2014_ivleva

1.2.Комплексные числа. Числовые поля

Мнимой единицей называется число {: такое, что {:2 = 1.

Комплексным числом в алгебраической форме называется число вида

z = x + {:y, ãäå x; y произвольные действительные числа, при этом x = Re z действительная часть комплексного числа,

y = Im z мнимая часть комплексного числа.

Вещественное число можно рассматривать как комплексное число с нулевой мнимой частью. Таким образом, множество вещественных чисел

R является подмножеством множества комплексных чисел, которое обо-

значается C. Иногда рассматривают также комплексные числа с нулевой

вещественной частью. Такие числа называются чисто мнимыми. Таким образом, имеем следующую цепочку числовых множеств:

N Z Q R C:

Операции над комплексными числами в алгебраической форме

1) Сложение:

z1 + z2 = (x1 + {:y1) + (x2 + {:y2) = (x1 + x2) + {:(y1 + y2):

Пример 4. (2 + 3{:) + (5 2{:) = 7 + {:. 2) Умножение:

:

:

:

:

:2

=

z1z2 = (x1 + {y1)(x2

+ {y2) = x1x2 + {y1x2 + {x1y2

+ { y1y2

= (x1x2 y1y2) + {:(x1y2 + x2y1):

:2

:3

:

:

:4

:n

:4k :r

:r, ãäå

è

{

= 1;

{

= 1

{

{

{

= 1; : : : ;

{

=

{ {

=

{

n = 4k + r

=

;

r 2 f0; 1; 2; 3g:

:103

:100

:3

:3

:

Пример 5.

{

= {

{

= {

: = {.

:

Комплексные числа

{

è

{

называются сопряженными

z = x+ y

z = x y

(èëè комплексно сопряженными). Заметим, что произведение взаимно сопряженных чисел всегда есть число вещественное (и даже неотрица-

тельное):

z z = (x + {:y)(x {:y) = x2 + y2 2 R+.

11

3) Деление5:

:

:

:

:

:

:2

z1

x +

{

{

{

{

{

{

=

y

=

(x + y)

(u

v)

=

xu + yu xv

yv

=

:

:

:

z2

{

{

{

u

2

+ v

2

u + v (u + v) (u v)

yu xv

=

xu + yv

+

{:

:

u2 + v2

u2 + v2

Между множеством комплексных чисел и плоскостью

xOy легко уста-

новить взаимно однозначное соответствие: каждому комплексномó ÷èñëó z = x + {:y ставится в соответствие точка M(x; y), радиус-вектор OM êî-

торой называется геометрическим представлением комплексного числа z.

Плоскость xOy, на которой изображаются комплексные числа, назы-

вается комплексной плоскостью, îñü Ox действительной осью (è ïî-

этому обозначается Re), Oy мнимой осью (и обозначается Im). Пусть M(x; y) точка комплексной плоскости. Обозначим:

jOMj = r; (OMc; Ox) = ':

	Im
	6
y q				M(x; y)
		R *
O	r			xq	Re
		6
			'		-

pp

Число r = x2 + y2 =						называется модулем комплексного числа
			zz
{:	y	и обозначается	jzj	.
z = x +

Óãîë ', на который нужно повернуть положительное направление оси

Ox против часовой стрелки до совмещения ее с OM, называется аргументом6 комплексного числа z и обозначается Arg z. Как и любой угол, Arg z определяется не однозначно, а с точностью до целого числа оборотов 2 k; k 2 Z. Значение < Arg z называется главным значением аргумента и обозначается arg z.

Åñëè ' = Arg z, то справедливы равенства:

cos ' =	p	x	;	sin ' =	p	y	;
		x2 + y2				x2 + y2

5На практике не стоит, конечно, запоминать эту громоздкую формулу. Запомните лучше сам метод: для того чтобы избавиться от комплексного знаменателя, следует умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, что и было проделано при выводе этой формулы.

6Аргумент всегда измеряется в радианах.

12

x = r cos '; y = r sin ':

При подстановке двух последних равенств в алгебраическую форму

получается

z = x + {:y = r cos ' + {:r sin ' = r(cos ' + {: sin ') тригонометриче-

ская форма комплексного числа.

Обозначим: cos ' + {: sin ' = e{:' формула Эйлера.

С учетом: этой формулы получается

z = re{' показательная форма комплексного числа .

Пример 6. Записать комплексное число z = 1 {: в тригонометриче-

ской и показательной формаõ.

1

1 , откуда

Решение. Находим

p

r =

2;

cos ' =

p

;

sin ' = p

' =

2

2

1

= 4 . Заметим, что одного только равенства

cos ' = p

недостаточно

2

для нахождения аргумента, поскольку уравнение вида

cos x = a может

иметь два решения из ( ; ].

Теперü получаем:

{:

p

тригонометрическая форма,

z =

2

cos

: 4

+

sin 4

z = p2 e 4

{

показательная форма.

Операции над комплексными числами

в тригонометрической и показательной формах

:

:

:

{'1

Пусть z1

= r1(cos '1 + { sin '1) = r1e

è z2 = r2(cos '2 +

{ sin '2) =

:

:

{'2

= r2e

, à z = r(cos ' + { sin ').

1) Умножение:

z1z2 = r1r2 cos('1 + '2) + {: sin('1 + '2) ; èëè z1z2 = r1r2e{:('1+'2).

2) Деление:

:

z

r

:

z

r

.

z21 =

r21

cos('1 '2) + { sin('1 '2) ; èëè z21

= r21 e{('1

'2)

3) Возведение в степень:

zn = rn(cos n' + {: sin n') = rne{:n' формула Муавра.

4) Извлечение корня:

pn

= pn

cos ' +n2k +{: sin ' +n2k = pn

e{:'+2nk , ãäå k = 0; 1; : : : ;

z

r

r

n 1.

Пример 7. Выполните следующие действия:

1) (1 {:)8 = p

:

8

:

2

e 4 {

= 16e 2 { = 16 cos( 2 ) + {: sin( 2 ) = 16.

2) p4 1 {: = q4 p2 e 4 {

= p8 2 e

4 4

{;

:

+2k

:

13

		= p4			{:	= p8				e					{: = p8													! + {: sin						!!
	(k = 0) w1		1				2											2				cos													;
												16
																										16
		= p4				= p8							{: = p8																		! ;		16
			1		{:				e		7											cos	7		+ {: sin				7
	(k = 1) w2						2									2
											16
																							16						16			! ;
		= p4	1		{:	= p8			e		15			{: = p8								cos		15			+ {: sin			15
	(k = 2) w3						2										2
											16
																								16						16
		= p4	1		{:	= p8			e		23			{: = p8								cos		23			+ {: sin			23		! :
	(k = 3) w4						2										2
											16
																								16						16

Im 6w2
15		7
16		16		p8
w3yXXXXXX					2	-
	XXX
			XXzXw1 Re
23
16			16
w	4

Особые случаи: аргумент произведения, частного и суммы

При использовании формулы Муавра для возведения комплексного числа в степень или извлечения из него корня основная проблема записать число в тригонометрической форме, т. е. найти его модуль и аргумент. Если число задано в алгебраической форме, то с нахождением модуля проблем не возникает (напоминаем, что модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов вещественной

èмнимой частей числа). Несложно также определить значения синуса

èкосинуса аргумента. Но для эффективного использования формулы Муавра нам требуется точное значение аргумента, нахождение которого может быть затруднительно, если значения косинуса и синуса не табличные. Ниже приводится несколько полезных примеров решения этой проблемы в некоторых особых случаях.

Пример 8. Найти значение выражения z12, ãäå z = (1 + {:)(1 + {:p3).

Решение. Давайте сначала попробуем перемножить числа (1 + {:) è

:p

:

(1 + {

3)

{:

)(1 +

{:p

{:

+

{:p

p

p

{:

(1 +

p

(1 +

3) = 1 +

3 3 = (1

3) +

3):

Модуль этого произведения равен

r p p q p p p p r = (1 3)2 + (1 + 3)2 = 1 2 3 + 3 + 1 + 2 3 + 3 = 8 = 2 2:

14

Для нахождения аргумента ' найдем его косинус и синус:

8p

>	cos ' =		1			3		;
			2p2
>
>
>
>		1 + p3
>
<
>sin ' =			2p2				:

>

>

>

>

>

:

Как видим, значения косинуса и синуса не табличные, точное значения

аргумента вычислить затруднительнî. Заметим, что модули и аргументы

множителей

z1

: è

z2

:p

3

найти несложно:

= 1 + {

= 1 + {

p

p

1

1

2

2

r1 = jz1j =

1 + 1

=

2; cos '1 = p

; sin '1 = p

; '1

=

4

;

2

2

= r

=

p

= 2; cos '2 =

1

; sin '2

3

:

j

12 + p

2

r2 = z2

3

; '1 =

3

j

2

2

Теперь мы могли бы независимо возвести каждый из сомножителей в двенадцатую степень и перемножить результаты, но мы пойдем другим путем. Вспомним, что модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов. Таким образом,

p								7
r = jzj = 2 2; ' =				+			=			:
			4		3			12

В итоге имеем

z12 = "2p

cos

7

+ {: sin

7

!#12

= (p

8)12 (cos 7 + {: sin 7 ) =

2

12

12

18

:

18

= 2 ( 1 +

{

0) = 2 :

p

+: {:

.

Пример 9. Найти значение выражения z27, ãäå z =

3

1 + {

Решение. Аналогично предыдущему примеру, если представить число

z в алгебраической форме и попытаться перевести в тригонометрическую

форму, то значения косинуса и синуса аргумента окажутся не табличными. С другой стороны, числитель и знаменатель дроби такой проблемы

не вызывают. Обозначив числитель через z1 и знаменатель через z2, ïî- лучим

= r

p

3

1

5

p

2 + 12

r1

=

z1

3

= 2; cos '1 =

; sin '1 =

; ; '1 =

;

j

2

2

6

j

p

p

1

1

2

2

r2 = jz2j =

1

+ 1 =

2; cos '2 = p

; sin '2

= p

; ; '2

=

4

:

2

2

15

Вспомнив, что модуль частного равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов, получим

2		p			5					7
jzj = p		=	2; arg z =						=			:
					6		4			12
	2

Теперь можно применить формулу Муавра:

z27 = "p

cos

7

+ {: sin

7

!#27 = (p

cos

27 7

+ {: sin

27 7

!

2

2)27

=

12

12

12

12

= (p

= 213p

0

p

{:

p

1

cos

63

+ {: sin

63

2

2

= 213(1

{:):

2)27

2

4

4

!

@

2

2

A

Пример 10. Вычислить значение выражения (p

+ 1 + {:)8.

2

Решение. Найдем модуль числа в скобках: r = q

(p

+ 1)2 + 12

2

=

= q

4 + 2p

2

. Значения косинуса и синуса аргумента опять не таблич-

= p

è

ные. Представим число в скобках в виде суммы двух чисел: z1

2

z2 = 1 + {:. Про эти два числа можно заметить следующее:

а) их модули совпадают:

= r

= p

= p

= p

p

2 + 02

z1

j

2

2;

j

z2

j

12 + 12

2;

j

б) их аргументы легко определить (значения косинуса и синуса полу-

чаются табличными):p
	2				0
cos '1 = p		= 1; sin '1			= p				= 0; '1		= 0;
	2						2
		1			1
cos '2 = p				; sin '2	= p			; '2 =			:
										4
			2			2

В этой ситуации для нахождения аргумента их суммы можно применить следующие геометрические соображения. Рассмотрим геометриче- ское представление этих чисел в виде векторов на комплексной плоскости (рис. 1.1, а). Тогда геометрическое представление их суммы будет совпадать с суммой соответствующих векторов. Изобразим эту сумму по правилу параллелограмма (рис. 1.1, б).

Поскольку данный параллелограмм является ромбом (так как модули z1 è z2 совпадают), его диагональ будет биссектриссой соответствующего

1

угла. Таким образом, ' = 2'2 = 8 .

Теперь можем применить формулу Муавра:

(z1+z2)8 = "q4 + 2p2 cos 8 + {: sin 8 !#8 = q4 + 2p2 8 (cos +{: sin ) =

16

Im		Im
1	z2	1	z2
'2	z1	'	z1
	1 p2 Re		1 p2 Re

а б Рис. 1.1: Вспомогательные построения для примера 10.

p p

= (4 + 2 2)4( 1 + 0) = (4 + 2 2)4:

Заметим, что аналогичные геометрические рассуждения можно применять для нахождения аргумента ' суммы двух чисел z1 è z2 с равными модулями (и известными аргументами '1 è '2):

åñëè jz1j = jz2j; òî ' = '1 + '2 :

2

Im

z1 + z2

z2

'

'2 z1

'1

Re

Понятие поля

Пусть задано некоторое множество F , про элементы которого мы не делаем никаких предположений. Пусть на множестве F заданы две би-

нарные операции, которые традиционно называем сложением и умножением, хотя опять-таки не делаем никаких предположений об устройстве этих операций:

8x; y 2 F (9(x + y) 2 F );

17

8x; y 2 F (9(x y) 2 F );

т. е. опять говорим, что множество F замкнуто относительно операций

сложения и умножения.

Обозначим множество F в совокупности с операциями +; следующим образом: F = hF ; +; i, ïðè ýòîì F называется носителем F.

Говорим, что F является полем (èëè F с операциями +; образует ïîëå), если выполняются следующие девять аксиом поля:

1)	8x; y; z 2 F (x+y)+z = x+(y+z) ассоциативность сложения;
2)	90 2 F 8x 2 F (x + 0 = 0 + x = x) существование нуля;
3)	8x 2 F 9( x) 2 F (x + ( x) = ( x) + x = 0) существование
	противоположного элемента;
4)	8x; y 2 F x + y = y + x коммутативность сложения;
5)	8x; y; z 2 F (x y) z = x (y z) ассоциативность умножения;
6)	91 2 F 8x 2 F (x 1 = 1 x = x) существование единицы;
7)	8x; y 2 F x y = y x	коммутативность умножения;
8)	8x 2 F n f0g 9x 1 2 F (x x 1 = 1) существование обратного
	элемента;
9)	8x; y; z 2 F (x + y) z = x z + y z дистрибутивность.

Если хотя бы одна из аксиом не выполняется, то F не является полем. Пример 11. Из числовых множеств N è Z не являются полями7 , à Q; R è C с естественными операциями сложения и умножения обра-

зуют поля. Числовые множества, являющиеся полями (т.е. Q; R è C),

называются числовыми полями.

1.2. Задачи

1. Выполните операции: а)

1

:

3

:5

+ 2

!

2

{:

; á)

:11

;

{

{

1

+

{

+ 1

â)

:5

: 2

:17

;

ã)

:

)(4 +

:

:

; ä)

0

:

:

1

2

(1 + 3{

{

(2 +

:5

:

6{)

:

)(8

)

{

{)(13 + {)

@

(5 + {)(7

A

(2 + {)

1 + {

3 + {

7Покажите, что в множестве N не выполняется аксиома 3, а в Z аксиома 8.

18

2. Представьте комплексные числа в тригонометрической и показа-

тельной форме, изобразите точками на компëексной плоскости:

à) 2; á) 3{:; â) 4; ã) 1

{:p

; ä)

p3

+

{:

1 {::

3

2

2; å) 1 + {.

3. Даны числа

:p

p

:. Вычислите:

z1 = 1

{

3; z2 = 3 +

{

!2 ;

â)

z1

z1

:

a)

z1

á)

;

z1

z2

z2

z2

z2

4. Вычислите, используя формулу Муавра. Ответ запишите в алгеб-

раической форме:

à) (1 + {:)27;

á)

(2

p

p

{:

24;

2

2

6

)

20

â)

0

1 + p3 + {:(p

3 1)

1

;

:

@

p1

+:{p8

3

A p

:

4

p

:

2.

ã)

2(1 +

3

{

32(1 +

3

{

)

+ 128(1 +

{

)

)

3

5. Найдите значения выражений, используя формулу Муавра. Ответ

запишите в алгебраической форме:

à)

:

!

32

;

1 + cos

+

{ sin

4

4

á)

p

{:

12;

:

â)

(2 +

3) 1

;

01 + p3 + {

1

@

A

27

2

2

6. Найдите корни из комплексных чисел. Ответы запишите в алгеб-

раическойp ;

á)

p3

;

â)

p4

;

ã) p3

:;

ä) p

:; å)

4

; æ) p3

:;

форме

и изобразите

точками на комплексной ïлоскости:

à)

1

1

1

64

{

1

{

p

4

{

v3

:

p6

8 + 24: {

.

ç)

; è)

1

u

3

{

u

t

7. Постройте множества точек на комплексной плоскости:

à) jzj 3; á) 2 jzj 3; â)

< ' < ; ã)

'

2

3

3

;

ä)

jz z0j r

;

å)

jz

{:

j < 1

.

2

8.При каком n 2 N число (1 + {:)6n является целым положительным? целым отрицательным? мнимым числом?

9.Найдите вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнениям: а) (5 2{:)x + ( 7 + 3{:)y = 3 + 2{:;

á) (3 + 2{:)x + (4 + 3{:)y = 4 3{:.

10.Найдите все комплексные числа, сопряженные:

а) своему квадрату,

19

б) своему кубу.

11. Докажите, что если z + z 1 = 2 cos ', òî zn + z n = 2 cos n'. 12. Образует ли данное числовое множество поле относительно стан-

дартных операций сложенèя и умножения:

;

à)

Z

; á) ; â)

R

; ã)

p

p

Q

Q[ 2] = fp + q 2jp; q 2 Qg

ä) Z[p

f

m + np

m; n

Z ; å) Z2 =

(

a

2

Z; n

2

N);

2] =

2

a

n

:

j

2 g

2

æ)

?

Z[{] = fx + iyjx; y 2 Zg

1.3.Многочлены и алгебраические уравнения

Многочленом (полиномом) n-й степени над полем P называется вы-

ражение вида

Pn[x] = anxn + an 1xn 1 + + a1x + a0;

(1.1)

a0; : : : ; an 2 P; an 6= 0; n 2 N:

Мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением многочленов над полем R (с вещественными коэффициентами) и над полем C (с комплексными коэффициентами).

Число n называется степенью многочлена Pn[x] (пишем: deg Pn[x] = = n). Если же все коэффициенты многочлена равны 0 (такой много- член P [x] 0 мы называем нулевым многочленом), то считаем, что deg P [x] = 1.

Пусть даны два многочлена f[x] è g[x], deg f[x] = n deg g[x] = m.

Тогда существуют единственные многочлены q[x] è r[x]	такие, что
f[x] = g[x]q[x] + r[x]; deg r[x] < deg g[x]:	(1.2)

Разложение (1.2) называется делением с остатком многочлена f[x] на многочлен g[x]. Åñëè r[x] 0, говорят, что многочлен f[x] делится на

g[x] без остатка.

Многочлен f[x] называется разложимым èëè приводимым над полем

P, если найдутся два таких многочлена p[x] è q[x] с коэффициентами из P, что их степени строго меньше степени f[x] (строго больше 0) и f[x] = = p[x]q[x]. В противном случае многочлен f[x] называется неприводи-

ìûì (неразложимым) над полем P.

Под полным разложением многочлена над полем P понимают представление его в виде произведения неприводимых многочленов над полем

P.

Корнем многочлена (1.1) называется число x0 такое, что Pn[x0] = 0.

20