространства, то такой базис называется жордановым. При этом длины ниль-слоев (строк жордановой таблицы) соответствуют размерам жордановых клеток в жордановой форме матрицы линейного оператора.

К жордановой таблице можно применять следующие элементарные преобразования:

1.перестановка слоев;

2.умножение слоя на любое ненулевое число;

3.прибавление к слою длины l соответствующего отрезка длины l èç

другого слоя, умноженного на любое число (т.е. к более короткой строке можно прибавлять часть более длинной, но не наоборот);

117

4. удаление нулевых векторов в правом столбце сдвигом строк вправо.

После таких преобразований снова получается жорданова таблица. С помощью таких преобразований можно добиться того, что в правом столбце таблицы получатся линейно-независимые векторы. При этом если исходная таблица содержала какой-нибудь базис пространства, то в результате преобразований получится как раз требуемый жорданов базис.

Получить такую исходную таблицу несложно: достаточно взять векторы любого базиса и построить ниль-слои, начинающиеся с этих векторов.

Пусть	k	наименьшее натуральное число такое, что	'	k	(V ) =		,
						f0g

A = [']. Тогда Ak = 0. Рассмотрим следующую таблицу10 :

EjATj AT 2 j : : : j AT k 1 :

Пример 6. Найти жорданову форму и жорданов базис для нильпотентного линейного оператора, заданного матрицей

01

1 2 3

BC

A = B4	8	12C	:
B		C
@3	6	9 A

Решение. Заметим, что A2 = 0. Тем самым соответствующий линейный оператор действительно нильпотентный и начальная жорданова таб-

лица имеет вид . Будем производить преобразования этой табли-

EjAT

цы с целью занулить как можно больше элементов в последнем ее столбце:

01 0 0				1				4			3 1			2I		0 1 0 0				1 4 31
	0 1 0			2				8			6							2 1 0		0 0 0
B												C				B							C
					3				6										0 1		0
B0 0 1											9C		+3I			B	3			0		0C
B												C				B							C
@											A					@							A
	1 0 0					1		4 3								1 0 0 1				4		3	1
	0						2	1			1	+2I				0				9		6
											0								0
B											C				B								C
													3I							12
	B					3 0 1C										B			0			8C
	B										C					B							C
	@										A					@						A
		0											1
										1	4	3				1 0 0 1 4 3						:
			1 0 0 0 9 6
																0				3	1
		B											C						0		2
											0					@					A
		B							0			0C
		B											C
		@											A

Векторы в последнем столбце таблицы линейно независимы, поэтому все векторы таблицы образуют жорданов базис. Заметим, что первый

10Здесь мы транспонируем матрицу линейного оператора, чтобы образы базисных векторов были записаны в строки.

118

слой состоит из двух векторов, а второй из одного, значит жордановы 0 0 0 0 1

клетки будут иметь размеры 2 и 1 соответственно: A	J = B	0	0	0	C, à
	B				C
	B				C
	@				A

J	011	J	011	J	001
жорданов базис состоит из векторов e1	= B0C, e2		= B4C	è e3	= B3C.
	B0C		B3C		B2C
	B C		B C		B C
	@ A		@ A		@ A

Заметим, что иногда удается построить жорданов базис несколько меньшими усилиями. Идея заключается в том, что нужно строить таблицу по слоям, начинающимся с векторов стандартного базиса. Если пер-

вого ниль-слоя недостаточно (в нем меньше чем n векторов), то добавля-

ем ниль-слой, посторенный от второго базисного вектора и проделываем преобразования, чтобы векторы построенной таблицы стали линейно независимыми. Если их опять недостаточно, добавляем третий слой и так далее.

Пример 7. Для нильпотентного оператора, задаваемого матрицей

	0	1	1	1	2		2	1
A =	B	2	2	2	4		5C
	B	1	3	1		2	1	C, найти жорданов базис.
	B							C
	B		2			3		C
	B	1		1			2C
	B							C
	B							C
	B							C
	B							C
	@	0	1	0	1		1	A

Решение. В качестве базиса пространства R5 возьмем стандартный

0 1

1

B C

B0C

B C

B C

базис. Составим первый ниль-слой, начинающийся с вектора e1 = B0C.

B C

B C

B0C

B C

@ A

0

Когда мы составляем ниль-слой, то записываем векторы в строки. Для нахождения образов векторов пользуемся привычной записью в столбцы. Нетрудно посчитать, что

0 1 1

001

0 4 1

001

Ae1

B

2

C

2

e1

B0C

3

e1

B 1C

4

e1

B0C

;

= B

1C

; A

= B4C

; A

= B

5C

; A

= B0C

B

C

B C

B

C

B C

B

C

B C

B

C

B C

B

1

C

B1C

B

1C

B0C

B

C

B C

B

C

B C

B

0

C

B C

B

C

B C

B

C

B1C

B

0

C

B0C

B

C

B C

B

C

B C

@

A

@ A

@

A

@ A

т.е. первый ниль-слой содержит четыре вектора e1; Ae1; A2e1; A3e1. Çíà- чит, он не образует базиса пространства. Составляем второй ниль-слой,

119

0 1

0

B C

B1C

B C

B C

который начинается с вектора e2 = B0C. Этот слой также содержит че-

B C

B C

B0C

B C

@ A

0

тыре вектора: e2; Ae2; A2e2; A3e2.

Составим из этих двух слоев жорданову таблицу и получим из нее жорданов базис.

01 0 0 0 0					1 2 1 1 0									0 0				4 1 1						4 1 5 1 01																		I
0 1 0 0 0					1 2 3 2 1									4		1			1 0 1					4			1					5				1 0
@																																						A
	0																							1 1					4 1 5 1 01
		1 0 0 0 0						1 2 1 1 0								0 0				4
			1 1 0 0 0					0 0 4 1 1								4			1		5				1 0				0 0							0				0 0
	@																																									A
	0	1 0 0 0 0				1 2						1 1 0				0 0 4 1 1 4											1							5			1 0		1
																									4			1						5			1 0					I
								1 1 0 0 0								0 0 4 1 1
	@																																						A
		1 0 0 0 0					1			2			1 1				0 0 0 4						1 1 4										1			5				1 0
	0								2																																	1
										1 1					1 0 0 0 0 0 0												0 0								0			0 0
	@																																									A
	0	1 0 0 0 0				1 2					1 1 0 0 0							4 1 1 4										1						5			1 0		1
																									2												1 0					I
																												1 1
	@																																						A
	0	1 0 0 0 0				1 2					1 1 0				0 0 4 1 1								4					1						5			1 0		1
																									6 0						6				0 0 : ( 6)
	@																																						A
				1 0 0	0 0 1 2 1									1 0 0 0 4								1 1 4								1					5			1 0			1	:
				0																						1									1					0
																													0									0
				@																																					A

Так как векторы последнего столбца линейно независимы, то и вся таблица линейно независима. Если учесть, что число векторов в ней 5, т. е. равно размерности пространства, то мы получили жорданов базис. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

0 0 0 0 0 0 1

BC

1 0 0 0 0 C

BCB

AJ = B	0	1	0	0	0	C	:
B	0	0	1	0	0	C
B	0	0	0	0	0	C
B						C
B						C
B						C
@						A

Как видим, она состоит из двух жордановых клеток размерности 4 и 1 с нулями на главной диагонали.

Аналогичный подход можно применять для построения жордановых форм линейных операторов, имеющих единственное собственное чис-

ло . Дело в том, что в этом случае оператор

= ' " (ãäå "

120