2014_ivleva

Отклонение точки M(x1; y1) от прямой l, заданной уравнением 5), вычисляется по формуле

(M; l) = x1 cos + y1 sin :

Если точка M и начало координат находятся по разные стороны от прямой l, òî > 0, а если по одну сторону, то < 0: Расстояние от точки M до прямой l равно модулю отклонения

(M; l) = jx1 cos + y1 sin j = jAxp1 + By1 + Cj: A2 + B2

					Q	y
6) Уравнение прямой в отрезках						6
					b QQ		l
	x		y			Q
		+		= 1:			QQ	x
							Q	-
	a		b				Q
6						O	a
y				7) Если в общем уравнении 1) B 6= 0, òî,
				выразив y, получаем уравнение вида
b
l				y = kx + b, ãäå k = tg угловой коэффици-
		x

- åíò прямой l.

O

Àтеперь составим удобную таблицу различных уравнений прямой на плоскости. I

Название

Вид уравнения

Геометрический смысл

уравнения

параметров

1.

Общее уравнение

Ax + By + C = 0

= (A; B) ? l;

n

прямой

= ( B; A) k l

s

2.

Уравнение

ïðÿ-

= (A; B) ? l;

A(x x0) + B(y y0) = 0

n

ìîé,

проходящей

M0

(x0

; y0) 2 l

через данную точ-

êó

перпендику-

лярно

данному

вектору

3.

Каноническое

x x0

=

y y0

= (p; q)

k

l;

s

p

q

M0

(x0

уравнение прямой

; y0) 2 l

4.

Параметрические

8x = x0 + pt;

s = (p; q)

l;

>

k

<y = y0 + qt

M0

(x0

уравнения прямой

>

x

y

y

; y0) 2 l

x

1

1

5.

Уравнение

ïðÿ-

:

=

;

M

(x

; y

)

2

l;

x

x

y

y

2

1

2

1

1

1

1

l.

ìîé,

проходящей

M2

(x2

; y2)

2

через две точки

(y2 y1)(x x1)+

+(x1 x2)(y y1) = 0

71

Окончание таблицы

Название

Вид уравнения

Геометрический смысл

уравнения

параметров

6.

Нормальное урав-

x cos + y sin = 0

y

Z6

Z

нение прямой

Z P

Z

7Z

Z l

I

Z

Z

x

?

Z -

O

Z

> 0 расстояние от на-

чала координат до прямой

7.

Уравнение прямой

x

y

a отрезок на Ox,

в отрезках на осях

+

= 1

b отрезок на Oy

(l 6kOx, l 6kOy,

a

b

O(0; 0) 2= l)

8.

Уравнение

ïðÿ-

y = kx + b

6

ìîé

ñ

угловым

y

коэффициентом

b

(l 6kOy)

l

I

-x

O

k = tg угловой коэф-

фициент,

b отрезок на Oy

9.

Уравнение

ïðÿ-

y y0 = k(x x0)

k угловой коэффициент,

ìîé

ñ

заданным

M0(x0; y0) 2 l

угловым

êîýô-

фициентом,

проходящей через

данную точку

Замечание. Если в уравнениях вида 3 и 5 один из знаменателей обращается в ноль (два знаменателя обратиться в ноль одновременно не могут), то уравнение прямой получается приравниванием нулю соответствующего числителя.

Угол между прямыми l1 è l2 равен углу между их направляющими s1 è s2 или нормальными векторами n1 è n2:

cos ' = n1 n2 = s1 s2 : jn1jjn2j js1jjs2j

72

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то

tg' = k2 k1 :

1 + k1k2

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

l1kl2 : k1 = k2 èëè	A1		B1		èëè	p1	q1
		=					=		;
	A2		B2			p2		q2

l1 ? l2 : k1k2 = 1 èëè A1A2 + B1B2 = 0 èëè p1p2 + q1q1 = 0:

Пример 1. Дан треугольник ABC : A(1; 2); B( 2; 3); C(0; 2). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины A, найти точку D пересечения этой высоты с прямой BC и уравнение биссектрисы прямого угла \ADB.

Решение

BC = (2; 1) нормальный вектор высоты AD:

Используем уравнение 1:

2(x 1) (y + 2) = 0; 2x y 4 = 0:

Чтобы найти координаты точки D, нужно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых AD è BC. Найдем уравнение BC â

форме 3:

x + 2

y 3

=

; x + 2y

4 = 0:

2

1

Решим систему:

x = 12; y =

4; D

12;

82x y 4 = 0;

4

:

>

!

4 = 0;

5

5

5

5

<x + 2y

>

:

Направляющий вектор																			биссектрисы DN óãëà \ADB найдем как
														s
																																		7		;		14		!,							=						22		;	11	!,
сумму ортов векторов DA è DB. DA =																																											DB
																																		5				5															5			5
				1															1												7				14		! =							1					;		2			! ;
	DA0 =								DA =																							;
																																	5
				jDAj											v				49 + 196												5										p5									p5
															u
															t
															u				25					25
														1													22		;	11			! =							2		;		1				! :
		DB0					=
											v	484 + 121															5				5
																																					p5							p5
											u
											t
											u	25							25

73

M перпен-

																0		3								1			1
	s	= DA0 + DB0											=			@ p									; p				A. Уравнение биссектрисы найдем в
																					5							5
форме 3:
							12											4
					x									=			y										5x 12									5y 4	; x
							5													5				;								=							3y = 0:
							3											1								3									1
						p											p
							5											5
		Ответ. AD : 2x													y			4 = 0, D											12		;	4			!, DN : x				3y = 0.
																														5		5

5.1.Задачи

1.Прямая проходит через точки M(x1; y1) è N(x2; y2). Выразите угловой коэффициент этой прямой через координаты точек. Чему он будет равен, если M(1; 3); N(2; 4)?

2.Для данной прямой l : 2x + y 1 = 0 и точки M( 1; 2):

а) вычислите расстояние от точки M до прямой;

б) напишите уравнения прямых, проходящих через точку дикулярно прямой l и параллельно прямой l.

3. Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1) уравнение прямой AB; 2) уравнение высоты CD; 3) длину высоты CD; 4) угол между высотой CD и медианой BM; 5) уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A, åñëè:

à) A(1; 2); B(5; 4); C( 2; 0);

á) A( 3; 5); B( 2; 2); C(7; 5).

4. При каком значении m две прямые (m 1)x + my 5 = 0 è mx+ +(2m 1)y + 7 = 0 пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс?

5.pПрямая y = kx + 5 удалена от начала координат на расстояние d = 5. Найдите k.

6.Составьте уравнение прямой, проходящей через точку Q( 1; 0) перпендикулярно отрезку OQ.

7.Напишите уравнения биссектрис углов между прямыми

2x + 3y = 12 è 3x + 2y = 12.

8.Составьте уравнение прямой, если точка P (2; 3) основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

9.Докажите, что точки A(3; 5); B( 2; 7) è C(18; 1) лежат на од-

ной прямой.

10. Докажите, что прямые 24x 10y + 39 = 0 è 12x 5y 26 = 0 параллельны, и найдите расстояние между ними.

74

11. Из точки M( 5; 6) выходит луч света под углом ' = arctg( 2) ê îñè Ox, отражается от оси Ox, затем от оси Oy. Напишите уравнения всех трех лучей.

12.Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку M(8; 6)

èотсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

13.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку M( 2; 3) на одинаковых расстояниях от точек M1(5; 1) è M2(3; 7).

14.Напишите уравнения прямых, проходящих через начало координат под углом 45 к прямой y = 4 2x.

15.Даны две вершины треугольника ABC : A( 4; 3) è B(4; 1) и точка пересечения высот M(3; 3). Найдите вершину C.

16.Стороны AB è BC параллелограмма заданы уравнениями

2x y + 5 = 0 è x 2y + 4 = 0. Диагонали пересекаются в точке M(1; 4). Найдите длины высот.

17.Даны прямая l : x+2y 4 = 0 и точка A(5; 7). Найдите проекцию точки A на прямую l.

18.Две стороны квадрата лежат на прямых 5x 12y 65 = 0 è 5x 12y + 26 = 0. Вычислите площадь квадрата.

19.В треугольнике ABC найдите координаты середин его сторон и точки пересечения медиан:

à) A(7; 4), B( 1; 8), C( 12; 1);

á) A( 4; 2), B(2; 6), C(0; 2).

20. Найдите уравнение биссектрисы внутреннего угла A треугольника

ABC:

à) A(1; 2), B(5; 4), C( 2; 0), á) A(3; 3), B(7; 3), C(0; 1).

21. Даны три последовательные вершины параллелограмма A, B, C. Найдите координаты четвертой вершины D:

à) A(3; 2), B( 2; 1), C(1; 4),

á) A(5; 1), B(0; 0), C(3; 5).

22. Отрезок задан точками A, B. До какой точки C его нужно продолжить в направлении от A ê B, чтобы получить отрезок AC, длина которого было бы в раз больше длины AB:

à) A( 4; 7), B(0; 1), = 1:5, á) A( 3; 6), B(1; 3), = 5.

75

óðàâ-

5.2.Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость в пространстве

Поверхности в пространстве также будем описывать с помощью нений. Плоскость в пространстве удобнее всего задавать с помощью вектора, перпендикулярного плоскости, т. е. нормального вектора, и какойнибудь точки, лежащей на плоскости. В результате получится уравнение, аналогичное общему уравнению прямой на плоскости.

Рассмотрим различные модификации общего уравнения плоскости.

1)Ax + By + Cz + D = 0 общее уравнение плоскости, вектор n = (A; B; C) 6= 0 нормальный вектор.

2)Плоскость, перпендикулярная вектору n = (A; B; C) и проходящая через точку M0(x0; y0; z0), описывается уравнением

A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0:

Это основная формула, которой мы будем пользоваться при построении уравнений плоскостей. Для того чтобы воспользоваться ею, достаточно найти координаты любой точки на плоскости и координаты некоторого нормального вектора плоскости.

3) Плоскость, проходящая через три данные точки M1(x1; y1; z1),

M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3), не лежащие на одной прямой, описывается уравнением

x x1 y y1 z z1

= 0:

x2

x1 y2

y1 z2

z1

x3

x1 y3

y1 z3

z1

6z

c

4) Плоскость, отсекающая на осях коор-

@

динат ненулевые отрезки a; b; c, описывается

@

O @@b -y

уравнением в отрезках

x

y

z

+

+

= 1:

x

a

b

c

a

76

5) Если нормальный вектор имеет единич-

ную длину и направлен из начала координат

b

b

в сторону плоскости, то получаем нормальное

b

L

bb

b

6

b

уравнение плоскости

zbb

b 7

b

b P

b

b

x cos + y cos + z cos = 0

(5.1)

y

-

O

x

0;

OP

? L; j

OP

j = ; (

OPc; Ox) = ;

(OPc; Oy) = ; (OPc; Oz) = :

Для того чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному, нужно умножить все члены общего уравнения 2) на нормирующий

	1
множитель =	pA2 + B2 + C2	; знак противоположен знаку D.

Отклонение точки M1(x1; y1; z1) от плоскости L, заданной уравнением (5.1), находится по формуле

Опишем различные уравнения плоскости P в следующей сводной таблице.

Название

Âèä

Геометрический смысл па-

раметров

Общее

уравне-

Ax + By + Cz + D = 0

= (A; B; C) ? P

n

ние плоскости

нормальный вектор

Уравнение

A(x x0) + B(y y0) + C(z

= (A; B; C)

? P ,

n

плоскости, про-

z0) = 0:

M0(x0; y0; z0) 2 P .

ходящей

через

данную

точку

перпендикуляр-

íóþ

данному

вектору

Уравнение

x x1

y y1

z z1

= 0

M1(x1; y1; z1) 9

P .

x2

x1

y2

y1

z2

z1

M2(x2; y2; z2)

>

>

2

>

плоскости, про-

x1

y3

y1

z3

z1

M2(x2; y2; z2)

=

x3

>

ходящей

через

>

>

òðè

данные

;

точки

77

Окончание таблицы

Название

Âèä

Геометрический смысл па-

раметров

Нормальное

x cos +y cos +z cos p =

=

n

уравнение

0

(cos ; cos ; cos )

?

плоскости

P , (n) направлен в

сторону P

îò

íà÷à-

ëà

координат,

åãî

координаты

åãî

направляющие

êîñè-

íóñû, p расстояние

от начала

координат

äî P .

Параметрическое

=

0 + t1

+ t2b

0 радиус-вектор

r

r

a

r

уравнение плос-

точки M0 2 P ,

a; b

кости

неколлинеарные

âåê-

òîðû,

параллельные

P , t1, t2 параметры.

Параметрические

8x = x0 + t1p1 + t2p2;

M0(x0; y0; z0)

P ,

>y = y

0

+ t

q

1

+ t

q

;

>

1

2

2

>

2

>

<

уравнения

>z = z0 + t1r1 + t2r2

=

(p1; q1; r1) ,b

=

a

плоскости

â

>

.

>

(p2; q2; r2)

>

координатной

:

форме

Уравнение

x

+

y

+

z

= 1

a отрезок на Ox, b

a

b

c

плоскости

â

отрезок на Oy, c

отрезках

отрезок на Oz, a; b; c 6=

0.

(M1; L) = x1 cos + y1 cos + z1 cos :

Если точка M1 и начало координат находятся по разные стороны от плоскости L, òî > 0, в противном случае < 0. Åñëè = 0, то плоскость L проходит через точку M1.

Расстояние от точки M1(x1; y1; z1) до плоскости L находится по фор-

78

ìóëå

(M1; L) = j (M1; L)j = jx1 cos + y1 cos + z1 cos j =

= jAx1p+ By1 + Cz1 + Dj: A2 + B2 + C2

Исследование общего уравнения плоскости

Пусть плоскость L задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда вектор n = (A; B; C) нормальный вектор L. Заметим, что нормальный вектор ненулевой, т. e. коэффициенты A, B è C не могут обра-

щаться в ноль одновременно.

В следующей таблице приведены результаты исследования общего уравнения плоскости L.

A = 0	L k Ox
B = 0	L k Oy
C = 0	L k Oz
D = 0	L проходит через начало координат

Прямая в пространстве

Прежде всего заметим, что прямая в пространстве не может быть задана одним уравнением. Поэтому будем говорить об уравнениях прямой в пространстве. Проще всего задать прямую с помощью точки и направления. Направление задается ненулевым направляющим вектором, направление которого параллельно прямой аналогично тому, как это делается для описания прямой на плоскости 1.

Опишем различные способы построения уравнений прямой в пространстве.

1) Прямая, проходящая через точку M0(x0; y0; z0) параллельно направляющему вектору s = (p; q; r), описывается каноническими урав-

нениями	x x0		y y0		z z0
		=		=		;
	p		q		r

èëè параметрическими уравнениями

8

>

> x = x0 + pt;

>

<

y = y0 + qt;

>

>

:

> z = z0 + rt:

1Таким образом, плоскость в пространстве описывается с помощью точки и нормального вектора, а прямая с помощью точки и направляющего вектора.

79

2) Прямая, являющаяся пересечением двух плоскостей, описывается

общими уравнениями

8

< A1x + B1y + C1z + D1 = 0; : A2x + B2y + C2z + D2 = 0;

A1

B1

2

+

A1

C1

2

+

B1

C1

2

= 0:

A2

B2

A2

C2

B2

C2

6

Последнее условие означает, что плоскости не параллельны и, следовательно, пересекаются по прямой.

3)Прямая, проходящая через две несовпадающие точки M1(x1; y1; z1)

èM2(x2; y2; z2), описывается уравнениями

x x1 = y y1 = z z1 :
x2 x1	y2 y1	z2 z1

Если при этом один или два знаменателя обращаются в ноль, это означает, что к нулю нужно приравнять соответствующие числители.

Опишем различные уравнения прямой l в следующей сводной таблице.

Название

Âèä

Геометрический смысл па-

раметров

Общие уравне-

8A1x + B1y + C1z + D1 = 0;

n1

=

(A1; B1; C1),

>

ния прямой в

<A2x + B2y + C2z + D2 = 0;

n2

(A2; B2; C2)

>

C

2

A

C

2

=

пространстве

:

1

+

1

1

+

нормальные векторы

B

1

B2 C2

A2

C2

непараллельных плос-

2

A1

B1

= 0

костей, задающих пря-

B2

мую как линию пере-

A2

6

сечения

Канонические

x x0

=

y y0

=

z z0

= (p; q; r) l

íà-

s

уравнения

p

q

r

правляющий

jj

вектор,

прямой в про-

M0(x0; y0; z0) 2 l

странстве

Параметрические

8x = x0 + pt;

s

= (p; q; r) l

>y = y

0

+ qt;

íà-

>

>

jj

>

<

уравнения пря-

>z = z0 + rt

правляющий

вектор,

мой в простран-

>

M0(x0; y0; z0)

l

,

t

>

>

ñòâå

:

параметр

2

80