2014_ivleva

																										К главе 4
																															4.1
1.	ab0 = ïð													, ãäå jb0j = 1. 2.												Верные равенства б), в).
													a
												b
															2																			5																						5
3.		cos(					a;cn) = p													, cos(a;cm) =														2p				. 4.						= 6. 5.									cos ' =
																																																								6.
																	7																				7
6.		p				. 7. 31. 8.																												0						15			;		25			1. 10.								3	.
				3											(2;							3; 0).				9.							=
																																p
																																																					3	. 11.
																										v								@p17										p17A												2
13.			a				= b . 14.											6. 15. à)											3		, á)			5								. 16.					à)				, á) 0 èëè .
																										u								p		p
		j j							j j
																													7																		3
																																								19
																										u								7
																										t					4.2

2.			6kb. 4.					Y OZ; XOZ; XOY . 5.																						h = 5.
		a
		28; cos =									3		; cos =											6								2
6.																											; cos =							. 7. (7; 5; 1). 8.
											7													7									7
9.										. 10.																				16. 13.							p		. 14.
	( 6; 24; 8)														2i + 3j									. 12.
																																			S = 50 2
16.	à)								; á)																										p		.
							b							b +															b			. 17.
				3		a						a								a			c			+ 5		c							4 2

19

à) 3; 8; á) 2 .

6i 4j + 6k.

																																		4.3																						p
																																		p							p
3.			27. 6.						à)																															7						; á)												43
																																															V = 3; S =										2 ; H =
																V = 14; S = 6 3; H =																							3 3
		p																																p
	18				.		7.																				.	8.					2 2																						.
											c = 5a + b
	43
			43																															3 . 10. D1(0; 7; 0); D2(0; 8; 0)
																																		К главе 5
																																		5.1
1. k =						y2 y1												=				y1 y2										; k = 7. 2. à) 1											; á) x 2y +5 = 0; 2x+y = 0.
3.			à) 1)												x1							x1								, 2)									5						, 3)			p ,
						x2																						x2											p
								3x 2y 7 = 0
																																		2x + 3y + 4 = 0													h = 13
														1
4) cos ' =										p								, 5) 5x + y 3 = 0;
															17																																p
á) 1)				7x			y + 16 = 0																			, 2)													, 3)										,
																														x + 7y 42 = 0																h = 6 2
													p
									3							10												y + 1 = 0.
4) cos ' =																			, 5) 2x
														10
4. m =								7										k = 2. 6. x = 1. 7. x + y 4; 8 = 0; x y = 0.
							12. 5.
8. 2x+3y 13 = 0. 10.																													7		. 11. 2x+y+4 = 0; 2x y+4 = 0; 2x+y 4 = 0.
																													2
12.				3x 2y 12 = 0; 3x 8y + 24 = 0. 13.																																									2x + y + 5 = 0 èëè y 3 = 0.
																		1																														6
14.				y = 3x; y =																				x.				15. C(4; 5). 16.												h1 = h2							= p					. 17.			A(2; 1).
																							3
																																																		5
																																																	13							7
18.				49			êâ. åä. 19. à)																									M1(3; 2) (середина AB), M2(																							;		) (середи-
																																																						2		2

161

5 5

íà BC), M3( 2; 2) (середина AC), M( 2; 1); á) M1( 1; 4) (середи-

2

íà AB), M2(1; 2) (середина BC), M3( 2; 0) (середина AC), M( 3; 2).

20. à) 5x + y 3 = 0, á) 5x + y 12 = 0. 21. à) D(6; 3), á) D(8; 4). 22. à) C(2; 5), á) C(17; 9).

5.2

1. à) 2x+3y+4z 3 = 0, á) 5x+11y+7z 22 = 0. 2. à) 10x 6y z 2 = 0, á) x + 6y + 8z 19 = 0. 3. à) 3x y = 0, x + 3y = 0, á) x + y = 0,

. 4. à)

p

, á)

45

. 5. à)

p

, á)

. 6.

1)

; 2)

x y = 0

6

p347

2

2

1

2x z = 0

z + y 1 = 0; 3) x y = 0;

x

y 5=3

z 7=3

4) x

1 = 0. 7. 4x

y

2z

4 = 0. 8.

=

=

3

p

4

5 .

9.

x a

=

y b

=

z c

4 2

x + 2y + 3z

11 = 0;

. 10.

3

. 12.

à)

0

b

c

á) x 2y + z + 5 = 0. 13.

8x 5y + z 11 = 0. 14. x + 2y 2z 1 = 0.

x

y

z

1

15.

=

=

; sin ' =

p

. 16.

(5,5,5). 17.

(3,3,3).

3

1

1

11

18. A(0; 2;

3); B(3; 0;

2); C(9;

4; 0). 19.

x 2

=

y 3

=

z + 5

2

4

5 .

21.

à)

x 1

y + 3

z

; á)

x 11

y 20

z 19

=

=

=

=

. 25.

à) 1) = 7,

2)

,

1

, 3)

,

, á) 1)

0

, 2)

,

, 3)

6

,

1

1

2

1

= 7 = 3 = 7 6= 3

6= 1 = 1 = 9 = 1

6= 9. 26. à) SxOy = 12, SyOz = 4, SxOz = 6, V = 8,

12

h =

, Sîñí = 14,

7

120

á) SxOy = 240, SyOz = 400, SxOz = 48,

V

= 3200,

h =

p

, Sîñí

=

70

p

. 27.

à)

, á)

r = (0; 3; 2) +

80 70

r = (5; 0; 1) + t1( 2; 0; 1) + t2(0; 3; 2)

t1(3; 2; 3) + t2( 1; 0; 3). 28. à) r = (3; 1; 2) + t1( 3; 2; 1) + t2( 1; 1; 0), á) r = (0; 1; 3)+t1(3; 1; 4)+t2(1; 0; 2). 29. à) r = (1; 2; 1)+t1(3; 1; 2)+ t2( 2; 0; 1), á) r = (2; 3; 0)+t1(1; 2; 3)+t2(3; 0; 1). 30. à) r = (2; 1; 2)+ t1(3; 2; 0) + t2( 1; 3; 2), á) r = ( 3; 1; 1) + t1(2; 3; 1) + t2( 2; 1; 3).

						К главе 6
						6.1
1.	à) (3; 1; 1); á) (1; 2; 2); â) (2; 2; 3); ã) (3,4,5).
2.	а), в), д) система несовместна; б)						8 x	=	10z + 1;
	8 x1						< y	=	7z;
ã)		= x3;				2x3:	:
	< x2	=		1=3
	:

162

3. Система имеет единственное решение, если 6= 1 èëè 6= 2. Система имеет бесконечное множество решений, если = 1. Система несовместна, если = 2.

4.

à) (1; 2;

2); б) система несовместна; в)

8 x1

= 5x2 + 3x3 10;

8

2

< x4

= 7x2 4x3 + 14;

г) (3,2,1); д) система несовместна; е)

x

:

1

4

;

= 2 + 2x

5=8x

8 x1 = 9x2 4x3 + 8;

< x3 = 1 + 17=8x4;

æ)

ç)

8 x1:

= 3=2x2 1=16x4 + 1=2;

è)

< x4 =

11x2 + 5x3 10;

< x3

=

11=8x4;

:

(1;

1:; 2; 0).

система несовместна; к)

1. à) c 3 1 5

T; á)

c1

2 1 0

T

6.2

3 0 1

T; â) x1 = x2 = x3 = 0;

+ c2

T

T

ã) c 7 2 5

T; ä)

c1 8 6 1 0 T;+ c2 7 5 0 1

;

T

T

å) c1 2 0 5 7 + c2 0 1 5 7

æ) c1 1 1 1 1 0 0

T

+c2

1 0 0 0 1 0

+c3 0 1 0 0 0 1

T.

0 3=2 1

0 5=2 1

0 13=2 1

2. à) X = B

7=2

C

+ 1 B 7=2

C

+ 2

B

19=2

C;

B

0

C

B

1

C

B

0

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

0

C

B

0

C

B

1

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

0	31=6	1		0	1=2		1
á) X = B	2=3	C	+ 1	B	2=3		C; â)
B	7=6	C		B		1=2	C
B		C		B			C
B		C		B		1	C
B	0	C		B			C
B		C		B			C
@		A		@			A

0	0	1		0	1		1		0	0	1
B	0	C	+ 1	B	0		C	+ 2	B	1	C
X = B	1	C		B		8	C		B	4	C.
B		C		B			C		B		C
B		C		B			C		B	0	C
B	0	C		B	0		C		B		C
B		C		B			C		B		C
B		C		B			C		B		C
B	1	C		B	2		C		B	1	C
B		C		B			C		B		C
@		A		@			A		@		A

3. Ïðè = 0 система несовместна.

		0		4
		B	9 5		16
Ïðè		B
	= 0 X = B
	6	B		5
		B
		B	0
		B
		B	1
		B
		B
		@

	1	0	5		1
			3
	C	B		8	C
	C	B			C
	C	+ B			C	:
			5
	C	B			C
	C	B			C
	C	B	1		C
	C	B			C
	C	B			C
	C	B			C
	C	B			C
	A	@	0		A

К главе 7

7.1

1.à) äà; á) äà; â) ïðè n > 1 нет, иначе да; г) да; д) нет; е) да; ж) да; з) 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) нет.

2.à) íåò; á) äà; â) íåò. 6. à) r = 2, базис x1 è x2; á) r = 2, базис x1 è x2.

8. à) äà; á) äà; â) íåò. 9. (0; 2; 0; 1; 0; : : : ; 0). 10. (0,2,1,2).

163

12. x	2	2; 1; x 1. 13.	à)	0	1	1	1 1		0 2 0			1 1
				B	2	1	0	C; á)	B	0	1	0	C.
				B	2	0	0	C	B	1	0	0	C
				B				C	B				C
				@				A	@				A

7.2

1. à), á) åñëè a 6= 0, то нет, иначе да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) нет; з) да.

	0 1 0			0	1	0 0		0	0 1		0 0		1	0 1
2. à)	B	0	1 0		C; á)	B	0 1 0			C; â)	B	1 0 0			C;
	B	0	0	1	C	B	0	0	1	C	B	0	0	1	C
	B				C	B				C	B				C
	@				A	@				A	@				A

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

ã) B

0 1 0

C; ä)

B

0 1 0

C; å)

B

1 2 0

C;

B

0 0 1

C

B

0

0 1

C B

0 1 3

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

0 cos

sin

0

1

0

1

0

2

1

æ)

B sin

cos

0

C; ç)

B

0

0

0

C.

B

0

0

1

C

B

2

0

4

C

B

C

B

C

@

A

@

A

0 2 0 1 8 x0

= 2x;

(x0)2

(y0)2

.

3.

à)

1

>

1

â)

+

= 1

0

> y0

=

y;

4

1=4

B

C

<

B

C

2

2

- è

4.

@

Aменяются местами

- è

-я строчки и

-й столбцы.

В матрице

>

i

j

i

j

>

:

0 1 0 2 1 1

0 2 0

1

0

1

5. à) A0 =

B

2 3 5 1

C; á) A0 =

B

1 4 8 7

C.

B

3

1 0 2

C

B

1

4

6

4

C

B

C

B

C

B

C

B

1

3

4

7

C

B

1 1 2 3

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

0 1 2

2

1 0 18 10 39 1

6. à)

B

3 1 2

C; á)

B

5 3 10 C.

B

2

3

1

C

B

9

5

20

C

B

C

B

C

@

A

@

8

0

A

0

1

0

19

10.

à) r' = 3; d' = 0; Im' =

1

1

; e2 =

1

; e3 =

1

>e1 =

0

0

2

>;

>

>

>

B

C

B

C

B

>

<

C=

B

0

C

B

2

C

B

0

C

>

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A>

>

>

>

>

8

:

1

19

8

0

1

1

;

0

1

19

0

1

; Im' =

2

1

á) r' = 2; d' = 1; Ker' = >e =

>

>e1 =

; e2 =

>.

>

>

>

>

>

B

>

>

B

C

B

>

<

C=

<

C=

B

1

C

B

1

C

B

0

C

>

B

C

>

B

C

B

C

@

A>

@

A

@

A>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

;

:

;

7.3

0 5 1

1. à) 1 = 7; e1 = 0 1 1 ; = 0; 2 =

1; e2 =

; = 0;

@

1

A

6

@

3

A

6

01

á) 1 = 2 = 1; e = @ 1 A ; 6= 0; 1

в) собственных чисел и векторов нет;

164

01

1

ã) 1 = 2	= 3	B		C	; 6= 0;
		= 1; e = B	1	C
		B		C

@A

1

0

1

0

1

10

ä) 1 = 2

= 3

= 2; e = 1

B

2

C

+ 2

B

0

C

; 12

+ 22

6= 0;

B

C

B

C

B

C

B

C

@

0

A

@

1

A

0

1

1

0

1

1

å) 1 = 1; e1 = C1

B

1

C

; 2 = 3

= 0; e2 = C2

B

2

C

; C1 6= 0; C2 6= 0;

B

1

C

B

3

C

B

C

B

C

@

A

@

A

0

1

1

0

1

1

0

1

1

æ) 1 = 1; e1 = C

B

1

C

; 2 = 3

= 2; e2 = 1

B

1

C

+ 2

B

0

C

;

B

1

C

B

0

C

B

3

C

B

C

B

C

B

C

2

2

@

A

@

A

@

A

C 6= 0; 1

+ 2 6= 0;

0

2

1

0

1

1

+ 2

2

2

ç) 1 = 2 = 1; e1 = 1 B

1

C

B

0

C

; 1

+ 2 6= 0; 3 = 1 ;

B

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

01

	0	3	1	0	1	1
e2	= B	5	C	; 6= 0; è) = 1; e = B	2	C	; 6= 0.
	B	6	C	B	1	C
	B		C	B		C
	@		A	@		A

2. à) = a, e любой ненулевой вектор;

á) 1 = 1; e1 = xi; 2 = 0; e2 = yj + zk; â) = 0; e = xi.

01

3.

cos

sin .

@ sin

cos

Aвокруг оси

4.

Oz и растяжение в p2 ðàç ïî âñåì îñÿì;

а) поворот на 45

б) поворот вокруг прямой

x

=

y

=

z

120 ; в) проектирование на

1

1

1 íà

прямую

x

=

y

=

z

y = z; д) поворот

1; г) проектирование на плоскость

0

1

вокруг прямой

x

=

y

=

z

180 ; е) симметрия относительно плоскости

1

1

0 íà

y = x; ж) поворот вокруг оси Oz на 90 , проектирование на плоскость zOy; з) проектирование на прямую x1 = y1 = z1; и) поворот на 30 ïî часовой стрелке вокруг оси Oy.

							7.4
	0		0	0		0	1
2. a)	B		1 0			0	C, (0; 1; 0), (1; 2; 1), (1; 2; 0);
	B						C
	B						C
	@		0	0		0	A

165

	0			0				0		0			1
á)	B						0	1		0			C																				1), (3; 1; 1);
	B												C
	B												C
	@												A
	0							0		0			0 1
				0
â)	B						1 0 0						0					C, (1; 0; 0; 0), (0;																2; 0; 1), (3; 1; 3; 1), (3; 1; 0; 1);
	B						0	1		0			0					C
	B						0	0		0			0					C
	B																	C
	B																	C
	B																	C
	@																	A
	0		0					0		0		0 1
ã)	B						1 0		0 0									C, (0; 0; 1; 0), (1;																7; 4; 2), (0;										1; 0; 0), (1; 3; 0; 0);
	B						0	0		0		0						C
	B						0	0		1		0						C
	B																	C
	B																	C
	B																	C
	@																	A
	0					0		0		0		0 1
ä)	B						1 0			0 0								C, (1; 0; 0; 0), (														1;			1;		1;			1), (0; 0; 1; 0), (													1;		1; 0; 0).
	B						0 0			0 0								C
	B						0	0		1		0						C
	B																	C
	B																	C
	B																	C
	@						0											A					1 0															0 1 0								0	0		0	1
								2 0												0									1 0
5. a) B																							C; á) B																C; â)					B		0 0			1 C;
							B	1								2				0			C B							1						1		0	C B							1	0		0	C
								0				0									2									0				0				3
							B																C			B													C					B						C
							@																A			@													A					@						A
																																							0								0		0	0 1
																																										1				0
	0						1	0		0		0					1 0													0				0			1
																									1	0
							1 1 0					0															1 1		0					0					B				1 1				0 0 0					C
ã)	B																	C; ä)				B																C; å) B					0 0				1	0 0				C;
	B		0 1 1											0 C								B 0 0									1 0							C	B													C
							0	0		0		1																											B													C
	B																	C B																				C	B				0 0 0					2		0 C
	B																	C				B																C	B													C
	B																	C				B			0	0				1						1		C
	B																	C				B																C	B													C
	@																	A				@																A	B													C
																																							B													C
																																							@													A
	0																0				0					0	1
							0	0		0
	B						1	0		0							0				0					0	C
	B						0	1		0							0				0					0	C
	B																										C
æ) B																											C.
							0	0		0								1			0					0
	B																										C
	B																										C
	B						0	0		0												1				0	C
	B																1										C
	B																										C
	B						0	0		0							0									2	C
	B																				0						C
	B																										C
	@																										A

6. à)		04e 3		2 2e1; á) 250 0 24					251; â)
		@6e 6		4 3eA			@ 25		26A
	1	1	; ä) 03e 1			e	3e + 11
ã)	01	11		B	3e	e + 3 3e 3C.
	@	A		B3e 1		e + 1		3e	C
				B					C
				@					A

		0	1
	1	7	1
		@ 1	9A;
	4

166

																К главе 8
																8.1
1.	à) äà; á) íåò; â) äà; ã) íåò. 2. à) íåò; á) íåò; â) äà; ã) íåò.
3.	à) äà; á) íåò; â) íåò; ã) äà; ä) íåò. 4. à) äà; á) äà.
				= p									= p				cos ' =			p			24	.
5.			jj			27;				b	jj				283;
		a
	jj								jj							; cos ' = v						7641
6.	cos ' =								4			: 7.		2					5		.
							p							3
									406								u
																	t

8. à) x

y

1 +

+ x y

(x2

+

+ x2 ) (y2

+

+ y2);

á)

j

1

2

n

nj q

1

n

. 1

n

ab f(t)g(t) dt

ab f2(t) dt

ab g2(t) dt

R

R

R

p

1

1

6

9. jjf(t)jj

= p

; jjg(t)jj = p

; ' = arccos

(a; b) = 4.

. 10.

2

3

8.2

6. à) e0

= (1; 2; 2); e0

= ( 2=3;

2=3;

1=3); e0

= (6;

3; 6);

1

2

3

á) e0 = (1; 1; 1); e0

= (4=3; 4=3;

8=3); e0

= ( 1; 1; 0).

1

2

3

7. à) e3 = (1; 1; 1; 0); e4

= ( 1; 1; 0; 1); á).e3 = (2; 3; 1; 0); e4 = (1; 1; 1; 1).

1; 2p

3(t 1=2); 6p

9.

55(t2 t + 1=6)

8.3

1.

Поворот на угол вокруг начала координат по часовой стрелке.

2.

à)

f1

p

p

p

p

p

= (1= 2; 1

2; 0); f2 = (1=

18; 1= 18; 4 18);

0

9

0

0

1

B

C

f3 = (2=3; 2=3; 1=3); A10 = B

0 9 0

C;

B

C

p

p

@

0

0p

27

A

p

á)

f1 = (1= 2; 0; 1 2); f2 = (1= 2; 0; 1 2);

0

1

0

0

1

f3 = (0; 1; 0); A20 =

B

0 1 0

C;

B

0

0

2

C

B

C

@

A

â)

p

p

p

p

p

f1 = (1= 2; 0; 1 2); f2 = ( 1= 6; 2= 6; 1 6);

f3 = (1=p

; 1=p

; 1=p

0

0

0

0

1

3

3

3); A30 = B

0 0 0

C.

B

0

0

6

C

B

C

@

A

3. à) 1 = 2; 2 = 3; 3 = 4; e1 = (1; 1; 0); e2 = (1; 0; 1);

0

2

0

0

1

e3 = (1; 1; 0); A1

=

B

0 3 0

C;

B

0

0

4

C

B

C

@

A

á) 1 = 1; 2 = 3; 3 = 3; e1 = ( 15; 8; 9); e2 = (1; 0; 1);

167

01

1 0 0

e3	= (5; 0; 1); A2	B		3 0		C
		= B	0			C;
		B				C
		@	0	0	3	A

в) матрица не может быть диагональной.

	0	0	1	0	1		0	0	0	0	1
4. à) A =	B	0	0	2	C	; A =	B	1	0	0	C	;
	B	0	0	0	C		B	0	2	0	C
	B				C		B				C
	@				A		@				A

0 0 1 0 1

0 0 2=3

0

1

á) A =

B

0 0 3

C ; A =

B

1 0 1=2

C

:

B

0 0 0

C

B

0 4=3

0

C

B

C

B

C

@

A

@

A

10.

A; C; A + C:

К главе 9

9.1

1.

(x 4)2 + (y + 3)2 = 17. 2. C( 1; 5); r = 5. 3. à) " = 4=5; á) 7, 3.

2

2

2

p

4.

à)

4x

+ 9y

; á)

2;

24x 36y + 36 = 0

y = 2 + 3 6x x

2

p

3

p

3

p

2; ã)

.

â)

2

; ä)

2

y = 2

x = 3

4y y

3 6x x

x = 3 + 2 4y y

2

5.

à)

(x0)2

+

(y0)2

= 1; C(3; 1); " =

2

9

5

3;

á)

(x0)2

(y0)2

3

+

= 1; C( 1; 2); " =

.

25

16

5

y

6

2

3

x

-

1

6. 4

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

7.

x2

+

= 1. 8.

à)

+

= 1; á)

+

= 1; â)

+

= 1;

3

2

169

144

100

64

5

1

ã)

x2

+

y2

= 1; ä)

x2

+

y2

= 1. 9.

x2

+

y2

= 1 èëè

x2

+

y2

= 1. 10.

16

64

12

48

25

16

25

9

1

1

x2

y2

S = 12. 11. d = 8. 12.

à) " = p

; á) " =

+

= 1 èëè

2. 13.

100

64

3

x2

+

y2

= 1.

64

100

14.

5x2 + 9y2 + 4x 18y 55 = 0.

168

9.2

p

1.

p

p

3

73

x2

y2

. 3.

F1

( 73; 0); F2(

73; 0); y =

x; " =

= 1

8

8 . 2.

15

10

(x 3)2

(y 2)2

1

p

2p

x2

=

1; y = 2

6x + 13; x = 3

y2

4y + 3.

4

1

2

4.x2 + 10x + 8y + 33 = 0 èëè (x + 5)2 = 8(y + 1).

5.à) (x0)2 (y0)2 = 1; C(1; 2); á) (x0)2 = 1y0; C(1; 3). 3 75=4 4

6. à)

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

= 1; á)

= 1; â)

= 1; ã)

= 1;

36

64

4

5

64

36

576

100

x2

y2

. 7.

8

p

,

p

. 9.

x2

y2

.

ä) 16

5

r2

60

9 = 1

S = 5. 8. r1 = 9

= 5

40 = 1

!

10.5; 94 . 12. à) jmj > 4:5; á) m = 4:5; â) jmj < 4:5.

13. à) x2+10x+8y+33 = 0; á) y2 4x 4y+28 = 0; â) x2 8x 8y+24 = 0. p

14. p = 2 34, F (9; 8). 15. p = 4, F (2; 3), y = 1.

9.3

1. а) эллипсоид; б) однополостный гиперболоид; в) двуполостный гиперболоид; г) конус; д) параболоид; е) гиперболический параболоид; ж) эллиптический параболоид; з) параболический цилиндр; и) парабо-

лоид с вершиной (0,0,2); к) гиперболический параболоид.

2.

31:25 ñì.

9.4

1. à) 6(x0

)2 + 3(x0 )2

; e ( 2=3; 1=3;

2=3), e ( 2=3;

2=3; 1=3),

2

3

1

2

e3(1=3; 2=3; 2=3);

á) 15(x0 )2

+ 3(x0 )2; e

(

2=3; 1=3;

2=3), e

(1=3;

2=3;

2=3),

2

3

1

2

e3( 2=3; 2=3; 1=3);

p

p

p

p

p

â)

9(x10

2

+ 9(x20

2

9(x30 )

2;

,

,

)

)

e1(1=

5; 2=

5; 0)

e2( 4=

45; 2=

45; 5=

45)

e3( 2=3; 1=3; 2=3).

0

1

2 = 0

1;

2. à)

(x0)2

+ (y0)2 = 1; O0(

4

;

2

);

1 =

1

;

2

;

2

;

1

e

e

2

5 5

@p5

p5A

@ p5

p5A

á) (y0)2 = 4p

x0; O0(2; 1);

1

= 0

1

;

1

1 ;

2

= 0

1

;

1

1;

2

e

e

2

2

@p2

p2A

@ p2

p2A

â)

(x0)

(y0)

= 1; O0(1; 1);

1 = 0

3

;

2

1

;

2 =

0

2

;

3

1;

e

e

4

9

@p13

p13A

@p13

p13A

ã) (x0)2 =

5

; O0

(

3

;

3

);

1 = 0

2

;

1

1

;

2 =

0

1

;

2

1.

e

e

2

4

2

5

10

2

@2p5

p5A

@p

5

p5 A

2

2

(x0)

(x0)

(y0)

(y0)

(y0)

p2

; ã) (x0)

3. à)

+

; á)

= 1; â) (x0)2 =

y0

+

= 1;

9

4 = 1

25

9

2

16

9

ä) (x0)2 = 2y0

; å) (x0)2

(y0)2

= 1.

1

4

169

(x0)2

(y0)2

(z0)2

4.

à)

+

+

= 1; O0(1; 2; 1); эллипсоид;

2

1

2=3

1 = (12=3; 2=3;22=3);

2 = (2=3; 1=3; 2=3);

3 = (2=3; 2=3; 1=3);

e

e

e

á)

(x0)

(y0)

= 2z0; O0(1; 2; 3); гиперболический параболоид;

2

1

1 = ( 2 2=3; 1=23; 2=3);

2

2 = (1=3; 2=3; 2=3);

3 = (2=3; 2=3; 1=3);

e

e

e

â)

(x0)

+

(y0)

(z0)

=

1; O0

(0; 1;

2=5); двуполостный гиперболоид;

4=5

4=15

4=25

p

p

p

p

.

1 = (1= 2; 1= 2; 0);

2 = (1= 2; 1= 2; 0);

3 = (0; 0; 1)

e

e

e

5.

2

2

Это пара параллельных плоскостей

4y

+ 4yz + z 4y 2z 224 = 0.

2

с каноническим уравнением 0y0

1

1

= 45.

@

p5A

170