2014_ivleva

Глава 9

Кривые и поверхности второго порядка. Квадратичные формы

Уравнение кривой второго порядка в общем виде выглядит следующим образом:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0:

Для каждой кривой второго порядка существует такая система координат, называемая канонической, в которой это уравнение принимает один из следующих канонических видов:

	2		2
1)		x	+	y		= 1		эллипс;
		2		2
		a			b
2)	x2				y2		= 1	гипербола;
		a2			b2
3)	x2		+	y2			= 1 мнимый эллипс;
		a2		b2
	2		2
4)		x	+	y		= 0		точка;
		2		2
		a			b
5)	x2				y2		= 0	пара пересекающихся прямых;
		a2			b2

6) y2 = 2 x парабола;

7) x2 = a2 пара параллельных прямых;

8) x2 = 0 прямая (точнее, пара совпадающих прямых); 9) x2 = a2 пара мнимых параллельных прямых.

Случаи 3) и 9) задают на действительной плоскости пустые множества1, случаи 4), 5), 7) и 8) также являются вырожденными. Интерес

представляют эллипс, гипербола è парабола.

9.1.Окружность и эллипс

Эллипс множество точек плоскости, сумма расстояний от которых

1Такие кривые (и в дальнейшем поверхности) второго порядка мы будем называть мнимыми.

141

до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная:

jMF1j + jMF2j = 2a:

	d1	6b -			d2	-		Если в системе координат Oxy òî÷-
							êè F1( c; 0) è F2(c; 0) фокусы эл-
	r1			r2
				c			липса, то уравнение эллипса принима-
							-
						a	x ет следующий канонический âèä:
F1				F2
								x2	y2
								a2 + b2		= 1:
											c
Числа a è b полуоси эллипса, a2 = b2 + c2, ãäå jF1F2j = 2c; " = a < 1
эксцентриситет эллипса, r1 = jF1Mj; r2 = jF2Mj										фокальные ра-
							a
диусы эллипса, прямые x = " называются директрисами эллипса è
обладают следующим свойством: r1								= r2 = ".		y
							d1	d2		6
Окружностью			называется				частный
случай	эллипса,		ïðè	котором			a	= b.			-
x2 + y2	= a2
		уравнение окружности								0	a x

радиуса a с центром в начале координат.

Пример 1. Привести уравнение 25x2 50x + 4y2 + 16y 59 = 0 ê

каноническому виду; построить кривую.

Решение. Выделим в уравнении полные квадраты:

y

y0

6

6

25(x2 2x + 1) 25 + 4(y2 + 4y + 4) 16 59 = 0;

1)2

+ 4(y + 2)2

= 100;

(x 1)2

+

(y + 2)2

= 1:

-

25(x

O

x

4

25

-

Обозначим:

8 x0 = x 1

:

O0

x0

< y0 = y + 2

В новой системе координат:O0x0y0 получаем канониче-

ское уравнение эллипса:

(x0)2

(y0)2

+

= 1:

2

2

2

5

9.1.Задачи

1.Напишите уравнение окружности, для которой отрезок AB является диаметром, A(3; 7); B(5; 1).

142

2. Найдите центр и радиус окружности, заданной уравнением

x2 + y2 + 2x 10y + 1 = 0:

3. Постройте эллипс, заданный уравнением 9x2+25y2 = 225. Найдите: а) эксцентриситет;

б) расстояния от точки M, лежащей на эллипсе и имеющей абсциссу

x0 =

5

2 до фокусов.

4. Составьте уравнения:

y

а) эллипса;

6

б) верхней его полови-

íû;

2

в) нижней половины;

г) правой половины;

-

д) левой половины.

O

3

x

5. Приведите уравнения эллипса к каноническому виду. Постройте эллипс, найдите его эксцентриситет:

à) 5x2 + 9y2 30x + 18y + 9 = 0;

á) 16x2 + 25y2 + 32x 100y 284 = 0. p

6. Постройте кривую: x = 3 8 y2 2y.

7. Напишите уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точкpè которой до точек F1( 1; 0) è F2(1; 0) остается постоянной и равной 2 3.

8. Составьте каноническое уравнение эллипса, зная, что: а) малая ось равна 24, фокусное расстояние равно 10; б) большая ось равна 20, эксцентриситет " = 35;

в) расстояние между директрисами равно 5, между фокусами 4; г) большая ось равна 8, расстояние между директрисами 16; д) расстояние между директрисами равно 32 и " = 12.

9.Найдите каноническое уравнение эллипса, если площадь ромба, вершины которого находятся в фокусах и вершинах эллипса, равна 6,

àего периметр равен 20.

10.Найдите площадь равнобедренного треугольника, вершина которого лежит в фокусе эллипса, а основание проходит через другой фокус.

2

11. Эксцентриситет эллипса " = 5, расстояние от точки M эллипса до директрисы равно 20. Вычислите расстояние от точки M до фокуса,

одностороннего с этой директрисой.

12. Определите эксцентриситет эллипса, если:

143

а) расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;

б) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.

13.Найдите каноническое уравнение эллипса, если его параметры об-

разуют арифметическую прогрессию, а уравнения директрис имеют вид x = 503 .

14.Составьте уравнение эллипса, если известны его экстцентриситет

2

" = 3, фокус F (2; 1) и уравнение соответствующей директрисы x = 5.

9.2.Гипербола, парабола

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина посто-

янная.

A

y

6d2

A

M

Если в системе координат Oxy ôî-

A

кусы имеют координаты

F1;2( c; 0), òî

AA

r2

A

a

x

уравнение гиперболы выглядит следую-

A

щим каноническим образом:

-

F1

A

F2

A

x2

y2

A

A

a2 b2 = 1:

Параметр a называется вещественной полуосью, à b мнимой полуосью

гиперболы.

x2

y2

F1;2(0; c)

Если в системе координат Oxy фокусы имеют

координаты

,

то каноническое уравнение гиперболы имеет вид

= 12, ïðè

a2

b2

ýòîì a мнимая и b вещественная полуоси, прямые

y

=

b

x

a

асимптоты гиперболы, " =

c

> 1 эксцентриситет гиперболы, r1 =

a

= j

F1M

j; r2 = j

F2M

j фокальные радиусы гиперболы, вычисляемые по

формулам

левая ветвь

правая ветвь

r1 = a "x, r2 = a "x

r1 = a + "x, r2 = a + "x

Прямые x = a" директрисы гиперболы, обладающие тем же свойством, что и директрисы эллипса.

Параметры a; b; c связаны соотношением a2 + b2 = c2.

2Это уравнение иногда называют каноническим уравнением сопряженной гиперболы .

144

Пример 2. Привести уравнение кривой к каноническому виду, построить кривую: 4x2 9y2 24x 36y 36 = 0.

Решение. В уравнении кривой выделим полные квадраты:

4(x2 6x + 9) 36 9(y2 + 4y + 4) + 36 36 = 0;

4(x 3)2 9(y + 2)2 = 36; (x 3)2 (y + 2)2 = 1: 9 4

:

8 x0	= x 3;	O0(3;		2):
< y0	= y + 2;

В новой системе координат O0x0y0 ïî- лучаем каноническое уравнение гипербо-

ëû:	(x0)2		(y0)2
				= 1:
	32		22

Q y

6

y0

6

QQ

O

-

Q

x

Q

Q

Q

Q

-

Q

QQ

x0

O0

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы). Параметр

параболы p расстояние от фокуса до директрисы.

y

6

p

z}|{

F (p2; 0)

	Если в системе координат Oxy óðàâ-
		p
	нение директрисы имеет вид x =
-			2
	и фокус F 2; 0!, то уравнение парабо-
x		p
	лы принимает следующий канонический
	âèä:
		y2 = 2px:

Пример 3. Составить уравнение параболы и построить ее, если ось ее симметрии параллельна оси Oy, точка M(3; 0) принадлежит параболе

и ее вершина находится в точке A(1; 1).

Решение. Åñëè A вершина параболы, ось симметрии параллель-

íà îñè Oy, то ее уравнение имеет вид (x 1)2						= 2p(y 1). Òàê êàê
парабола проходит через точку M,						y	6	6y0
то координаты ее удовлетворяют								O0	x-0
уравнению	параболы: (3 1)2 =								-
	. Èòàê,					O			x
= 2p(0	1); 4 = 2p; p = 2
искомое уравнение параболы3 имеет
âèä (x 1)2 = 4(y 1):

3Параметр параболы p равен расстоянию от фокуса до директрисы и не может быть

отрицательным. То, что в уравнении появился минус, означает лишь неканоническую ориентацию параболы.

145

9.2.Задачи

1.Постройте гиперболу, заданную уравнением 9x2 64y2 = 576. Íàé-

дите координаты фокусов, уравнения асимптот, эксцентриситет.

2. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний îò каждой точ-

ки которой до точки F (5; 0) и прямой x = 3 равно " = v

5

.

3

u

y

6

u

t

3. Составьте

уравнение

3

гиперболы,

åå

верхней,

1

нижней, правой

и левой

половины.

-

x

1

5

4.Составьте уравнение параболы, фокус которой находится в точке F ( 5; 3), уравнение директрисы y = 1. Постройте параболу.

5.Определите тип кривой по данному уравнению. Приведите уравнение к каноническому виду. Постройте кривую:

à) 25x2 50x 4y2 16y 66 = 0; á) 4x2 8x y + 7 = 0.

6. Составьте каноническое уравнение гиперболы, зная, что:

а) уравнения асимптот y = 43x и расстояние между фокусами равно

	20;
	б) расстояние между директрисами равно	8		" =	3
		3	и эксцентриситет		2;

в) уравнения асимптот y = 34x и расстояние между директрисами равно 1245;

г) уравнения асимптот y = 125 x и расстояние между вершинами равно 48;

д) уравнения асимптот y = 34x и уравнения директрис x = 165 . 7. Найдите площадь треугольника, образованного асимптотами и ди-

ректрисой гиперболы 4x2 y2 16 = 0.		2				y	2
8. Через правый фокус гиперболы	x							= 1 проведен перпенди-
	80				20

куляр к фокальной оси. Найдите фокальные радиусы точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.

9. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в верши- x2 y2

нах эллипса 100 + 64 = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

146

10. На гиперболе

x2

y2

= 1 найдите точки, для которых отношение

16

9

фокальных радиусов равно

41

9 .

11. Докажите, что расстояние от фокуса гиперболы

x2

y2

= 1 äî åå

a2

b2

асимптоты равно b.

5

12. Определите, при каких значениях m прямая y =

x + m:

2

x2

y2

а) пересекает гиперболу

= 1;

9

36

б) касается ее; в) проходит вне этой гиперболы.

13. Составьте уравнение параболы, зная ее фокус и уравнение директрисы:

à) F ( 5; 3), y = 1; á) F (7; 2), x 5 = 0; â) F (4; 3), y + 1 = 0. Постройте параболу.

14.Дана вершина параболы A(6; 3) и уравнение ее директрисы 3x5y + 1 = 0. Найдите параметр параболы и ее фокус.

15.Найдите параметр, фокус и уравнение директрисы для параболы

y = 18x2 12x + 32.

9.3.Поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка в общем виде выглядит следующим образом:

a11x2 +a22y2 +a33y2 +2a12xy +2a13xz +2a23yz +2b1x+2b2y +2b3z +c = 0:

Существует система координат, в которой это уравнение принимает один из 17 канонических видов. Нас интересуют следующие невырожденные и не мнимые канонические уравнения:

z

1. Эллипсоид

y

x2

+

y2

+

z2

= 1:

a2

b2

c2

x

147

z

2. Однополостный гиперболоид
x2	y2	z2		y
a2 + b2 c2 = 1:
			x
z		3. Двуполостный гиперболоид
y		x2	y2	z2
x		a2	+ b2 c2 = 1:
4. Конус				z
x2	y2	z2		y
a2 + b2 c2 = 0:			x
z		5. Эллиптический параболоид
			x2	y2
y			z = a2 + b2 :
x

z

6. Гиперболический параболоид

	x2	y2
z =				:
	a2		b2

y

148					x

7. Эллиптический цилиндр		z
x2	y2
a2	+ b2 = 1:

x y

8. Параболический цилиндр

z

y2 = 2px; p > 0:

x

y

9. Гиперболический цилиндр		z
x2	y2
a2	b2 = 1:

x y

9.3.Задачи

1.Установите тип заданных поверхностей и постройте их:

x2

y2

z2

x2

y2

z2

à)

+

+

= 1; á)

+

= 1; â) x2 + y2 z2 = 1;

4

9

16

16

9

4

ã) x2 y2 = z2; ä) x2 + y2 = 6z; å) x2 y2 = 6z; æ) z =

x2

y2

+

;

4

9

ç) x2

= 6z; è) z = 2 + x2 + y2; ê)

x2

y2

= 6z:

4

9

2. Переворачиваем зонтик ручкой вверх, укладываем внутреннюю поверхность зеркальными осколками, ставим над этим сооружением кастрюлю с водой и ждем, пока вода закипит. Солнце, конечно, в зените, а поверхность приближенно параболоид вращения. Вопрос: на какой высоте нужно поставить кастрюлю, если диаметр зонтика 1 м, а глубина20 см?

9.4.Квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду

Квадратичной формой n переменных x1; : : : ; xn называется однород-

149

ный многочлен второй степени относительно этих переменных:

(x1; : : : ; xn) = a11x21+a12x1x2+ +a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+ +annx2n;

(9.1)

или, в матричном виде (x1; : : : ; xn) = XTAX, ãäå

01

X = B	x1	C	; A = (aij)n n:
	.
B		C
B		C

@A

xn

На самом деле, квадратичную форму следует рассматривать как функцию, ставящую в соответствие каждому элементу x евклидова простран-

ñòâà En некоторое вещественное число (x)4 . Тогда в (9.1) есть не что иное, как функция от координат вектора x.

Заметим, что матрица A, называемая матрицей квадратичной формы, всегда симметрична, поскольку мы всегда можем потребовать, чтобы aij = aji, так как это коэффициенты при равных произведениях xixj è

xjxi.

Но поскольку в записи (9.1) используются координаты вектора, эта запись зависит от выбранного базиса, и, следовательно, от базиса зависит также и матрица квадратичной формы. Пусть E и E0 два базиса En, A

матрица квадратичной формы в базисе E, а A0				в базисе E0. Тогда
A0 = T T	AT 0	!E	:	(9.2)
E0!E	E

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования координат. Поскольку при невырожденном линейном преобразовании базис переходит в базис, матрицы двух эквивалентных квадратичных форм будут связаны соотношением вида (9.2).

Каноническим видом квадратичной формы называется эквивалентная ей квадратичная форма, содержащая только квадраты переменных:

		0	1	0	: : :	0		1
0(x1; : : : ; xn) = 1x12 +		+ nxn2 = XTBX; B = B	0	2	: : :	0		C	:
		B .			... .			C
		B						C
		B						C
		B	0	0	: : :		n	C
		B						C
		@						A

Таким образом, матрица квадратичной формы в каноническом виде диагональна. Базис, в котором квадратичная форма принимает канониче- ский вид, называется каноническим.

4С этой точкм зрения квадратичная форма определяется через билинейную форму A: (x) = A(x; x) (см., например, [2]).

150