2014_ivleva

проти-

Âåêòîðîì

Глава 3

Пространство геометрических векторов

3.1.Геометрические векторы. Линейные операции над ними

мы будем называть направленный отрезок 1. Обозначение: a èëè AB, ãäå A è B начало и конец вектора. Длина (модуль) вектора

обозначается jaj; jABj. Вектор нулевой длины обозначается 0 и называ-

åòñÿ нулевым вектором.

Векторы, направления которых параллельны, называются коллинеарными. Обозначение: ajjb. Коллинеарные векторы могут быть сонаправ-

ленными èëè противоположно направленными (a "" b èëè a "# b).

Векторы a è b называются равными (a = b), åñëè jaj = jbj è a "" b. Îò-

сюда следует, что векторы не привязаны ни к какой точке и свободноперемещаются параллельно сàìèì ñåáå. Âåêторы называются

воположными (a = b), åñëè jaj = jbj è a "# b.

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов является вектор, для нахождения которого можно пользоваться двумя правилами: правилом параллелограмма и правилом треугольника2 .

Правило параллелограмма: суммой векторов a è b, приложенных к одной точке, называется вектор, совпадаþщий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a è b. (Сумма приложена к той же точке, что и слагаемые.)

Правило треугольника: если начало вектора b совмещается с концом

вектора a, òî суммой векторов a è b называется вектор, направленный

из начала вектора a в конец вектора b.

1Такое определение не совсем корректно и влечет некоторые противоречия. Тем не менее в целях упрощения мы вынуждены ограничиться таким определением . Во избежание упомянутых выше противоречий достаточно четко представлять себе, что вектор это геометрический объект, заданный только длиной è направлением.

2Из геометрических соображений легко понять, что эти правила эквивалентны. Заметим тем не менее, что правило треугольника более удобно при суммировании более чем двух векторов.

51

Разностью векторов a è b называется вектор c, равный сумме вектора a и вектора, противоположного b.

Произведением вектора a на действительное число называется вектор b = a такой, что: 1) jbj = j jjaj, 2) b "" a, åñëè > 0, è b "# a, åñëè

< 0.

Из этого определения следует, что

jjb () 9 2 R (

= b èëè b =

):

(3.1)

a

a

a

Вектор a0 называется ортом вектора a, åñëè ja0j = 1 è a0 "" a. Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или просто

ортом.

3.1.Задачи

1.Выразите вектор c через векторы a è b.

à)

á)

J

â)

I@

J

@

A

a

a

@ c

J

KA

c

@

a

A c

J

@

A

J

@

yX

J

A

XXX

XXX

J

b

-A

XXX

b

J

b

XX^J

2. Какому условию удовлетворяют векторы a è b:

à) åñëè ja + bj = ja bj; á) ja + bj > ja bj; â) ja + bj < ja bj?

3.В параллелограмме ABCD даны векторы AB = a è AD = b, M точка пересечения диагоналей. Найдите векторы MA, MB, MC, MD.

4.Даны векторы a è b: jaj = 3; jbj = 4; (a;cb) = 120 . Постройте вектор c = 2a 1; 5b. Найдите его длину.

5.Докажите, что сумма векторов, соединяющих точку пересечения медиан треугольника с его вершинами, равна нулевому вектору.

6.В треугольнике OAB единичные векторы направлений OA è OB

равны соответственно m è n, OM медиана. Сделайте чертеж и выразите векторы OA, OB, AB, BA, OM через m è n:

à) åñëè jOAj = 2; jOBj = 6; á) jOAj = 6; jOBj = 4.

7. Даны три компланарных единичных вектора

,

,

,

,

p

(m;cn) =

(

m

n

n; p) = . Постройте вектор u = am + bn + cp:

c

= 30 ; = 60 ; a = 2; b = 1; c = 3

à) åñëè

;

á) = 60 ; = 30 ; a = 3; b = 1; c =

2.

52

3.2.Пространство геометрических векторов

Множество геометрических векторов в совокупности с введенными в

предыдущем разделе линейными операциями над ними будем называть

пространством геометрических векторов .

Заметим, что на самом деле существует несколько пространств геометрических векторов, поскольку мы можем рассматривать векторы только на плоскости, или в трехмерном пространстве, а можем и вовсе на прямой. Договоримся только, что если мы рассматриваем пространство векторов на плоскости, то в него входят âñå векторы плоскости, и т. д. Будем обозначать эти пространства векторов, включающие векторы, ле-

жащие на прямой, на плоскости или в пространстве, соответственно V1,

V2 è V3.

Заметим, что результат применения линейных операций над векторами не выводит нас за пределы рассматриваемого пространства геометри-

ческих векторов. В частности, пусть a1; : : : ; ak векторы из Vn (n = 1; 2 или 3). Тогда сумма этих векторов, умноженных на некоторые числа

1a1 + + kak;

называется линейной комбинацией векторов a1; : : : ; ak и тоже принад- лежит Vn. Вещественные числа 1; : : : ; k называются коэффициентами

линейной комбинации.

Линейная комбинация, все коэффициенты которой равны нулю, называется тривиальной. Будем называть набор векторов системой векторов. Понятно, что тривиальная линейная комбинация любой системы векторов всегда равна нулевому вектору. А может ли нетривиальная линейная комбинация быть нулевой? Это уже зависит от заданной системы векторов.

Набор векторов a1; : : : ; ak называется линейно зависимым, если найдется нулевая нетривиальная линейная комбинация векторов этой системы, т. е. существуют такие числа 1; : : : ; k, не все одновременно равные íóëþ, ÷òî

1		1 + + k		k =	0	:	(3.2)
	a		a

В противном случае говорят, что векторы a1; : : : ; ak линейно незави- ñèìû. Таким образом, для линейно независимых векторов a1; : : : ; ak ðà- венство (3.2) возможно только тогда, когда 1 = 2 = : : : = k = 0.

Пусть дана система векторов fag = fa1; : : : ; akg. Базисом системы

53

размерно-

fag будет линейно за-

векторов fag называется максимальная (по числу векторов) линейно независимая подсистема векторов из fag.

Пример 1. Когда система из одного вектора висимой?

Решение. Для одного вектора a соотношение (3.2) перепишется так:

	a	= 0;			(3.3)

при этом линейная комбинация должна быть нетривиальная, т.е. 6= 0. Но при ненулевом соотношение (3.3) выполняется тогда и только тогда, когда a нулевой вектор.

Ответ: a линейно зависим () a = 0.

Пример 2. Когда система векторов fa; bg линейно зависима? Решение. Запишем нулевую линейную комбинацию для этой системы:

		+ b = 0;					(3.4)
	a

и, поскольку линейная комбинация нетривиальная, это означает, что6= 0 èëè 6= 0. Пусть для определенности 6= 0. Тогда из (3.4) можно

выразить a:

a = b:

Это последнее соотношение эквивалентно коллинеарности векторов a è b (см. (3.1)). Также понятно, что из коллинеарности пары векторов следует их линейная зависимосòü.

Ответ: система векторов fa; bg линейно зависима () ajjb. Максимальная (по включению) линейно независимая система векто-

ðîâ èç Vn (n = 1; 2 или 3) называется базисом пространства Vn. Словамаксимальная по включению в данном случае означают, что при добавлении к такой системе любого вектора из Vn теряется свойство линейной

независимости. Таким образом, если e1; : : : ; en базис пространства Vn, òî:

1)векторы fe1; : : : ; eng образуют линейно независимую систему;

2)8e 2 Vn система fe1; : : : ; en; eg линейно зависима.

В каждом пространстве геометрических векторов существует множество различных базисов, но они все состоят из одного и того же числа векторов. Число векторов в базисе пространства называется ñòüþ этого пространства.

Пример 3. Базисом пространства V1 является любой ненулевой век-

тор из этого пространства, поскольку любые два вектора из V1 будут коллинеарны и, следовательно, линейно зависимы (см. пример 2).

54

разложен по базису

Следующие две теоремы определяют базисы в пространствах V2 è V3.

Теорема Любая пара неколлинеарных векторов плоскости V2 îáðà- зует базис плоскости.

Теорема Любая тройка некомпланарных векторов пространства V3 образует базис V3.

Таким образом, Vn может читаться как пространство геометрических векторов размерности n .

Пусть feg = fe1; : : : ; eng базис пространства Vn, x произвольный

вектор из Vn. Тогда вектор x может быть feg, т. е. может быть представлен, причем единственным образом, в виде линейной комбинации векторов из feg.

Действительно, по определению базиса система векторов e1; : : : ; en; x

является линейно зависимой, следовательно, по определению линейной зависимости существует нулевая нетривиальная линейная комбинация векторов этой системы:

1e1 + + nen + x = 0;

причем не все коэффициенты равны нулю. Заметим, что, хотя некоторые из коэффициентов могут быть нулевые, 6= 0. Действительно, если

= 0, òî 1e1 + + nen = 0, а это равенство для линейно незави-

симой системы векторов e1; : : : ; en возможно только при всех нулевых коэффициентах, а наша линейная комбинация не является тривиальной. Поскольку 6= 0,

1

n

:

x =

e1

en = x1e1

+ + xnen:

Числа x1; : : : ; xn называются координатами вектора x в базисе feg. Пример 4. Определить, образуют ли векторы e1(1; 3; 4); e2(3; 5; 2) è

e3(1; 0; 2) базис пространства V3.

Решение. Размерность V3 равна трем, так что базис V3 должен со-

стоять также из трех векторов. Для того чтобы векторы e1, e2 è e3 îá-

разовывали базис, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимыми. Запишем их нулевую линейную комбинацию

1e1 + 2e2 + 3e3 = 0:

Теперь вместо всех векторов подставим столбцы их координат:

0 1 1

0 3 1

0 1 1

0 0 1

1

B

3

C

+ 2

B

5

C

+ 3

B

0

C

= B

0

C

;

B

4

C

B

2

C

B

2

C

B

0

C

B

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

@

A

55

0 1

1

0 3 2

1

0 3

1

0 0 1

B

3 1

C

+ B

5 2

C

+ B

0

C

= B

0

C

;

B

4 1

C B

2 2

C B

2 3

C B

0

C

B

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

@

A

0 1 + 3 2 + 3

1

0 0 1

B

3 1 + 5 2

+ 2 3

C

=

B

0

C

;

B

4 1 + 2 2

C

B

0

C

B

C

B

C

@

A

@

A

8	1 + 3 2 + 3	= 0;
>	3 1 + 5 2	= 0;
>
>
<
>	4 1 + 2 2 + 2 3 = 0:
>

>

:

Таким образом, система векторов будет линейно независима тогда и только тогда, когда полученная система линейных уравнений будет иметь только нулевое (тривиальное) решение. Ясно, что у этой системы всегда существует нулевое решение, поэтому нас интересует, единственно ли ее решение? Если решение единственно, то система будет определенной (см. с. 35) и ее матрица будет невырожденной. Найдем определитель матрицы системы линейных уравнений:

	1	3	1		=		1	3	1		=		3	5			=		12		10 =		22 = 0:
	3	5	0				3	5	0				2		4
																							6
	4	2	2				2	4 0

Итак, система линейных уравнений определенная, т. е. имеет единственное решение и (поскольку она заведомо имеет нулевое решение), таким образом, не имеет ненулевых решений, следîвательно, только тривиаль-

ная линейная комбинация векторов e1, e2 è e3 будет нулевой, значит, эта система векторов линейно независима и образуåт базис.

Пример 5. Найти координаты вектора x = (2; 3; 1) в базисе e1 = (1; 1; 1), e2 = (1; 1; 0), e3 = (1; 0; 0).

Решение. Нам нужно найти такие числа x1; x2; x3, ÷òî x = x1e1+

+x2e2 +x3e3. Записав это равенство в координатной форме (как в предыдущем примере), получим систему линейных уравнений:

8

>

> x1 + x2 + x3 = 2;

>

<

x1 + x2 = 3;

>

>

:

> x1 = 1:

Эту систему можно решать методом Крамера; то, что ее определителü не равен нулю, только подтверждает тот факт, что векторы e1, e2 è e3 образуют базис. Решая систему, получим x1 = 1, x2 = 4, x3 = 5, èëè x = e1 4e2 + 5e3.

56

3.2.Задачи

1.При каком значении из линейной независимости системы векто-

ðîâ fa1; a2g вытекает линейная независимость системы f a1 + a2; a1 +

a2g?

2. Найдите все значения , при которых вектор b линейно выражается через векторы a1, a2, a3:

à) åñëè a1 = (2; 3; 5), a2 = (3; 7; 8), a3 = (1; 6; 1), b = (7; 2; ); á) a1 = (4; 4; 3), a2 = (7; 2; 1), a3 = (4; 1; 6), b = (5; 9; ).

3. Найдите все базисы системы векторов a1 = (3; 2; 3), a2 = (2; 3; 4), a3 = (3; 2; 1), a4 = (4; 1; 2).

4. Докажите, что векторы e1, e2 è e3 образуют базис. Найдите координаты вектора x в этом базисе:

à) e1 = (1; 1; 1), e2 = (1; 1; 0), e3 = (1; 0; 0), x = (3; 2; 1); á) e1 = (1; 1; 1), e2 = (1; 1; 2), e3 = (1; 2; 3), x = (6; 9; 14);

â) e1 = (2; 1; 3), e2 = (3; 2; 5), e3 = (1; 1; 1), x = (6; 2; 7); ã) e1 = (1; 2; 1), e2 = (2; 3; 3), e3 = (3; 7; 1), x = (3; 1; 4).

5.Покажите, что тройка векторов, содержащая два коллинеарных вектора, линейно зависима.

6.Покажите, что для любых векторов a; b; c и любых чисел ; ;

система векторов a b; b c; c a линейно зависима.

7. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждый вектор одной системы есть линейная комбинация векторов другой систе- мû и наоборîò. Ïокажите, что если три вектора связаны соотношениåì

a + b + c = 0, ãäå 6= 0, 6= 0, 6= 0, то системы векторов fa; bg,

fa; cg, fb; cg, fa; b; cg эквивалентны.

8.Когда система векторов имеет единственный базис?

3.3.Декартов базис и система координат

В пространстве V3 геометрических векторов рассмотрим различные

базисы fe1; e2; e3g такие, что
e1; e2; e3 попарно перпендикулярны и je1j = je2j = je3j = 1:	(3.5)

Такие базисы называются ортонормированными. Некоторые из них похожи на другие, т. е. совмещаются при подходящих поворотах. Если брать только непохожие базисы, то останется только два, будем говорить, класса ориентации3. Представители этих классов показаны на следующем рисунке.

3 Более точное определение дано на с. 63.

57

находятся по следующим формулам

M2(x2; y2; z2) две точки в прямоугольной де-

cos2 + cos2 + cos2 = 1. p

				6							6
													3
			3									e
	e
										2
						2			e
					e						Q e1
				-
												Q
														QQs
e1
правый							левый

Правый ортонормированный базис в V3 (удовлетворяющий свойству

(3.5)) называетсÿ декартовым прямоугольным базисом. Обозначают та-

кой базис fi; j; kg. Совокупность точки O (начала координат) и базиса

fi; j; kg называется прямоугольной декартовой системой координат .

вектора

на вектор b называется

Проекцией ïð

b

a

a

a

длина вектора b0, взятая со знаком плюс , если b "" b0,

-

-

b0

b

и со знаком минус , если

"#

.

b

b0

Координаты вектора a в декартовом прямоугольном базисе являются проекциями a на координатные оси:

a = xi + yj + zk;

x = ïðia; y = ïðja; z = ïðka:

Åñëè ; ; углы, которые вектор a составляет с векторами i; j; k, òî:

x = jaj cos ; y = jaj cos ; z = jaj cos :

1

a0 = (cos ; cos ; cos ) = jaj(x; y; z).

Величины cos ; cos è cos называются направляющими косинусами

вектора a и связаны соотношением:

Длина вектора находится по формуле jaj = x2 + y2 + z2:

Вектор OM = xi + yj + zk называется радиусом-вектором точки

M(x; y; z).

Åñëè M1(x1; y1; z1) è

картовой системе координат, то вектор M1M2 имеет координаты

(x2 x1; y2 y1; z2 z1)4:

Пусть A(x1; y1; z1) è B(x2; y2; z2)

картовой системе координат, а точка

jAMj	= : Координаты точки M
jMBj

две точки в прямоугольной де- M делит отрезок AB в отношении

4Т. е. координаты вектора находятся по правилу из конца отнять начало .

58

деления отрезка в данном отношении:

	xM =	x1 + x2	; yM =	y1 + y2	; zM =	z1 + z2	:
		1 +		1 +		1 +

Если точка M середина отрезка AB, òî = 1 и тогла xM =					x1 + x2
			2 ,
	y1 + y2		z1 + z2
yM =		, zM =
	2		2 .
Замечание. Если точка M находится вне отрезка AB (так называе-
ìîå внешнее деление, то значение берется отрицательным.

Пусть a = (x1; y1; z1) è b = (x2; y2; z2) векторы в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда:

a = b () x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2;

akb () x1 = y1 = z1 ; x2 y2 z2

c = a + b () c = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2);

b = a () b = ( x1; y1; z1):

Пример 6. a = (3; 2; z); jaj = 5; (a;cOz) острый угол. Определить

z.

Решение			p
	j		j = 9 + 4 + z2 = 5;
		a
	z2 = 25 9 4; z2 = 12; z = p						:
						12

Пример 7. Даны смежные вершины параллелограмма A(2; 3), B(4; 2) и точка пересечения его диагоналей M(7; 0). Найти координаты двух других вершин.

B C

M

A D

Решение. Найдем координаты вершины C. Òàê êàê CMAC = 21 = 2 и точка C находится вне отрезка AM, то точка C делит отрезок AM

в отношении = 2. Применим формулу деления отрезка в данном отношении:

	xC =	xA 2xM	=	2 2 7	= 12; yC =	yA 2yM	=	2 2 0	= 3:
		1 2		1		1 2		1

59

Аналогично найдем координаты точки D:

x	D	=	xB 2xM			=	4 2 7	= 10; y	D	=	yB 2yM			=	2 2 0	=		2:
		1			2		1			1			2		1

Проверим правильность решения, найдя координаты векторов AB è DC (при правильном решении они должны совпадать). AB = (4 2; 2

( 3)) = (2; 5); DC = (12 10; 3 ( 2) = (2; 5) = AB. Проверка подтверждает правильность найденного решения.

3.3.Задачи

1.Укажите геометрический смысл проекций единичного вектора.

2.Докажите, что точки A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C( 1; 1; 3), D(3; 5; 3)

вершины трапеции ABCD.

3.Найдите вектор b, åñëè jbj = 75; c = 16i 15j + 12k è b "# c.

4.Даны точки A(1; 2; 3) è B(3; 4; 6). Постройте вектор AB, его проекции на оси координат. Определите длину и направляющие косинусы вектора AB.

5.На плоскости даны точки: A(1; 2); B(2; 1); C(3; 2); D( 2; 3). Äî-

кажите, что AB è AC базис. Разложите вектор CD по этому базису. 6p. Вектор r составляет с осями координат равные острые углы, jrj =

=2 3. Определите координаты вектора r.

7.Зная одну из вершин 4ABC : A(2; 5; 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами AB = (4; 1; 2) è BC = (3; 2; 5), найдите

остальные вершины и сторону CA.

8.Даны векторы p = (3; 2; 1); q = ( 1; 1; 2); r = (2; 1; 3). Найдите разложение вектора s = (11; 2; 5) по базису p; q; r.

9.Основанием правильного тетраэдра SABC служит треугольник ABC со стороной 1. SO высота пирамиды. Найдите координаты векторов OA, OB, OC, OS, если за оси прямоугольной декартовой системы координат принять прямые OA; OK; OS. OK лежит в плоскости ABC,

èточки K è C лежат по одну сторону от прямой OA5.

10.В треугольнике с вершинами A(3; 2; 1), B( 1; 0; 2), C(1; 4; 2) íàé-

дите длину медианы AM.

11.Отрезок AB разделен на 3 равные части точками M1 è M2 начиная от точки A. Найти координаты точек деления.

12.Докажите, что координаты точки пересечения медиан M треугольника ABC могут быть найдены по формулам xM = xA + x3B + xC ,

yM =	yA + yB + yC	, zM =	zA + zB + zC
	3		3	.

5Таким образом, векторы OA; OK и OS образуют правую тройку. См. с. 63.