Нейман часть 2

8	7	I 3	jxС 2		100	j71,3	0,72 0о	j100	100 0о В ,
			1	8	E3	100 0о	100 0о	0 В .
Топографическая диаграмма напряжений, построенная на ком-
плексной плоскости, приведена на рис. 5.3.
							j
						5
						100		7
1		2					1	8	1
		200		100		0		100	200
						4		6
						100
							j		3
						Рис. 5.3
Задача 5.2

Определить комплексы действующих значений токов в схеме цепи

(рис. 5.4) методом наложения, если E	200	160о	В , I k 4	30о	А ,
r1 20 Ом , r2 60 Ом , xC 100 Ом , xL	30 Ом .

Решение

1.За положительные направления комплексов действующих токов

вветвях цепи принимаем направления, указанные на рис. 5.4.

61

I 1

I 1I

I 1II

I 3

I I

I 3II

r1

jxC

3

r1

jxC

E

r1

jxC

I 5

I

E

I

II

I k

I 5

5

r2

jxL

r2

jxL

r2

jxL

k

I 2II

I 4II

I 2

I 4

I 2I

I 4I

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Рис. 5.6

2. Определяем комплексы частичных токов I1I

I 5I

от действия ис-

точника ЭДС

В при

I k

0 (рис. 5.5):

E

200

160о

160о

I1I

I 3I

E

200

121,3о А ,

1,96

r1

jxC

20

j100

I 2I

I 4I

E

200

160о

133,4о А .

2,98

r2

jxL

60

j30

По первому закону Кирхгофа найдем I 5I

:

I 5I I1I

I 2I

1,96

121,3о

2,98

133, 4о

3,1

170,9о А .

3. Определим комплексы частичных токов I1II

I 5II

от действия ис-

точника тока

I k

4

30о

А при E 0 (рис. 5.6):

II

jxC

о

j100

о

I1

I k

4

30

3,92

41,3 А ,

r

jx

20

j100

1

C

I II

I

jxL

4

30о

j30

1,79

33, 4о А ,

2

k

r

jx

L

60

j30

2

62

I II

I

r1

4

30о

20

0,78

48,7о А ,

3

k

r

jx

20

j100

1

C

I II

I

r2

4

30о

60

3,58

56,6о А .

4

k

r

jx

L

60

j30

2

По первому закону Кирхгофа для тока I 5II

получим:

I 5II

I1II I 2II

3,92

41,3о 1,79

33, 4о

3,85

67,9о А .

4. Комплексы действующих значений токов исходной схемы (рис. 5.4) от действия обоих источников определим, как алгебраическую сумму частичных токов от действия каждого источника в отдельности (см. рис. 5.5 и 5.6):

I1

I1I

I1II

1,96

121,3о

3,92

41,3о

1,93

j4, 26

4,68

65,7о А ,

I 2I

I 2II

33, 4о

I 2

2,98

133, 4о

1,79

3,54

j1,18

161,6о А ,

I 3

I 3I

I 3II

1,96

121,3о

0,78

48,7о

1,53

j2, 26

2,73

124,1о А ,

I 4I

I 4II

56,6о

I 4

2,98

133, 4о

3,58

0,08

j0,82

0,83

95,3о А ,

I 5I

I 5II

67,9о

I 5

3,1

170,9о

3,85

1,61

j3,08

3, 47

117,7о А .

63

Задача 5.3

Методом контурных токов определить показания амперметров, ус-

тановленных в ветвях цепи (рис. 5.7).

Дано: e

118

2 sin 1000 t

90о В ,

e

76

2 sin 1000t

90о В ,

1

2

i

5 2 sin 1000 t

180о А ,

r

3 Ом ,

L

0,008 Гн ,

L

0,005 Гн ,

k

1

1

2

С1

250 мкФ , С2

500 мкФ .

A1

A2

I 1

I 2

L1

r

C2

jxL1

I 11

r1

I 22

jxC 2

1

e1

A

e2

E 1

I 3

E 2

C1

3

L2

jxC1

jxL2

I

4

I

I 5

kk

i k

I k

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Решение

1. Для решения воспользуемся расчетной схемой (рис. 5.8), приведенной в комплексных величинах, где комплексные сопротивления ре-

активных элементов для 1000 с 1 соответственно равны:

xL1	L1			1000 0,008			8 Ом ,
xL2	L2			1000 0,005					5 Ом ,
xC1	1			1					4 Ом ,
	C1			1000 250 10 6
xC 2	1			1					2 Ом .
	C2			1000 500 10 6
				64

Комплексы действующих значений источников:

E	118 2 e
1	2
E2	76 2 e
	2

j90о 118 90о В ,

j90о 76 90о В ,

	5			2		e j180о			А .
I k							5	0о
			2
2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи по методу
контурных токов равно двум:
N2 mв	nу			1 nт			6 4 1 1 2 .

Независимые контуры и направления протекания токов I11 , I 22 обозначены на рис. 5.8. Для ветви с источником тока I k создадим дополнительный контур с контурным током I kk , совпадающим с на-

правлением действия источника.

3. Система контурных уравнений, записанная относительно комплексов действующих значений контурных токов, в этом случае имеет вид

I11 r1

jxC1

jxL1

I 22r1

I kk

jxC1

E1,

I 22 r1

jxC 2

jxL2

I11r1

I kk jxL2

E2 .

4. После подстановки числовых значений система уравнений при-

нимает вид

I11 3

j4

I 22

3

j98,

I11

3

I 22

3

j3

j101.

5. Решение системы получим с помощью определителей.

Главный определитель системы:

j

j4

3

12

j21

24,19

119,7о .

3

3

3

j3

65

Алгебраические дополнения:

11	j			j98			3				294							j597			665, 47						116, 2о ,
				j101	3			j3
22	j				j4			j98				404						j597			720,85								124,1о .
				3
				3			j101
6. Комплексы действующих значений контурных токов:
				11 j			665, 47							116, 2о											о
	I11																			27,51			3,5						А ,
				j			24,19						119,7о
	I 22		22		j			720,85								124,1о				29,8			4, 4	о	А .
				j				24,19							119,7о

7. Комплексы действующих значений действительных токов в местах установки амперметров:

I1	I11	27,51				3,5о А ,
I 2	I 22	29,8		175,6о А ,
									3,5о =
I 3 I 22	I11	29,8	4, 4о			27,51

2, 26 j3,95 4,55 60,3 А .

8. Показания амперметров A1 , A2 и A3 будут соответствовать токам ветвей:

I A1	I1				27,51 А ,
I A2		I 2			29,8 А ,
I A3		I 3			4,55 А .
				66

Задача 5.4

Определить мгновенное напряжение между узловыми точками 1 и 3

цепи, рис. 5.9, методом узловых потенциалов, если e1

400sin 250t В ,

e

600sin 250t

90о В , r

250 Ом

, r

200 Ом ,

L 0,5 Гн ,

2

1

2

1

L2

0,2 Гн , С1

20 мкФ , С2

40 мкФ .

1

C2

1

jxC 2

L1

e 2

U

jxL1

E

m2

r2

13

r2

e1

2

4

E m1

2

4

r1

r1

0

4

C1

L2

jxC1

jxL2

3

3

Рис. 5.9

Рис. 5.10

Решение

1. Расчет цепи целесообразно выполнить для комплексов амплитудных значений потенциалов узлов. Воспользуемся расчетной схемой (рис. 5.10), приведенной в комплексных величинах. Сопротивления ре-

активных элементов расчетной схемы для									250 с 1 :
	xL1			L1		250 0,5	125 Ом ,
	xL2			L2		250 0,2		50 Ом ,
xC1	1					1			200 Ом ,
		C1		250 20 10 6
xC 2	1					1			100 Ом .
		C2				250 40 10 6
						67

Комплексы амплитудных значений источников:

Em1	400e j0о	400 В ,
Em2	600e j90о	j600 В .

2. Цепь содержит четыре узла nу 4 . Достаточное количество

уравнений для расчета цепи по методу узловых потенциалов равно трем:

N1

nу

1 4 1 3 .

Потенциал узла 4 (рис. 5.10) принимаем равным нулю

m4

0 .

3. Система уравнений для определения комплексов амплитудных

значений потенциалов

m1 ,

m2

и

m3 (узлы 1, 2 и 3) будет иметь вид

1

1

1

1

1

Em1

,

m1

jx

jx

jx

m2

jx

m3

jx

jx

L1

L1

C1

C 2

C1

C1

1

1

1

1

1

Em2

,

m2 r

r

jx

m1 jx

m3 r

r

L1

L1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

Em1

.

m3 r

jx

L2

jx

m1

jx

m2

r

jx

1

C1

C1

1

C1

4. Приведем систему к матричной форме:

1

1

1

1

1

jxC1

jxL1

jxC 2

jxL1

jxC1

1

1

1

1

1

jxL1

r1

r2

jxL1

r1

1

1

1

1

1

jxC1

r1

r1

jxL2

jxC1

68

	Em1
		jxC1
m1		Em2
			.
m2		r2

m3 Em1

jxC1

5. После подстановки числовых значений получим:

				1	1										1									1																				1
				j200	125										100											j125																			j200
					1														1					1				1																1
								j125								120								250										j125										250
					1																			1														1						1							1
							j200																	250														250						j50							j200
																												400
																																		j200
																						m1											j600					.
																						m2
																												200
																						m3									400
																																	j200
		6. Из решения системы относительно комплексов амплитудных
значений потенциалов узлов получим:
															В ,																		22,6о					В ,															2,3о В .
		m1		145,95					68,3о								m2		318,68																							m3		146,53
		7. Комплекс амплитудного значения напряжения между узловыми
точками 1 и 3 найдем как разность комплексных потенциалов																																																					m1 и				m3 :
		U m13				m1						m3			145,95						68,3о							146,53										2,3о					168,93					123, 2о В .
																											69

8. Мгновенное напряжение между узловыми точками 1 и 3: u13 168,93sin t 123, 2о В .

Задача 5.5

Определить комплекс действующего тока

I в ветви с сопротивле-

нием r3

схемы (рис. 5.11) методом эквивалентного генератора.

Дано:

115о

А , r1 120 Ом ,

r2

260 Ом ,

r3 210 Ом ,

Ik

10

xC 110 Ом ,

xL 320 Ом .

I k

Z г

I

r1

jxC

R3

I

Eг

jxL

r3 r2

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Решение

1. Выделим ветвь с сопротивлением

r3 ,

а всю оставшуюся цепь

относительно выделенной ветви с током заменим эквивалентным генератором с комплексным источником ЭДС, равным Eг , и комплексным

сопротивлением Zг (рис. 5.12).

Согласно схеме (рис. 5.12) ток в интересующей ветви определится

как

	I		Eг
				.
			Zг r3
		70