2014_ivleva

Глава 4

Произведения векторов

4.1.Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов a è b называется число, рав-

ное произведению длин векторов a è b на косинус угла между ними.

Обозначается через (a; b) èëè ab:

ab = jajjbj cos(a;cb) = jajïðab = jbjïðba:

Свойства скалярного произведения

1)

ab = ba;

2

? b;

a

2)

(b +

) =

a

c

ab + ac;

7)

= 0 () 6 j

j = 0;

ab

a

3) (

)b = (

a

ab);

2

2;

6

b

=

0;

4)

a

= aa = a

6

j

j

j

j

4

8) работа силы

F

, действующей на ма-

5)

cos(

ab

a; b) =

c

j

a

jjbj;

териальную точку при переìещении ее

=

b

из начала в конец вектора s, вычисля-

a

a

6)

ïðb

jbj (геометри-

ется по формуле: A =

F

(физический

s

ческий смысл);

смысл).

Векторы a è b называются ортогональными, åñëè ab = 0. Понятие

ортогональности векторов эквивалентно понятию перпендикулярности их направлений, если считать, что нулевой вектор перпендикулярåí ëþ-

бому вектору1. Обозначать эту ситуацию мы будем через a ? b. Åñëè

векторы a = (x1; y1; z1) è b = (x2; y2; z2) заданы своими координатами в

прямоугольном декартовом базисе 2 , то их скалярное произведение вы- числяется по формуле

ab = x1x2 + y1y2 + z1z2;

в частности,

q

a2 = x21 + y12 + z12; jaj = x21 + y12 + z12;

1Это вполне разумное допущение, и мы так и будем считать впредь. То, что нулевой вектор не имеет направления, следует понимать так, что он направлен во все стороны одновременно. Отсюда, в частности, вытекает то, что нулевой вектор параллелен любому вектору, и в то же время он перпендикулярен любому вектору, в том числе самому себе.

2Эта же формула верна в любом другом ортонормированном базисе.

61

cos(						x1x2	+ y1y2 + z1z2				:
	a; b) =
	c				qx12 + y12		+ z12qx22 + y22			+ z22

Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1; 1; 2), B(0; 3; 2)

è C(1; 2; 0). Найти угол при вершине C, проекцию AB íà AC, длину высоты BD, опущенной из вершины B.

Решение

cos C =

CB CA

;

jCBjjCAj

CB

= ( 1; 1; 2);

CA

= (0; 3; 2);

CB

CA

= 0 3 4 = 7;

p

p

p

p

j

CB

j = 1 + 1 + 4 = 6; j

CA

j = 0 + 9 + 4 = 13:

cos C =

p

7

=

p7

) C тупой угол.

6 13

78

AB

AC

;

AB =

AB = (

1; 4;

4); AC = (0; 3;

2):

ïð

AC

j

AC

j

( 1; 4; 1)(0; 3; 2)

=

12 + 2

=

14

:

ïð

AB =

AC

p0 + 9 + 4

p13

p13

= v

(1 + 16 + 16)

196

=

AB2

ïð

2

BD =

AB

AC

r

u

13

u

t

v

v

= u429 196

= u

233

:

u

13

u

13

t

t

, BD = v

7

14

233

Ответ. C =

arccos

, ïð

AB =

.

AC

p

p

13

78

13

u

t

4.1.Задачи

1.В каком случае скалярное произведение векторов равно проекции одного вектора на направление другого?

2.Проверьте, верны ли равенства, если a = jaj; b = jbj:

à) aa = a2; á) a2a = a3; â) (a a)b = a2b;

ã) a2a = a3; ä) (ab)2 = a2b2:

3.Дан вектор a = 2m n, ãäå m è n единичные векторы, угол между которыми 120 . Найдите cos(a;cn), cos(a;cm).

4.При каком значении параметра векторы a = i 3j + 2k è b =

=i + 2j k ортогональны?

62

3 ;

2

3

5.Íà îñÿõ Ox; Oy; Oz отложены отрезки, равные 4, и нa них построен куб. Пусть M центр верхней грани, N центр правой боковой грани. Определите векторы OM è ON и угол между ними.

6.Найдите проекцию вектора a = (4; 3; 2) на ось, составляющую с

координатными осями равные острые углы.

7. Вычислите работу, производимую силой F = (3; 2; 5), åñëè òî÷-

ка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2; 3; 5) в положение B(3; 2; 1).

8.Даны векторы a = (3; 1; 5) è b = (1; 2; 3). Найдите вектор m, åñëè m ? Oz; m a = 9; m b = 4.

9.В плоскости xOy найдите вектор p, ортогональный вектору a =

=(5; 3; 4) и имеющий одинаковую с ним длину.

10.Найдите угол между биссектрисами углов xOy è yOz.

11.Единичные векторы a; b; c удовлетворяют условию a + b + c = 0. Вычислите ab + bc + c a.

12.Докажите, что вектор p = (ac)b (ab)c ортогонален вектору a.

13.При каком условии вектор (a + b) ортогонален вектору (a b)?

14.Упроститå:

(3i 2j)j + (j 2k)j (i 2j)2.

15. Найдите угоë между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a è b, åñëè:

à) jaj = 2, jbj = 1, (a;cb) =

á) jaj = 3, jbj = 2, (a;cb) =

.

16.Какой угол образуют единичные векторы p è q, если векторы a =

=p + 2q è b = 5p 4q: а) перпендикулярны; б) параллельны?

4.2.Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов e1; e2; e3 называется правой, если для наблюдателя, находящегося в конце вектора e3, êðàò-

чайший поворот от e1 ê e2 происходит против часовой стрелки. В противном случаå тройка называетñÿ левой3. Векторным произведением векторов a è b (обозначается [a; b] èëè a b) называется вектор c, îïðå-

деляемый следуþщими условиями:

1)c ? a; c ? b;

2)jcj = jajjbj sin(a;cb);

3)åñëè a 6jjb, то векторы a; b; c образуют правую тройку.

3Заметим, что это определение согласуется с рисунком на с. 57.

63

e3			e	*	e3	e	*
			2			1
	]
PPP		PP			PPP
e1					PP
			qP		e2	Pq
а) правая тройка;					б) левая тройка;

6c

b 1I PPPP

a PPq

â) c = a b:

Заметим, что векторное произведение, в отличие от скалярного, задается только в трехмерном пространстве геометрических векторов V3.

Свойства векторного произведения

1)akb () a b = 0 (критерий коллинеарности векторов);

2)a b = b a;

3)a b = (a b);

4)(a + b) c = a c + b c;

5)площадь параллелограмма, построенного на векторах a è b, вычис-

ляется по формуле S = ja bj (геометрический смысл).

Если векторы a è b заданы координатами a = (x1; y1; z1); b = (x2; y2; z2) в прямоугольном декартовом базисе, то

a b = (y1z2 y2z1; x2z1 x1z2; x1y2 x2y1);

или (в символической записи4)

xi1

yj1

k

y1

z1

x1

z1

+

x1

y1

b =

z1

=

i

j

k:

a

y2

z2

x2

z2

x2

y2

x2

y2

z2

Ìåõанический смысл веêторного произведения состоит в следующем: если F вектор силы, а r радиус-вектор точки приложения силы,

имеющий свое начало в точке A , mA(F ) момент силы F относительно точки A, òî

mA(F ) = r F :

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + n è b = m 2n, ãäå jmj = 3; jnj = 1; (m;cn) = 23 .

Решение. S = ja bj; a b = (2m + n) (m 2n) =

= 2m m 4m n + n m 2n n = 4n m + n m = 5n m:

4См. пример 4 со с. 31.

64

p

p

S = j5

j = 5j

jj

j sin

2

= 5 3

3

15

3

n

m

n

m

=

:

3

2

2

Пример 3. Найти площадь треугольника ABC: A(1; 2; 3); B(3; 2; 1);

C(1; 1; 0).

Решение. Если достроить треугольник ABC до параллелограмма ABCD,

1

1

òî S4ABC =

SABCD =

jBA BCj;

2

2

BA

= ( 2; 0; 2);

BC

= ( 2; 3; 1);

j

k

i2 0 2

CJJ

D

BA BC =

= 6

i

6

j

+ 6k;

J

2

3 1

J

J

1

J

S4ABC =

2

p36 + 36 + 36 =

3p3:

B

A

4.2.Задачи

1.Можно ли сделать вывод, что a = c, åñëè a b = c b?

2.При каком условии ненулевые векторы a; b; a b образуют базис

трехмерного пространства? 3. Докажите равенство

tg(a;cb) = jaab bj:

4. Êàêèì êоординатным плоскостям параллельны векторы a i, a j, a k?

5.Даны вершины треугольника ABC: A(1; 1; 2), B(5; 6; 2), C(1; 3; 1). Вычислите длину высоты, опущенной из вершины B.

6.Ñèëà P = (2; 2; 9) приложена к точке A(4; 2; 3). Определите величину и направляющие косинусы момента силы относительно точки

C(2; 4; 0).

7. С помощью векторного произведения найдите вектор m, зная, что он ортогонален векторам a è b, è m c = 10. a = (2; 3; 1), b = (1; 2; 3),

c= (1; 2; 7).

8.Зная две стороны треугольника ABC: AB = 3p 4q è BC = p+5q, вычислите длину его высоты CD, åñëè:

à) jpj = jqj = 1; (p;cq) = 2 ;

á) jpj = 2; jqj = 3; (p;cq) = 3 .

9.Вектор m перпендикулярен векторам a = (4; 2; 3) è b = (0; 1; 3)

èобразует с осью Oy тупой угол. jmj = 26. Найдите координаты векто-

ðà m.

65

Смешанным произведением

10.Найдите вектор m, åñëè mj = 3; m j = 2k.

11.Äàíî: a b = c d, a c = b d. Докажите, что (a d) è (b c)

коллинеарны.

12.Найдите ja bj, åñëè jaj = 10; jbj = 2 è ab = 12.

13.Угол между векторами a è b равен 4 ; jaj = jbj = 5. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах a 2b è 3a + 2b.

14.Определите и постройте вектор c = a b, åñëè a = 2i + 3j, b =

= 3j + 2k.

15. Äîêàæèòå, ÷òî: à) (a b)2 a2b2;

á) 8 a; b; c; d 2 V3 (a d; b d; c d компланарны); в) (a b)2 + (ab)2 = a2b2.

16. Упростите:

à) (a + b) (a b) + 3a (a + 2b) + (2a + 3b) a;

á) (a + 2b 3c) (a b) + (a + c) (b + c) + (3a + b) (b c).

17. Вычислите площаäü параллелограììà, äèагонали которогî определяют векторы d1 = 3m + n è d2 = m 5n, åñëè jmj = jnj = 1,

(m;cn) = 4 .

4.3.Смешанное произведение

упорядоченной тройки векторов a; b; c называется число, равное скалярному произведению вектора a b на вектор c. Обозначение: abc = (a; b; c) = (a b)c. Так же как и векторное, смешанное произведение определяется только в V3.

Свойства смешанного произведения

1)abc = bca = cab = acb = bac = cba;

2)( a)bc = (abc);

3)(a1 + a2)bc = a1bc + a2bc;

4)векторы a, b è c компланарны тогда и только тогда, когда abc = 0.

Геометрический смысл смешанного произведения

66

1

6 объема соответствующего паралле-

Модуль смешанного произведения

abc ðà-

вен объему паралëелепипеда, построенного

на векторах

a; b è c, а знак отвечает за ори-

c

ентацию тройки

a; b; c : abc > 0, если тройка

b *

-

правая, и

abc < 0 в противном случае5.

a

Åñëè âåêòîры заданы своèми координатами в декартовом прямоугольном базисе: a = (x1; y1; z1); b = (x2; y2; z2); c = (x3; y3; z3), то их смешанное произведение вычисляется по формуле

x1 y1 z1

					x2	y2	z2		:
abc =
					x3	y3	z3

Пример 4. Проверить, лежат ли точки A(2; 3; 4), B(2; 3; 4), C( 2; 3; 4), D(2; 3; 4) в одной плоскости, найти объем тетраэдра ABCD.

Решение. Найдем векторы: AB(0; 6; 8); AC( 4; 6; 0); AD(0; 6; 0): Вы- числим их смешанное произведение

0 6 8

AB		AC		AD =			0	6	0		=		6		(

Поскольку смешанное произведение отлично от нуля, векторы некомпланарны и, следовательно, точки A; B; C и D не лежат в одной плос-

кости.

Так как объем тетраэдра равен лепипеда, имеем

	1								1
VABCD =		jAB AC ADj =										192 = 32:
	6								6

4.3.Задачи

1.В каком случае параллелепипед, построенный на трех векторах,

имеет наибольший объем?

jabcj

2. Какой геометрический смысл имеет выражение ja bj äëÿ ïèðà- миды, построенной на некомпланарных векторах a; b; c?

3. Вектор c перпендикулярен векторам a и b, угол между которыми равен 6 , jaj = 6; jbj = jcj = 3. Вычислите jabcj.

5А если abc = 0, то по свойству 4) векторы a, b и c компланарны, т. е. линейно зависимы, и, следовательно, вопрос об ориентации этой тройки не ставится.

67

4.Докажите тождество: (a + b)(b + c)(c + a) = 2abc.

5.Докажите аналитичесêè è ãåîìетрически, что для любых векторов a; b; c векторы (a b), (b c), (c a) компланарны.

6.Даны вершины пирамиды OABC. Вычислите объем, площадь грани ABC, высоту пирамиды, опущенную на эту грань, если:

à) A(5; 2; 0); B(2; 5; 0); C(1; 2; 4); á) A(3; 5; 6); B(3; 6; 5); C(0; 2; 4):

7.Докажите, что векторы a = i + 3j + 2k, b = 2i 3j 4k,

c = 3i + 12j + 6k компланарны. Разложите вектор c в базисе a; b.

8. Найдите объем тетраэдðà, ðàñïоложенного в первом октанте, по-

строенного на векторах OA; OB; OC, если эти векторы направлены по

биссектрисам координатных углов и длина каждого из них равна двум. 9. Äîêажите, ÷òî îбъем параллелепипеда, построенного на векторах

a; b; a b, равен ja bj2.

10. Объем тетраэдра ABCD равен 5. A(2; 1; 1); B(3; 0; 1); C(2; 1; 3). Найдите вершину D, если она лежит на оси Oy.

11. Докажите:

à) (a + b)a(c + b) = abc; á) jabcj jaj jbj jcj;

â) åñëè a b + b c + c a = 0, òî a, b, c компланарны.

12. Докажите, что для любых чисел и выполняется равенство

ab(c + a + b) = abc:

Глава 5

Линейные геометрические объекты

5.1.Прямая на плоскости

Аналитический подход к изучению геометрических объектов, таких как кривые и поверхности, заключается в описании этих объектов их

уравнениями. Уравнение F (x; y) = 0 называется уравнением кривой

(на плоскости), если выполняются два условия.

1. Координаты любой точки M(x; y) 2 удовлетворяют уравнению

F (x; y) = 0;

2. Любая точка M(x; y), координаты которой удовлетворяют уравнению F (x; y) = 0, принадлежит кривой .

Таким образом, кривая состоит из всех точек, координаты которых

удовлетворяют ее уравнению.

Для того чтобы задать прямую, нужно определить ее направление и расположение. Направление определяет класс параллельных прямых, и, для того чтобы из них выбрать одну, достаточно указать координаты любой точки на прямой. С другой стороны, если зафиксировать точку прямой, то мы зададим класс прямых, проходящих через данную точку. Все они отличаются направлением, задав которое мы определим прямую. Таким образом, для того чтобы определить прямую (и в дальнейшем построить ее уравнение), требуется задать ее направление и произвольную точку на прямой.

Направление удобнее всего задавать с помощью вектора. На плоскости это можно сделать двумя способами. Ненулевой вектор, направление ко-

торого перпендикулярно прямой l, называется нормальным, а ненулевой вектор, направление которого параллельно прямой, направляющим вектором прямой l. Направление прямой на плоскости может быть задано с

помощью любого из описанных векторов. При этом длина нормального и направляющего векторов не имеет значения, поскольку эти векторы служат только для задания направления прямой.

Заметим также, что нормальный и направляющий векторы прямой ортогональны. Следовательно, если нормальный вектор имеет коорди-

íàòû (A; B), то в качестве направляющего вектора можно взять вектор с координатами ( B; A).

69

Приведем некоторые способы задания прямой.

						1) Прямая, проходящая через точку M0(x0; y0)
						перпендикулярно (нормальному) вектору					=
	y									n
						= (A; B), описывается уравнением A(x				x0)+
Q6
		n
	QQ					+B(y
	Q							y0) = 0. Таким образом, для нахождения
	Q
		Q		Q		уравнения прямой на плоскости нам достаточно
	M0				x
				Ql		знать координаты некоторой точки, принадлежа-
				Q-
	O			Q
						щей прямой, и координаты некоторого нормаль-

ного вектора прямой.

2) Ax + By + C = 0 общее уравнение прямой. Уравнение такого ви-

äа получается из уравнения вида 1) ðаскрыванием скобок. Здесь вектор n = (A; B) нормальный, а вектор s = ( B; A) направляющий.

3) Прямая, проходящая через точку

y

M0(x0; y0) параллельно (направляющему)

6

l

вектору

= (p; q),

описывается канониче-

M

s

0

ñêèì уравнением

s

x

x x0 = y y0 :

O

-

p

q

Таким образом, можно задать прямую и с помощью направляющего вектора. Также можно записать параметрические уравнения

8 x = x0 + pt;

< y = y0 + qt;

ãäå

параметр,

:

1

äî

1

.

t

изменяющийся от

y

6

4) Прямая, проходящая через две несовпа-

дающие точки M1(x1; y1) è M2(x2; y2), описы-

M2

вается уравнением

-x

x x1

y y1

M1

O

=

или общим уравнением

x2 x1

y2 y1

(y2 y1)(x x1) + (x1 x2)(y y1) = 0:

5) x cos + y sin = 0; 0

нормальное уравнение прямой l, радиус-вектор

OP ? l; jOP j = ; (OPc; Ox) = : Чтобы пе-

рейти от общего уравнения 2) к нормальному, надо все его члены умножить на нормирующий

множитель = p 1 противо-A2 + B2 , çíàê

положен знаку C.

y
Z6
Z
Z P
Z
7Z	Z l
I	Z
	Z	x
?	Z -

OZ

70