Нейман часть 2

Решение

1. Мгновенное значение тока в цепи (рис. 8.3):

L

1

Um

i

sin

t arctg

С

r

r2

1

2

L

С

26

sin

500t arctg

10 4

2,5

2,52

1

2

500

0,02

500 500 10 6

4sin 500t 67, 4о А .

2. Мгновенное значение полной мощности в цепи:

p

ui 26sin500t

4sin

500t

67, 4о

26 4

cos

67,4о

cos 2 500t

67,4о

2

20

52 cos 1000t

67, 4о

ВА .

3. Мгновенное значение энергии электрического и магнитного полей установим, предварительно определив мгновенное значение напряжения на емкости:

u	1		idt	1		I		sin	t
C	C				C		m		2		i
	1				4sin		500t		90о		67, 4о
500 500 10 6
			16sin		500t 157, 4о В .
				111

Следовательно:

		Cu	2		Li2		CU 2
w w	w	C					mС	sin2 t	u
э	м	2		2		2

	LIm2					2	t							CUmC2			2 t
				sin							i				1	cos		u
2													4
								LIm2					cos 2 t
											1					i
									4
500 10							6		162			1		cos 2 500t			157,4о
						4
			0,02				42				1 cos 2 500t					67,4о
						4
32 10 3 1 cos 1000t									157, 4о				5 10 3			1	cos 1000t		67, 4о	Дж.
4. Кривые			зависимости мгновенных значений u ,																i , p и	w в

функции от времени приведены на рис. 8.4.

Задача 8.3

Графики изменения мгновенной мощности потребителей изобра-

жены на рис. 8.5 – 8.7. По кривой p t

определить полную S , ак-

тивную P , реактивную Q мощности и cos

потребителя.

p( t)

p( t)

p( t)

P

1200 BA

2600 BA

t

400 BA

t

0

P

800 BA

t

400 BA

0

Рис. 8.5

Рис. 8.6

Рис. 8.7

112

Решение

1. Допустим, что напряжение и ток в цепи равны:

u Umsin t , i Imsin t

,

тогда мгновенная мощность цепи

p	ui Um sin	t Im sin	t
UI cos	UI cos 2 t	S cos	S cos 2 t	.

Установленное выражение отражает графики изменения мгновенной мощности (рис. 8.5 – 8.7). Следовательно, величину полной мощности S на графике определяет амплитудное значение синусоиды, изменяющейся с двойной частотой, а величину активной мощности p – сдвиг синусоиды по оси ординат относительно оси симметрии.

2. Рассмотрим график мгновенной мощности (рис. 8.5). Пол -

ная

мощность

цепи

S

2600

1300 ВА ,

активная

мощность

2

P

1300

800

500 Вт , реактивная мощность

Q

S2

P2

13002

5002 1200 ВАр .

По определению

cos

P

500

0,385 .

S

1300

3.

Рассмотрим график мгновенной мощности (рис. 8.6).

Полная

мощность

цепи

S

1200

600 ВА ,

активная

мощность

2

P

S

600 Вт ,

реактивная

мощность

Q

S 2

P2 0 ,

cos

P

600

1.

S

600

4. Рассмотрим график мгновенной мощности (рис. 8.7). Полная

мощность

цепи

S

400 ВА , активная мощность P 0 ,

реактивная

мощность Q S

400 ВАр ,

cos

P

0

0 .

S

400

113

Задача 8.4

Для цепи (рис. 8.8) установить режимы работы источников по ак-

тивной мощности, составить уравнение баланса мощностей.

Дано:

E

120e j20о

В ,

E

2

230e

j 260о

В ,

E

3

100e j90о В ,

1

r1

140 Ом ,

r2

160 Ом , xC1

110 Ом , xL1

190 Ом .

r

E 1

E 2

r

2

1

I 1

3

I 2

jxC1

I

I

jxL1

1

3

4

E 3

2

0

I 5

1

Рис. 8.8

Решение

Выполним расчет комплексов действующих значений токов. Для

расчета цепи целесообразно воспользоваться

методом узловых потен-

циалов.

Потенциал узла 1 (рис. 8.8) принимаем равным нулю (

1

0 ), сле-

довательно, потенциал

2

E3 .

Расчетное уравнение для комплексного потенциала узла 3 будет

иметь следующий вид:

	1		1		1		1					1		1			E1		E2	,
3 r			r		jx		jx	L1			2 r			jx	L1		r		r
1		2			C1				2							1		2

откуда

	E1				E2							1				1
	r				r						2 r					jx	L1
	1				2			2
3	1				1			1						1
		r1				r2					jxC1					jxL1

114

120				20о										230												260о												100				90о									1					1
		140																				160																										160											j190									184,7							49, 2о В .
														1											1													1								1
												140													160														j110								j190
2. Комплексы действующих значений токов ветвей:
																						E1																																				20о
	I	1				1								3																			184,7								49,2о										120																	0,71					94,6о А ,
												r1																										140
																									E2																																49,2о																260о
		I 2							2										3															100						90о								184,7																				230
																	r2																																							160
																																											130,7о А ,
										I		3											3								1				184,7									49,2о													1,68139,2о А ,
																									jxC1																		j110
																																																							90о
												3										2				184,7													49,2о									100																						71,7о А ,
		I		4																																																												0,67
													jxL1																												j190
																																																						94,6о 2,17																123,9о А .
		I 5					I 3										I1								1,68								139, 2о 0,71
3. Режимы работы источников по активной мощности.
Мощность источника ЭДС E1 :
		S																																												94,6о																							j77, 47 ВА .
									E					I			120												20о									0,71																		35, 47
			E1									1		1
Активная мощность																																	PE1								35,47 Вт																имеет отрицательное значе-

ние, что означает работу источника ЭДС E1 в режиме приемника (потребителя).

Мощность источника ЭДС E2 :

S									130,7о
						230	260о	1,54
		E I								304,56 j180,83 ВА .
	E2	2		2
								115

Активная мощность PE2 304,56 Вт имеет положительное значе-

ние, что означает работу источника в генераторном режиме (режим источника).

Мощность источника ЭДС E3 :

SE3

E3

90о

123,9о

j121,03 ВА .

I5 100

2,17

180,11

Активная мощность PE3

180,11 Вт

имеет положительное значе-

ние.

Работа источника ЭДС E3

также осуществляется в генераторном

режиме (режим источника).

4. Уравнение баланса мощностей цепи.

Мощность, развиваемая всеми источниками:

S

S

S

S

j224,4 ВА .

E1

E2

E3

E I

E

2

I

2

E

3

I

5

449,21

ист

1

1

Мощность, потребляемая:

S

I 2r

I

2r

I 2

jx

I 2 jx

L1

пот

1 1

2 2

3

C1

4

0,712

140

1,542

160

1,682

j110

0,672

j190

450,03 j225,17 ВА .

Относительная ошибка вычислений по активной и реактивной мощности:

P %				450,03	449,21		100%	0,18% ,
	1			450,03	449,21
	2
Q %				225,17	224,4		100%	0,34% .
		1		225,17	224,4
	2

Задача 8.5

Для цепи (рис. 8.9) требуется определить показания ваттметров для различных схем включения его измерительных обмоток. Дано:

U 120 В , r1 12 Ом , r2 16 Ом , xL 46 Ом , xC 34 Ом .

116

UW

I1	r1	*	*	r2	I1	r		*	r	2
			W			1	*
								W
U	U W		I2
			x	xL U		I2			U W		xL
			C	I3		xC			I3

		а				б
		U W
	*	* r1 I1	r2	I	r1			r2
		W		1
						*
					*
U				U		W
		I2	xL		I2			xL
		xC	I3				xC	I3
		в				г

Рис. 8.9

Решение

1. Выполним расчет токов в ветвях цепи комплексным методом. Комплекс действующего значения тока на входе цепи:

I1

U

U

120

0о

1,33

49,7о А .

Z вх

r1

jxC

r2

jxL

12 +

j34 16

j46

r2

jxL

jxC

16

j12

2. Комплексы действующих значений токов в разветвленной части цепи:

I

I

r2

jxL

16

j46

83,6о А ,

2

1

1,33

49,7о

3, 24

r

jx

jx

16

j12

L

2

C

I

I

jxС

j34

77, 2о А .

3

1

1,33

49,7о

2, 26

r

jx

jx

16

j12

L

2

C

117

3. Показание ваттметра, включенного по схеме (рис. 8.9, а), найдем, предварительно определив комплекс действующего напряжения:

U

W

I 2 jxC

3, 24

83,6о

j34

110,16

6, 4о В .

Показание ваттметра соответствует мощности:

Re S

6, 4о

2, 26

77, 2о 81, 76 Вт .

P

Re U

I

Re 110,16

1

1

W

3

4. Показание ваттметра, включенного по схеме, рис. 8.9, б. Напряжение, приложенное к измерительной обмотке ваттметра,

найдем по второму закону Кирхгофа для указанного на схеме, рис. 8.9, б, контура:

UW I 3r2 I1r1 0 ,

откуда

UW I 3 r2 I1r1 2, 26 77, 2о 16 1,33 49,7о 12 29, 48 51,5о В .

Показание ваттметра соответствует активной мощности:

Re S

77, 2о

Re 29, 48

51,5о

2, 26

P

Re U

I

2

2

W

3

60,03 Вт .

5. Показание ваттметра, включенного по схеме, рис. 8.9, в. Напряжение, приложенное к измерительной обмотке:

U

W

I r

1,33

49,7о 12 15,96

49,7о В.

1 1

Показание ваттметра будет соответствовать активной мощности

Re S

49, 7о

Re 15,96

49, 7о 1,33

P

Re U

I

21, 23 Вт .

3

3

W 1

6. Показание ваттметра, включенного по схеме, рис.8.9, г. Напряжение, приложенное к измерительной обмотке UW U . Ваттметр покажет активную мощность:

Re S

83, 6о

Re 120

0о

3, 24

P

Re U

I

43,34 Вт .

4

4

W

2

118

Задача 8.6

Определить полную, активную, реактивную мощности и коэффициент мощности цепи (рис. 8.10) при разомкнутом положении ключа SA . Рассчитать емкость конденсатора, которую необходимо включить параллельно цепи, чтобы повысить коэффициент мощности

до

cos I

0,851. Дано:

U 36 В ,

r

0,2 Ом , r

0,4 Ом ,

1

2

r

4,6 Ом ,

L 4 10 3 Гн ,

314 с 1 .

3

I

r1

I I sin

I

I

U

SA

r2

I I

U

xC

x

r3

IC

IC

L

I sin

I

Рис. 8.10

Рис. 8.11

Решение

1. Комплекс действующего значения тока в неразветвленной части цепи при разомкнутом ключе SA (рис. 8.10).

I

U

U

Z вх

r1

r2

j

L

r3

r2

r3

j

L

36

0о

27,85

50,7о А .

0, 4

j314

4 10 3

4,6

0,2+

4 10 3

0, 4

4,6

j314

2. Полная мощность цепи:

S U

50,7о

50,7о

36

0о 27,85

1002,6

I

635 j775,8 ВА .

119

Активная мощность:

P

Re S

Re 635

j775,8

635 Вт .

Реактивная мощность:

Q

Im S

Im 635

j775,8

775,8 ВАр .

Таким образом,

S

1002,6 ВА ,

P

635 Вт , Q 775,8 ВАр .

3. Коэффициент мощности:

cos

P

635

0,633 .

S 1002,6

4. Для повышения коэффициента мощности от cos

0,633 до

cos

0,851 (ключ SA в замкнутом положении) ток IC через емкость

согласно векторной диаграмме (рис. 8.11) должен иметь величину

IC

I sin I I sin

I .

Ток в неразветвленной части найдем из соотношения (рис. 8.11)

I cos

I I cos

I ,

откуда

I I

I

cos

27,85

0,633

20,72 А .

I

cos

0,851

По известным

cos

0,633 и cos

I

0,851 находим sin

0,774

иsin I 0,525 .

Ток через емкость

IC I sin	I I sin I 27,85 0,774								20,72 0,525 10,68 A .
Согласно схеме (рис. 8.10)				IC		U			, откуда емкость конденсато-
					1 C
ра должна составлять
	C	IC		10,68				945 мкФ .
		U		314 36
					120