2014_ivleva

тождественный оператор) является нильпотентным. Жорданов базис для оператора совпадает с таковым для исходного оператора ', а жорданова форма выглядит почти точно также, только по диагонали у нее идут не нули, а числа .

Но чаще нам встречается ситуация, когда линейный оператор имеет несколько различных собственных чисел.

Пусть теперь характеристическое число оператора ', " тожде-

ственный оператор. Тогда оператор				= ' " имеет ненулевое ядро и,
	=	(V ) V собственное							2
следовательно, Im					подпространство, т. е.
имеем цепочку убывающих подпространств V								(V ) (V ) : : : ,
которая стабилизируется на каком-то шаге. Пусть								k наименьшее на-
туральное число с условием			k(V ) =	k+1(V ). Корневым подпростран-
ством, относящимся к характеристическому числу								, назовем подпро-
странство
	V = Ker		k = fx 2 V j k(x) =				g:
						0
Понятно, что оператор		íà V является нильпотентным, поэтому по

теореме 1 в V существует жорданов базис, в котором матрица [ ] имеет

клеточно-диагональный вид, состоящий из жордановых клеток с нулевой диагональю. Таким образом, в этом базисе

0

1

00 : : : 0

B

1 ..... ..

.

0

C

B . .

. 0

C

B

C

B

0 : : : 1

0

C

B

C

[ ] = [' "] = ['] E =

B

.

..

C

;

B

C

B

C

B

0

0

. . .

0

C

B

C

B

C

B

1

..

.

.

C

B

C

B

C

B

0

.

.

..

.

..

0

C

B

C

B

C

B

0

: : :

1

0

C

B

C

@

A

тогда

0

1

0 : : : 0

B

1 ..... ..

.

0

C

B . .

. 0

C

B

C

B

0 : : : 1

C

B

C

['] = [ ] + E =

B

.

..

C

B

C;

B

C

B

0

. . .

0

C

B

C

B

C

B

1

..

.

.

C

B

C

B

C

B

0

.

.

..

.

..

0

C

B

C

B

C

B

0

: : :

1

C

B

C

@

A

121

следовательно, матрица оператора ' в жордановом базисе корневого подпространства имеет жорданову форму с характеристическим числомна диагонали. Легко понять, что корневое подпространство являет-

ся инвариантным относительно оператора '. Пусть теперь 1; : : : ; s все различные характеристические числа оператора ' с кратностями

m1; : : : ; ms, т. е. характеристический многочлен имеет вид:

f[ ] = ( 1)n( 1)m1 ( s)ms:

Справедлива

Теорема 2. Пространство V разлагается в прямую сумму корневых подпространств:

V = V 1 V 2 V s;

при этом размерности корневых подпространств равны кратностям соответствующих характеристических чисел в характеристическом многочлене оператора '.

Вот, наконец, и стало понятно, как нужно искать базис, в котором матрица линейного оператора имеет жорданову форму. Этот базис нужнособрать из жордановых базисов корневых подпространств.

На предыдущих примерах мы видим, что, зная базис подпространства, мы можем найти его жорданов базис. Значит, надо научиться находить базисы корневых подпространств.

	Пусть, как и выше, характеристическое число оператора ', =
'		", [ ] = ['		k. Ýòî	E = N. Нам нужно найти базис подпро-
				"] = [']

странства V = Ker	удобно делать по следующему алгоритму.

1. Составляем матрицу (EjNT) и приводим ее к правоступенчатому виду

(EjNT) (B1jC1); ãäå C1 правоступенчатая матрица :

Тогда строки матрицы B1, продолжением которых служат нулевые строки матрицы C1, дают нам базис Ker .

2. Составляем матрицу (B1jC1jC1NT) и приводим ее к правоступен- чатому виду (B2jC10 jC2). Тогда строки матрицы B2, окончанием которых

служат нулевые строки матрицы C2, являются базисом подпространства Ker 2.

Процесс продолжаем до тех пор, пока в матрице Ck не получится нулевых строк столько, какова кратность корня в характеристическом многочлене оператора '. При этом те строки матрицы Bk, окончанием которых служат нулевые строки матрицы Ck, образуют базис корневого

122

образуют базис

подпространства V , а ненулевые строки матрицы Ck прямой суммы оставшихся корневых подпространств.

После этого начинаем аналогичный процесс, только на первом шаге вместо матрицы E слева берем марицу Ck, а вместо NT = AT E áå-

рем матрицу N1T = AT E, где следующее характеристическое число матрицы A. Перебрав все характеристические числа, получим базисы всех корневых подпространств. Заметим, что продолжением строк, образующих базисы корневых подпространств в матрице Bk, служат в

точности ниль-слои, начинающиеся с этих базисных векторов и образованные матрицей NT = AT E. Из этих ниль-слоев получаем готовую

жорданову таблицу для нахождения жорданова базиса V .

Пример 8. Найти жордановы базисы корневых подпространств оператора ', определяемого матрицей A, и жорданову форму матрицы A в базисе, собранном из этих базисов.

	0	1	2	2	3	0	1
A =	B	1	2	2	0	1	C
	B	1	1	1	1	1	C
	B						C
	B						C
	B	0	2	2	0	0	C
	B						C
	B	2			4	3	C
	B		3	1			C
	B						C
	@						A

Решение. Прежде всего найдем характеристический многочлен и характеристические корни матрицы A. Сделаем это так, как показано в разделе 7.3 или в [1, 8.3.5]:

f[ ] = 5 + 7 4 19 3 + 25 2 16 + 4 = ( 2)2( 1)3;

1 = 2 = 2; 3 = 4 = 5 = 1: N = AT 2E:

	01 0 0 0 0		1		1 1			0 21
		0 1 0 0 0		2	0		1		2 3
	B									C
(E N) =				2	2
	B0 0 1 0 0						1 2 1C
j	B									C
	B			3	0					C
	B0 0 0 1 0						1		2 4C
	B									C
	B					1 1				C
	B0 0 0 0 1		0					0 1C
	B									C
	@									A

00 0 0 0 1		0 1 1				0 11
	1 0 0 0 0		1	1 1		0 2
B							C
			2		1	2
B0 1 0 0 0				0			3C
B							C
B			2	2	1		C
B0 0 1 0 0						2	1C
B							C
B			3	0			C
B0 0 0 1 0					1	2	4C
B							C
@							A

123

00 0 0 0 1									0 1 1									0 11
		1 0 0 0				2				1 1					1 0 0
B																					C
						3				2 3					2
B0 1 0 0																			2 0C
B																					C
B						1				2 3					2						C
B0 0 1 0																			2 0C
B																					C
B						4				3 4					3						C
B0 0 0 1																			2 0C
B																					C
@																					A
00 0 0 0 1										0 1 1									0 11
	1 0 0 0						2				1 1					1 0 0
B																					C
							3				2 3					2
B0 1 0 0																				2 0C
B																					C
B												0									C
B0			1 1 0 2							0					0				0 0C
B																					C
B							1				1 1										C
B0			1 0 1													1 0 0C
B																					C
@																					A
0 0												0 1 1								0 11
			0 0 0 1
	0		1 0 0 3									2 3					2				2 0
B																						C
	1																						:
B			0 0 0 2									1 1					1 0 0C
B																						C
B	0												0									C
B				1 1 0 2								0				0				0 0C
B																						C
B		1		1 0 1 1								0	0			0						C
B																				0 0C
B																						C
@																						A

Так как получились 2 нулевые строки, т.е. ровно столько, какова кратность корня 1 = 2 = 2, то процесс закончен. Поскольку размерность подпространства V2 = Ker(AT 2E) равна кратности корня, на этом подпространстве матрица A имеет диагональный вид и найденный базис

(0; 1; 1; 0; 2), ( 1; 1; 0; 1; 1) является жордановым.

Найдем жорданов базис корневого подпространства V1 для матрицы (A E). Составим ниль-слой с первым вектором базиса V1 e1 = (0; 1; 1; 0; 1):

		0	0	2		2		3		0 1 0		0 1			001
(A E)e1	=	B	1		1		2		0	1	C B	1	C	=	B0C	:
		B	1		1		0		1	1	C B	1	C		B0C
		B									C B		C		B C
		B	0		2		2		1	0	C B	0	C		B C
		B									C B		C		B0C
		B									C B		C		B C
		B	2		3		1		4	2	C B	1	C		B C
		B									C B		C		B0C
		B									C B		C		B C
		@									A @		A		@ A

Получилось, что этот ниль-слой состоит только из одного вектора e1. Составим ниль-слой с вектором e2 = ( 2; 3; 2; 2; 0):

		0	0	2		2		3		0
(A E)e2	=	B	1		1		2		0	1
		B	1		1		0		1	1
		B
		B	0		2		2		1	0
		B
		B
		B	2		3		1		4	2
		B
		B

@

1 0	2		1	0	4	1
C B		3	C	B	1	C	;
C B		2	C	= B	1	C
C B			C	B		C
C B		2	C	B		C
C B			C	B	0	C
C B			C	B		C
C B			C	B		C
C B			C	B		C
C B			C	B		C
A @		0	A	@	5	A

124

				0	0	2		2		3		0
	2	e2	=	B	1		1		2		0	1
(A E)				B	1		1		0		1	1
				B
				B	0		2		2		1	0
				B
				B
				B	2		3		1		4	2
				B
				B

@

1 0

1

0 1

40

C B		1	C	B0C	:
C B		1	C	= B0C
C B			C	B C
C B		0	C	B C
C B			C	B0C
C B			C	B C
C B			C	B C
C B			C	B C
C B			C	B C
A @	5		A	@ A
				0

Составляем жордаднову таблицу из полученных двух ниль-слоев:

0		e1		1 = 0	2 3	2		2 0	0 1 1 0 1					1
e2	(A E)e2								4 1		1 0		5
				A @									A
@
			0 2 3 2 2 0				4 1 1 0 51					:
							1	1	1 0	0
			@								A

Так как правый столбец таблицы линейно независим и число векторов в таблице равно размерности корневого подпространства V1, эта таблица образует жорданов базис подпространства V1. Жорданова форма матри- цы A в собранном базисе имеет вид

0	2	0	0	0	0	1
B			0	0	0	C
	0	2					:
AJ = B	0	0	1	0	0	C
B						C
B						C
B	0	0	1	1	0	C
B	0	0	0	0	1	C
B						C
B						C
B						C
@						A

Пример 9. Найти жорданову форму линейного оператора, заданного

01

1 3 3

B	2	6		C	из примера 5 раздела 7.3.
матрицей A = B			13	C
B				C
@	1	4	8	A

Решение. Здесь характеристический корень = 1 имеет кратность 3,

а собственный вектор, соответствующий этому корню, только один (с точностью до скалярного множителя). Значит, матрица не приводится к диагональному виду. Найдем жорданову форму матрицы. Составим матрицу (EjAT E) и приведем ее к правоступенчатому виду:

01 0 0			0 2 11 0 1 0 0											0 2 11
	0 1 0		3			7	4				4 1 0				3 1			0
B								C		B									C
																	1 0
B0 0 1			3 13 7					C B			7 0 1			3					C
B								C		B									C
@								A		@									A
		0 1 0 0						0 2 11						(B1 C1):
					4 1 0				3 1		0
	B											C				j
						1 1				0	0
			B	3				0				C
			B									C
			@									A
Так как нулевая строка только										одна, а кратность корня равна 3, мы
должны сделать		следующий						шаг. Находим						C1N			=	C1(AT E) =

125

	0 0 2 11 0 0									2 11 0 3														1		1 1
=	B 3			1			0	C B 3		7 4C							=			B 3				1		1C, составляем матрицу
	B		0	0			0	C B	3 13 7						C					B		0		0		0	C
	B							C B							C					B							C
	@						è	A @							A					@							A					(B2jC10 jC2)
(B1jC1jC1N)								приводим ее к правоступенчатому виду																														:
0 1 0 0						0 2 1					3			1			1 1 0 1 0 0												0 2 1								3 1 11
		4 1 0					3 1		0			3		1				1							3 1 0				3				1		1		0 0 0 :
B																				C B																		C
								0	0
B	3 1 1					0					0			0			0			C B				3 1 1					0			0			0		0 0 0C
B																				C		B																C
@																				A		@																A
													03 1 11 0 0											2 11 00 0 01
Наконец, находим C2N =													B0		0		0C B 3							7 4C					=	B0			0		0C. Значит,
													B0 0 0C B									3 13 7					C			B0 0 0C
													B					C B									C			B						C
													@					A @									A			@						A
жорданова таблица имеет вид																	1 1 01 0 0										0 2 1								3 1 11
01 0 0					0 2 1					3				1
						3 1			0		3			1			1										3			1				1	0 0 0
B																			C		B																	C
B										3				1			1		C B																0 0 0C
B																			C			B																C
@																			A			@																A
			01 0 0				0 2 1					3		1				1 1						1 0 0 0							2			1 3 1 1
													3			1				1			0															1 :
			B																		C
																							@															A
			B																		C
			B																		C
			@																		A

Это и есть жорданов базис, в котором матрица A имеет вид

0	1	0	0	1
AJ = B	1	1	0	C	:
B				C
B				C
@	0	1	1	A

Функции от матриц

Жорданова форма может применяться для нахождения аналитиче- ских функций от матриц.

Определение. Если функция f( ) определена на спектре матрицы A, то f(A) = g[A], где g[ ] любой многочлен, принимающий на спектре матрицы A те же значения, что и f( ).

01

0 0

B C

Для клетки Жордана J =	B	1 ...		.	C	порядка n при условии,
	B	. ... ...		0C
	B				C
	B				C
	B				C
	B				C
	@	0 : : :	1	A

126

Тогда по формуле для

Пример 10.

f(AJ ), ïðè-

÷òî f( ) имеет все производные до (n 1)-го порядка, f(J) имеет вид:

	0		f( )
	B		f0( )
	B
f(J) =	B	.
	B
	B
	B
	B	(n		1)
	Bf			( )

B

B

B

@

(n 1)!

0 : : :				0	1
...				.	C
					C
... ...					C	:
				0	C
					C
					C
					C
: : :	f0( )				C
				f( )C
					C
	1!				C
					A

Аналогично выглядит функция от верхнетреугольных жордановых клеток. Понятно, что

0

J1

.

1

0

f(J1)

.

1

åñëè AJ = B

..

C

, òî f(AJ ) = B

..

C

:

B

C

B

C

J

k

f J

B

C

B

(

k)

C

@

A

@

A

Также можно показать, что если AJ = SAS 1 жорданова форма мат- ðèöû A, òî f(A) = S 1f(AJ )S. Отсюда следует, что для того чтобы

найти f(A), нужно привести A к жордановой форме, найти

меняя к каждой жордановой клетке формулу, приведенную для f(J), и потом найти f(A) с помощью матрицы перехода S от канонического базиса к жорданову базису матрицы A.

Найти eA, где A матрица из примера 7 на стр. 119. Решение. Найдем eAJ , а потом сопряжем ее матрицей перехода S от ка-

нонического базиса к жорданову базису. Итак, f(x) = ex, для матрицы A1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 0, значит, f( i) = f0( i) = f00( i) = f000( i) = 1.

f(AJ ) имеем:

01

1 0 0 0 0

BC

B	1	1	0	0	0C
B					C

BC

eAJ =	B	1		1 1 0 0C	:
		2
	B			C
	B			C
	B			C

BC

B	1		1	1	1	0C
	6		2
B						C
B						C
B						C
@	0		0	0	0	1A

Чтобы найти eA, нужно найти матрицу перехода от канонического базиса к жорданову базису, найденному в примере 7.

01 1

0

4

1 1

01 1

1

2 21

S

1

=

B0 2

0

1 0

C

, тогда S =

B0 1

0

1 1

C

B0

1

4

5

1C

B0

0

0

0

1

C

B

C

B

C

B

1

C

B

0

2 2

C

B0 1

1 0

C

B0 1

C

B

C

B

C

B

1

0

C

B

6

C

B0 0

0

C

B0

1 11

7C

B

C

B

C

@

A

@

A

127

Решение. Найдем

				0	6					6							8	3				6				1
				B	13					19								44				19				C
					5					11							4	53				11
				B																						C
				B																						C
				B	6					6								6				6				C
A	AJ	S	1	B	0					0						1		0				0				C	:
è e = Se				= B																						C
				B																						C
				B																						C
				B	2					2							8	44				8				C
				B																						C
				B																						C
				B	3					3								3				3				C
				B																						C
				B											44											C
				B	14					20								469								C
				B																			44C
				B 3						3								6				3				C
				@																						A
										04					15			61
Пример 11. Найти ln A, ãäå A =										B1					4			2C.
										B1						5		3C
										B								C
										@								A

AJ описанным выше алгоритмом. Прежде всего со-

ставим характеристический многочлен и найдем характеристические числа

3 + (4 4 + 3) 2 ( 1 2 + 6) + 1 = 3 + 3 2 3 + 1 = ( 1)3:

Отсюда 1 = 2 = 3 = 1. Теперь разлагаем пространство в сумму корневых подпространств:

(E N

T

01 0 0

3

1

1 1 0 1 0 0

3 1 11

) = 0 1 0

15 5 5

5 1 0

0 0 0 = (B1 C1):

j

B

C

B

C

j

B0 0 1

6

2

2

C B

2 0 1

0 0 0C

B

C

B

C

@

A

@

A

Находим

11 0 3

1 1

01

03

1

1

00

0

C1N =

B0 0 0C B 15 5 5C

=

B0 0 0C :

B0 0 0C B

6

2

2

C

B0 0 0C

B

C B

C

B

C

@

A @

A

@

A

Выписываем жорданову таблицу

01 0 0

3 1 11

01 0 0

3

1 11

1 0 0 3 1 1

5 1 0

5

1 0

0

1

B

C

B

C

5

1 0

5

@

A

B

2 0 1C

B

1 0C

B

C

B

C

@

A

@

1

0

0

A

0

1

жорданов базис. Находим A

J = B

0

0

1

C

. Находим матрицу перехода

B

C

B

C

@

A

к жорданову базису S

1

=

01 3 51

01 5

2 1

B0

1 1C. Тогда S =

B0

0

1

C. Находим

B0 1 0C

B0

1

1C

B

C

B

C

@

A

@

A

128

01

0 0 0

B

C

и, наконец,

ln AJ = B1

0

0C

B

C

@

A

0

0

0

1

01 3 51 00 0 01 01 5 2 1

03

15

61

ln A = S

ln AJ S =

B0 1 1C B1 0 0C B0 0 1 C

=

B1

5

2C

:

B0 1 0C B0 0 0C B0 1

1C

B1

5

2C

B

C B

C B

C

B

C

@

A @

A @

A

@

A

0 1

Пример 12. Найти eA, ãäå A = @3 1A.

1 1

Решение. Найдем характеристические числа

2 4 + 4 = ( 2)2 = 0; 1 = 2 = 2:

Найдем жорданов базис

(E

NT) =

01 0

1 1

1 01 0

1 11 01 0

1 11 01 0

1 11

j

0 1

1

1

1 1

0 0

1 1

@

A @

A @

A

A @

жорданов базис. В этом базисе AJ

=

02 01. Матрица перехода к жорда-

нову базису S 1 = 01

@1

2A

2

02

1

11, тогда S = 01

11. Находим eAJ =

0e2

и, наконец,

@0

1A

@0

1

A

@e

e

A

eA = S 1AJ S = 01	11 0e2	021 01	11 = 02e22	e	1	:
	2				2
@0	1A @e e A @0		1 A @ e	0	A

7.4.Задачи

1.Докажите, что оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его характеристические числа равны нулю.

2.Найдите жорданов базис и вид оператора в этом базисе для следующих нильпотентных операторов:

0 2

1 01

0 0 3 3 1

à)

B 4

2 0C; á)

B 2 7 13C;

B

2

1 0C

B

1

4 7 C

B

C

B

C

@

3

A

@

A

0 1

1 11

0 0

0

3 1

03 1 1 71

1

â)

B 2

7

0

13C; ã)

B9 3 7 1C; ä)

B 1

1

1 1C.

B

0

3

0

3 C

B0 0

4

8C

B

1

1

0 0C

B

C

B

C

B

C

B

1

4

0

C

B

2

C

B

1

1

C

B

7 C

B0 0

4C

B

0 0C

B

C

B

C

B

C

3.

@

A

@

A

@

A

Докажите, что жорданова форма матрицы

A + E

равна

AJ + E

,

ãäå AJ жорданова форма матрицы A.

129

4. Докажите, что для обратимой матрицы A жорданова форма матрицы A 1 получается из жордановой формы матрицы A заменой харак-

теристических чисел матрицы A обратными величинами.

5. Найдите жорданову форму следующих матриц. Для матриц четвертого и больших порядков выписаны характеристические многочлены.

	00	4		01	01	3	41	04	5		21
à)	B1	4		0C; á)	B4 7		8C; â)	B5 7			3C;
	B1		2	2C	B6	7	7C	B6		9	4C
	B			C	B		C	B			C
	@			A	@		A	@			A

01

13 0 3

BC

ã)	B	2	6		0 13		,	f[ ] = (		1)4;
		0		3	1	3 C
	B					C
	B					C
	B					C
	B		4			C
	@ 1				0	8 A

01

3 4 0 2

BC

ä)		4 5 2 4			, f[ ] = (		1)2	( + 1)2;
	B0		0 3	2C
	B			C
	B			C
	B			C
	B			C

@A

0				0		2		1
0		1		1		1		0		21
B 2 2 1 2 3C																		3			2;
å) B		2 2 1							2 1C, f[ ] = ( 1) ( 2)
B										C
B				0		1				C
B		3						0		4C
B										C
B					1	1		0		C
B		0								3C
B										C
@										A			1
0 2				2			3			3	0	1
B		0		2			0			0	1	0	C
B		0		2			0			0	1	1C					3			2		.
B													C
æ) B		2			2			1		1	0		C		f[ ] =			( + 1) ( + 2)
B												1	C
B													C
B		0						1		1	1	0	C
B				0									C
B													C
B		1		0						0	1		C
B							0					2C
B													C
@												A
6. Найдите функции от матриц:																			1 11;
à) eA, ãäå A =							04			21;		á) A50, ãäå A = 0
							@6			3A								@ 1 3A
â) p			, ãäå A =					0		3	11;								0 1			1	1;
	A											ã) sin A, ãäå A =
								@ 1 5A											@ 1 + 1A
							04 2 51
ä) eA, ãäå A = B6										4 9C.
							B5			3	1C
							B				C
							@			A	A trA			, ãäå tr A = a11 + a22 + + ann ñëåä
7. Докажите, что je											j = e

матрицы A.