Нейман часть 2

разметки одноименных зажимов обмоток катушек может быть представлена схемой, приведенной на рис. 7.4.

4. Для схемы замещения цепи (рис. 7.4) на основании второго закона Кирхгофа запишем уравнение

r I j L I j MI j			1	I	j L I	j MI r I U ,
1		1	C		2	2

из которого найдем комплекс действующего тока:

I

U

160

0о

10,3о А .

7,15

1

r1 r2

j L1

j L2

2 j M j

22 j4

C

5. Комплекс полной мощности для схемы соединения обмоток индуктивностей (рис. 7.1):

S U I 160 0о 5,38 42,3о 637,7 j579,3 ВА .

Для схемы соединения обмоток индуктивностей (рис. 7.3):

S U I 160 0о 7,15 10,3о 1125,6 j204,5 ВА .

6. На рис. 7.5 изображена (в масштабе) векторная диаграмма цепи для случая включения обмоток катушек по схеме рис. 7.1, на рис. 7.6 соответственно для случая включения обмоток катушек – по схеме рис. 7.3. По горизонтальной оси отложен вектор тока, затем под соответствующим к току углом отложены векторы падения напряжения на каждом элементе цепи.

m I	1A дел			j	M I
mU	20 В дел	I
	j
			С
	j M I
	U		j	L2 I
			r2 I
	r1 I	j	L1 I
				I
	Рис. 7.5

m I	1A дел
mU	20 В дел		j			M I
	j	L1 I				j	M I
	r1 I
	U						I
	j	I	r	2	I	j	L2 I
		С
		Рис. 7.6
91

Задача 7.2
Индуктивно связанные катушки, имеющие общий сердечник,
включены по схеме, приведенной на рис. 7.7. Определить показания
амперметров электромагнитной системы, установленных в схеме, если
U	130 В ,	r	2 Ом ,	r	4 Ом ,	L	6 Ом ,	L	12 Ом ,
		1		2		1		2
M	4 Ом .
	A		I2			I	A
	I	A		A2
		1					A		A2
		I1					1
							I 1		I 2
		1			3
							1		3
U
		L1			L2	U
							j L1		j L2

2		4	2		4
1	2		r1	j M	r2
r1
			r2
Рис. 7.7			Рис. 7.8

Решение

1. Из рис. 7.7 следует, что при заданных направлениях токов I1 , I2 потоки самоиндукции и взаимоиндукции катушек индуктивностей L1 , L2 направлены противоположно друг другу, т.е. встречно. Следова-

тельно, катушки индуктивностей имеют встречное включение, а напряжения взаимоиндукции в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, будут иметь отрицательные значения. Схема замещения цепи после разметки одноименных зажимов катушек может быть представлена в комплексном виде, как это показано на рис. 7.8.

2. Схема, рис. 7.8, содержит nу 2 узлов, mв 3 ветвей. Достаточ-

ное количество уравнений для расчета цепи, рис. 7.8, по законам Кирхгофа равно трем.

По первому закону Кирхгофа: N1	nу	1 1.
По второму закону Кирхгофа: N2	mв	nу 1 2 .
92

3. Система уравнений по законам Кирхгофа с учетом заданных положительных направлений обходов контуров, обозначенных в схеме, рис. 7.8, будет иметь вид

I I1	I 2 0,
j L1 I1	j M I 2	r1 I1	U			,
j L2 I 2	j M I1	r2 I 2		U			.

П р и м е ч а н и е. При составлении уравнений цепи по второму закону Кирхгофа целесообразно положительные напряжения обходов контуров совмещать с направлениями токов в ветвях с индуктивно связанными элементами.

4. Приведем систему к матричной форме записи:

	1	1	1	I1	0
r1	j L1	j M 0		I 2	U		.
j	M	r2 j L2	0	I	U

5. После подстановки числовых значений из условия задачи получим:

1	1	1	I1	0
2 j6	j4	0	I 2	130 .
j4	4 j12	0	I	130

6. Решение матричной системы позволяет определить комплексы действующих значений токов в ветвях схемы:

I1 31,58 59,1о А , I 2 19,53 56,3о А , I 51,1 57,9о А .

7. Показания амперметров, установленных в схеме цепи (рис. 7.7), будут соответствовать токам:

IA1 31,58 A , IA2 19,53 A , IA 51,1 A .

93

Задача 7.3

В связанной цепи (рис. 7.9) определить показание вольтметра элек-

										60о В ,
тромагнитной системы, если ЭДС равны:					e	232 2 sin			200t
					1
			20о В ,
e 669	2 sin 200 t			коэффициент связи катушек индуктив-
2
ностей k		0,567 , r1	8 Ом ,	r2 6 Ом ,	L1	0,05 Гн ,			L2	0,025 Гн ,

С500 мкФ .

V

U 13

i1 1

1

3 i 2

1

jxL1

2

4

jxL2

3

L1

L2

I

jxM

I

1

2

r

2

2 4

r

2

r1

r2

1

I 11

I 22

i3

I 3

e1

C

e 2

E 1

jx

E 2

C

Рис. 7.9

Рис. 7.10

Решение

1. Из рис. 7.9 следует, что при заданных направлениях токов i1 , i2 потоки самоиндукции и взаимоиндукции катушек индуктивностей L1 , L2 одинаково направлены. Следовательно, катушки индуктивностей

включены согласно, а напряжения взаимоиндукции имеют положительные направления. Расчетная схема замещения цепи (рис. 7.9) после разметки одноименных зажимов катушек приведена на рис. 7.10.

2. Сопротивления реактивных элементов для частоты, питающих схему источников 200 с 1 , равны:

xL1	L1	200 0,05	10 Ом ,
xL2	L2	200 0,025	5 Ом ,
		94

xС

1

1

10 Ом .

С

200 500 10 6

Сопротивление взаимоиндукции

xM

M

200 0,02

4 Ом ,

где M

0,02 Гн .

k L1 L2

0,567

0,05 0,025

3. Комплексы действующих значений источников ЭДС:

232

2

e j60о

60о В ,

E1

232

2

E2

669

2

e

j20о

669

20о В .

2

4.

Расчет

комплексов

действующих

значений токов схемы

(рис. 7.10) выполним методом

контурных токов. Схема содержит:

nу 2

узла, mв

3 ветви.

Достаточное количество уравнений равно

двум:

N2

mв

nу

1

2 .

Независимые контуры и направления протекания контурных токов I11 , I 22 обозначены на рис. 7.10.

5. Система контурных уравнений, записанных относительно действующих значений контурных токов, будет иметь вид

I11	r1	jxL1	jxC	I 22 jxM	I 22	jxC	E1,
I 22	r2	jxL2	jxC	I11 jxM	I11	jxC	E2 .

6. Приведем систему к матричной форме:

	r1 jxL1	jxC	jxM	jxC	I11	E1	.
	jxM	jxC	r2 jxL2	jxC	I 22	E2
			95

7. После подстановки числовых значений получим:

8		j6	I11	232	60о
j	6 6	j5			20о .
			I 22	669

8. Решение матричной системы позволяет определить комплексы действующих значений контурных токов (рис. 7.10):

I11 57,66 80,5о А , I 22 42,87 8,9о А .

9. Комплексы действующих значений действительных токов в ветвях схемы:

I1

I11 57,66

80,5о А ,

I 2 I 22

42,87

8,9о А ;

8,9о

50,8о А .

I 3 I11

I 22 57,66

80,5о

42,87

82,01

10. Показание вольтметра определим через комплекс действующего напряжения U13 (рис. 7.10), составив предварительно уравнение по

второму закону Кирхгофа, например, для контура, включающего в себя напряжения на индуктивных элементах:

U13		I 2 jxL2		I1 jxM	I1 jxL1		I 2 jxM 0 ,
откуда
U13		I1 jxL1		jxM	I 2 jxL2 jxM
					8,9о j1			177,5о В .
57,66	80,5о j6			42,87			334,9

Следовательно, UV U13 334,9 В .

Задача 7.4

Определить показания амперметров электромагнитной системы, включенных по схеме, рис. 7.11, параметры которой U 30 В ,

r1 3 Ом , xL1 6 Ом , xL2 8 Ом , xM 4 Ом .

96

r1	I 1	I 2		A	I	jxM 13
	jxM			jxL1
U	jxL1	jxL2	U	jx	M 12	jx	L3	V
A1		A2	r	jxL2		U V
						jxM 23
	Рис. 7.11				Рис. 7.12

Решение

1. При заданных направлениях токов (рис. 7.11) относительно одноименных зажимов катушек индуктивностей с сопротивлениями xL1 ,

xL2 потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены противопо-

ложно друг другу. Следовательно, катушки индуктивностей имеют встречное включение, и напряжение взаимоиндукции необходимо учитывать со знаком минус.

2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи по законам Кирхгофа равно двум ( nу 0 узлов, mв 2 ветви).

Система расчетных уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа с учетом заданных положительных направлений обходов контуров (рис. 7.11), будет иметь вид

I1r1 I1 jxL1 I 2 jxM U , I 2 jxL2 I1 jxM 0.

3. Из совместного решения системы для комплексов действующих значений токов получим:

I1

U

30

0о

6

53,1о А ,

x2

42

r

jx

j

M

3 j6

j

1

L1

xL2

8

I 2

I1

xM

6

53,1о

4

3

53,1о

А .

xL2

8

97

4. Показания амперметров (рис. 7.11) будут соответствовать токам:

IА1 I1 6 А , I А2 I2 3 А .

Задача 7.5

В цепи (рис. 7.12) каждая из трех катушек индуктивно связана с двумя другими. Выполнить расчет цепи и определить показания при-

боров электромагнитной системы.	U 400 В , r 40 Ом , xL1 14 Ом ,
xL2 12 Ом , xM12 xM13 xM 23	2 Ом .

Решение

1. Катушки индуктивностей с сопротивлениями xL1 , xL2 (рис. 7.12) включены согласно.

В связи с тем, что ток через индуктивность с сопротивлением xL3 не протекает, напряжение UV на зажимах катушки (вольтметра V ) бу-

дет определяться только напряжением взаимоиндукции индуктивно связанных элементов.

2. Расчетные уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа для указанных положительных направлений обходов контуров (рис. 7.12), будут иметь вид

jxL1 I

jxL2 I 2 jxM12 I rI U

,

U

V jxM13 I

jxM 23 I .

3. Из совместного решения уравнений получим:

U

400

36,9о А ,

0о

I

8

jxL1

jxL2

2 jxM12

r

40 j30

36,9о

53,1о В .

U

V I

jxM13

jxM 23

8

j4 32

4. Показания приборов в цепи (рис. 7.12) будут соответственно

равны действующим значениям величин: IА

8 А ,

UV 32 В .

98

Задача 7.6

Определить комплексы входного сопротивления и действующих значений токов в цепи (рис. 7.13), применив при решении эквивалентную замену индуктивных связей (развязку индуктивных связей), если

U 150 В , xL1 24 Ом , xL2 32 Ом , xM 12 Ом , r 18 Ом .

Решение

1. Выполним развязку индуктивных связей. Так как одноименные зажимы индуктивно связанных элементов xL1 , xL2 (рис. 7.13) одина-

ково ориентированы по отношению к общему узлу (началами намоток к узлу 1), то эквивалентная схема заданной цепи с развязкой индуктивных связей может быть представлена в виде рис. 7.14.

П р и м е ч а н и е. Если одноименные зажимы индуктивно связанных элементов цепи одинаково ориентированы по отношению к общему узлу (началом или концом намотки), то для развязки индуктивных связей в первую и вторую ветви с индуктивностями добавляют индуктивный элемент с сопротивлением xM , а в третью ветвь индуктивный элемент с сопротивлением

xM . При разной ориентации одноименных зажимов индуктивно связанных

элементов цепи по отношению к общему узлу достаточно изменить знаки добавочных индуктивных элементов на противоположные.

2. Комплекс входного сопротивления цепи (рис. 7.14):

Z вх

jxL1 jxM

jxL2

jxM

r

jxM

r jxL2

jxM

jxM

j24

j12

j32

j12

18

j12

23,13

76,6о Ом .

18

j32

I

xL1

1

I

1

jxL1 jxM

1

jxM

1

U

xM

xL2

r

U

jxM

r

jxL2

I2

I3

I 2

I 3

2

2

Рис. 7.13

Рис. 7.14

99

3. Комплекс действующего тока на входе цепи:

I

1

U

150

0о

6, 48

76,6о

А .

Z вх

23,13

76,6о

4. Комплексы действующих значений токов I 2 и I 3 :

r

jxM

о

18

j12

о

I 2

I1

6, 48

76,6

3,82

103,5 А ,

r

jxL2

18

j32

I

3

I

1

jxL2

jxM

6, 48

76,6о

j32 j12

3,53

47, 2о А .

r

jxL2

18

j32

Задача 7.7

Задана система из двух индуктивно связанных контуров (рис. 7.15). Определить показание вольтметра электромагнитной системы, исполь-

зуя	при	решении	эквивалентную замену	индуктивных	связей.
Дано:	U	60 В , r	40 Ом , xL1 100 Ом , xL2	50 Ом , xС	30 Ом ,
xM	25 Ом .

Решение

1. Выполним развязку индуктивных связей. Так как одноименные зажимы индуктивно связанных элементов xL1 и xL2 (рис. 7.15) поразному ориентированы по отношению к общему (условному) узлу 3 ( xL1 – концом намотки, xL2 – началом намотки), то эквивалентная

расчетная схема заданной цепи после развязки индуктивных связей может быть представлена в виде рис. 7.16.

2. Комплекс действующего значения тока на входе

I1

U

U

60

0о

Z вх

Z 2 Z 3

j25 j45

Z1

40 j125

j20

Z 2

Z 3

100